一种小波阈值函数构建的图像去噪算法研究

万庄姝，谭碧莹，段雅倩，闵钢，舒忠,

（1.荆楚理工学院，荆门448001；2.荆门日报社荆门新闻网，荆门448000）

0 引言

当今，针对图像处理的应用已涉及众多领域，特别是图像识别和人工智能等方面，图像处理都是重要的组成环节和重要基础。图像中的噪声严重影响到了图像识别或人工智能等技术应用，在这些技术应用中，图像边缘检测是最重要的处理过程之一，是图像增强[1-2]、图像分割[3-4]等处和图像特征分类[5-6]、图像特征提取[7]等处理的关键，噪声所造成的影响都具有较强的破坏性，因此，图像去噪具有较高的研究和实用价值。

在图像去噪处理中，需要考虑的主要因素是在去除噪声的同时，必须确保图像自己具有特征的完整性，这些特征主要包括：图像边缘轮廓信息、图像纹理信息和图像色彩等。因此，在图像去噪处理方法的应用也特别重要。针对不同的噪声种类[8-9]，在已有的图像去噪方法中，一些滤波算法可以有效地去除噪声，但对图像的边缘信息和纹理信息都会产生不同程度的破坏；一些滤波算法则虽然可以有效保护图像的正常信息，但去噪效果不理想，很难将图像中的高频信息全部准确分离出来；一些算法对某一种噪声去除效果良好，但其他噪声则无能为力；还有一些得法运算效率不高，等等。

小波图像去噪方法的提出，其主要依据是图像经过小波变换后，可以通过小波系数对图像进行稀疏性描述，将图像的组成信息进行分割，将属于噪声的信息分离出来。其中，属于噪声的信息其小波系数通常都偏小，通过设置系数阈值，获取图像中的噪声信息就不是难事。采用小波阈值法去除图像噪声，关键的两步是：首先构建小波阈值函数，然后通过阈值函数计算出阈值。目前，主要小波阈值去噪方法中，常用的是软阈值去噪函数[10]和硬阈值去噪函数[11]两类。小波阈值去噪，首先需要对图像进行小波变换，并对变换后的小波系数进行统计，依据小波系数的统计结果，以阈值函数计算的阈值的衡量标准，对直接进行小波变换后的小波系数进行调整，调整的主要原则是尽量多地将小波系数置为零，并用于图像去噪处理，调整后的小波系数集合，决定了图像的去噪效果。软阈值图像去噪方法是将多数的小波系数进行置零处理，应用于图像去噪处理中，是否置零依据阈值大小决定。硬阈值去噪方法则是通过与阈值进行比较，对高于阈值的小波系数不作任何处理，而小于阈值的小波系数全部置为零，再将调整后的小波系数应用于图像去噪处理中。基于以上小波阈值去噪策略，研究人员对此也进行了一系列的研究与实验。

在小波图像去噪中，阈值的选取起到了决定性的作用，阈值的大小控制至关重要。阈值大了，则小波系数大部分会被置零，图像中有效的信息就会作为噪声被处理掉；阈值小了，则小波系数少部分会被置零，图像中的噪声信息不可能全部被选出来。在已有的阈值计算方法中，有固定一个阈值和多阈值两种方法，在多阈值选取方法中，又分为频率分割阈值确定与空间分割阈值确定。频率分割阈值是直接在图像小波频率域对图像小波系数的组成集合进行分类，分类结果有几组，则阈值就有几个；空间分割阈值是对小波频率域对应的图像空间，进行小波系数的组成集合分类，同样是分类结果有几组，则阈值就有几个。两种多阈值方法，都具有一定的自适应图像去噪阈值控制功能。

图像的去噪过程，是一个对最理想图像的预估为基础的处理过程，在理论上，要想得到完整无缺的效果是根本不可能的，这是图像去噪的主要难点所在。同时，图像去噪处理还涉及到一个图像噪声判定问题。去噪方法有选择，还需要考虑到噪声类型和噪声信息在图像中的分布问题，特别找出噪声信息在图像中的分布特征尤为重要。因此，噪声模型的建构也是图像的去噪重要环节，图像去噪处理主要是依托相应的噪声模型进行实验，获取一些有效的去噪处理方法。当前，噪声模型的定义，主要针对一些细微因素进行构建，重点是对噪声的分布进行描述，较为典型的噪声模型有：高斯分布模型、高斯与分辨率混合分布模型、高斯与拉普拉斯混合分布模型等[12-14]。依据这些噪声模型，在进行图像去噪处理中，也面临着诸如：阈值函数和阈值的最佳选择、多种混合噪声的去除、需要进行噪声模型构建与验证等难题。

由于小波变换所构建的阈值函数在阈值处是连续的，可以防止图像处理中出现新的噪声，并以线性公式构建阈值函数，可以有效防止阈值偏差。本文以加性高斯和乘性斑点两种典型图像噪声为研究目标，通过对频域图像去噪算法的原理进行分析，以小波变换为基础平台，通过构建小波阈值函数，获取精确阈值，最终实现图像去噪算法的设计。

1 小波频域去噪原理

在小波变换中，小波的主要参量是时间变化量和频率变化量，时间变化量是指截获图像中第一个时间段内或第二个时间段内的变化量；频率变化量是指截获图像在第一个时间段内中变化比较慢的信息，也就是图像中的低频率信息，或者是截获图像在第一个时间段内中变化比较快的信息，也就是图像中的高频率信息。

图像小波变换的基本原理是以时间变化参量和频率变化参量为主体，构建一个族函数，应用这个族函数去表示（或最大程度接近）图像信息集合，并对获取的图像信息集合进行频率分类（低频率或高频率）和分析。小波变换可以表示随着时间变化而具备的图像频率特性，可以进一步准确描述图像的边缘信息，这在傅里叶变换中是不能或难于实现的。

设f(t)∈L2(R)，ψ(t)为基本小波函数，其连续小波变换公式为[15]：

图像通过离散小波变换后，具备可分解性可以充分应用于本文提出的小波阈值函数去噪算法中。

2 本文小波阈值函数去噪算法实现

2.1 小波阈值的预估

依据以上对小波去噪原理的分析，小波图像去噪的关键是对阈值的预估。阈值预估必须遵循一定的规则，在最基本的阈值选取规则中，Sqtwolog 通用阈值、BayesShrink 贝叶斯阈值和最大最小值Miniman 阈值三种选取规则是进行小波去噪阈值构建的研究与应用基础。

Sqtwolog 通用阈值的定义是：

其中，M×N为图像的维度，σ为噪声标准差。该阈值的预估条件为噪声的小波系数呈现高斯正态分布。

BayesShrink 贝叶斯阈值的定义是TB=σ2σg，其中，σ2为噪声方差，σg为噪声高斯标准差。该阈值的预估条件为噪声的小波系数呈现高斯分布。

最大最小值Miniman 阈值的定义是：

其中，σ为噪声标准差，k为小波系数的个数。该阈值是对Sqtwolog 通用阈值的改进。

2.2 小波阈值函数的构建

小波阈值函数的作用是对小波系数进行运算，硬阈值函数、软阈值函数和半软半硬阈值函数是最基本的小波阈值函数[15]。

硬阈值图像去噪是对小波系数进行处理的规则是：对小波系数值偏小的系数全部设置为零，小波系数值偏大的系数值则保持不变。依据离散小波变换和小波分解变换原理，硬阈值函数可以定义为：

其中，j为图像频率变化范围取值，k为小波系数的个数，T(j,k)为理想阈值，T为预估阈值。

硬阈值图像去噪不会破坏图像的边缘信息，但硬阈值函数不具有连续性，在处理过程中会产生新的图像噪声。

软阈值图像去噪是对小波系数进行处理的规则是：对小波系数值偏小的系数全部设置为零，小波系数值偏大的系数值则依据连续性平缓地接近于零，也就是偏大的系数值在原有值的基础上会依次逐渐进行减小处理。同样依据前文介绍的离散小波变换和小波分解变换原理，软阈值函数可以定义为：

（sign 表示不可求导函数）。软阈值图像去噪所构建的阈值函数具有平滑的连续性，但强制性对原有小波变换的较大的系数值进行了减小，必须会造成小波变换后图像中的部分高频信息被忽略，引起的结果是对图像的边缘信息进行了破坏。

由于硬阈值图像去噪和软阈值图像去噪都具有一定的缺陷，因此，出现了半软半硬阈值去噪方法。半软半硬阈值去噪方法的关键是在软阈值函数的基础上，对预估阈值T进行了门限控制，其门限控制参数为λ，半软半硬阈值函数可以定义为：

在公式（7）中，当λ=0 时，Tˆ(j,k)则为硬阈值函数；当λ=0 时，Tˆ(j,k)则为软阈值函数。引入该策略的主要目的是确保图像在处理过程中边缘信息不会被作为噪声被剔除，又不会在处理过程中产生新的噪声。但是，针对不同的图像在经过小波变换后，受到图像信息本身存在的不定因素，加之半软半硬阈值在接受了一些优点的同时，并不能完全摒弃硬阈值和软阈值处理中的缺陷，影响图像在人眼中的视觉感受是必然存在的。

根据以上对三种基本的小波阈值函数去噪处理原理进行分析，总结了各自存在的问题。在此基础上，结合以上三种方法的优点，本文将进一步对基本的小波阈值函数进行改进展开研究。

本文构建小波阈值函数的主要思想是：构建的阈值函数要在其阈值处具有连续，目的是防止图像出现新的噪声。以最基本的、结构最简单的线性方程f(x)=x为基础，建立阈值函数的线性变化标准，使小波系数平缓地接近零值，防止去噪阈值出现有等级区分的偏差，并努力控制阈值偏差出现累加性。在噪声与有效的图像信息之间进行有效的平滑处理，实现两者之间的自然融合，这也是因为任何一种噪声在预估去噪策略下，在理论上根本无法实现对噪声进行根除；同时，无论对图像进行何种处理，在处理完成后，产生新的噪声是不可避免的。为了对图像中的噪声进行更为细致的分离，同时确保在计算阈值的过程中能够实现自主调整，所构建的阈值函数必然能够进行微分运算。为了确保以上思想能够实现，结合离散小波变换和小波分解变换的应用，本文设计的小波阈值函数可以定义为：

在公式（8）中，j为图像频率变化范围取值，k为小波系数的个数，a和b分别为理想阈值T(j,k)与预估阈值T或-T大小比较的系数，系数a表示大于预估阈值，系数b表示小于预估阈值，0.5×λ为小波平缓系数，sgn 表示可求导函数。从公式中可以看出，当λ=0时，可表示为软阈值函数，当λ的取值逐渐接近0 时，阈值函数也更接近于软阈值函数；当λ=1 时，系数0.5则还能起到平滑过度的作用，当然，在λ≠0 的一定取值范围内，同样可以起到平滑作用，且有助于求导计算。

本文设计的阈值函数，在理想阈值T(j,k)和预估阈值±T相等处都具有连续性。在|T(j,k)| 的值增加时（也就是小波系数大于预估阈值T时），函数f(T(j,k))的值也越接近理想阈值T(j,k)，其所具有的线性特征，确保了阈值变化中不会出现偏差现象。由于构建的阈值函数参量有所增加，而函数可以实现微分计算就可以简化因参量过多造成的计算复杂度，在预估阈值T处进行微分计算的前提有两个：一是理想阈值T(j,k)和预估阈值±T相等处连续（该条件已获得）；二是函数可以进行求导计算。通过计算，当b=(0.5×λ)-a时，构建的阈值函数就可以进行微分计算。因此，通过控制公式中的参量λ和a，就可以得到最佳的图像去噪阈值函数。

3 实验及分析

3.1 阈值处平滑性验证

在进行图像去噪效果验证前，首先以线性方程f(x)=x为分析比较基础，对软阈值函数、硬阈值函数和本文设计的小波阈值函数在阈值处所具有的连续性进行比较，将其设置为实验1。实验1 的方法是：将预估阈值和计算阈值设定为[-20,+20]之间，将预估阈值定义为x，将计算阈值定义为f(x)，分别应用软阈值函数、硬阈值函数和本文设计的小波阈值函数对f(x)进行计算，在计算结果所形成的直线、折线或曲线中，首先比较f(x)与x所对应的值是否接近，然后比较在f(x)与x所对应的值有较大误差时，其对应值的差距有多大。比较结果的评判方法是f(x)与x所对应的值越接近，其处理效果所具有的平滑过度特征非常直接；在f(x)与x所对应的值存在差距时，其差距值越小，可以表明其处理效果所具有向平滑过度特征方向控制的意识。另外，三种方法输出的线性结果图示中，在f(x)与x所对应的值存在差距的区域中，如果输出结果是由直线和折线组成的线段，可以表明其处理结果平滑过度特征不明显（或者说是根本不具备平滑过度特征）；如果输出结果是由曲线组成的，则可以表明其处理结果具有平滑过度特征。实验1 所输出的比较结果如图1 所示。

图1

图1 为使用硬阈值函数、软阈值函数和本文设计的小波阈值函数经过线性处理后的输出结果比较图。

在图1 中，本文设计的小波阈值函数进行线性处理后的输出为曲线，可以充分地表示在阈值处具有平滑过度特征；硬阈值函数和软阈值函数经过线性处理后的输出均为折线阈值处的处理明显具有生硬性。

3.2 去噪效果验证

实验选取三幅图像（均为灰度图像）进行MATLAB仿真实验，首先通过前文介绍的图像复原原理，构建一个加性高斯噪声和乘性斑点噪声混合的退化模型；然后依据前文论述的硬阈值图像去噪算法、半软半硬阈值去噪图像算法和本文提出的图像去噪算法原理，分别提取三幅出图像中的低、高频信息，最后以峰值信噪比（PSNR）为评价参数，对三种图像去噪方法进行比较分析，验证本文提出的图像去噪方向的优势所在。实验2 通过MATLAB 仿真效果如图2 所示。

图2 对三幅图像采用三种去噪方法的效果比较

在图2 中，加性高斯噪声和乘性斑点噪声对三幅原稿图像的影响都非常明显，对于去噪效果的比较，本文提出的去噪算法效果最好，硬阈值去噪效果最差。实验中还使用PSNR 作为图像去噪效果的客观评价参数[29]，其MATLAB 仿真实验获取参量见表1 所示。

表1 三种去噪算法的PSNR 参数比较表

以上实验从主观和客观两个方面进行比较都表明：在本文提出的算法具有良好的图像去噪效果。其中，测试图像本文算法处理结果与对应原稿基本相似，半软半硬阈值去噪算法也与对应原稿基本相似，但硬阈值去噪算法明显与原稿存在差别，去噪效果不彻底。通过使用峰值信噪比进行仿真实验，本文算法处理结果获取的参数值更接近理想值（30.00-32.00），同样，半软半硬阈值去噪算法也优于硬阈值去噪算法。

3.3 边缘提取效果验证

本文为了进一步验证本文图像去噪算法的效果。实验方法是：选取与实验2 一致的三幅原稿图像进行MATLAB 仿真实验，图像边缘提取采用二维Otsu 算法[30]，以处理效率的检测结果作为为评价依据，对硬阈值图像去噪、半软半硬阈值图像去噪和本文图像去噪方法进行去噪后，使用二维Otsu 算法进行边缘特征提取，评价实验2 中三种图像去噪方法的高效性和优良性。三种图像边缘特征提取方法的测试结果如图3 所示，表2 为使用三种图像去噪算法后进行边缘特征提取的运算时间对比表。

图3 使用三种图像去噪处理后对图像边缘特征进行提取的测试结果

表2 使用三种图像去噪算法后进行边缘特征提取的运算时间对比表

以上实验比较结果表明：使用本文算法进行图像去噪后，其边缘特征提取的效果优于另外两种，其运行效率结果相近。其中，使用本文算法进行图像去噪后，其边缘特征提取所保留的图像边缘细节最为丰富；使用半软半硬阈值去噪后，边缘特征提取所保留的图像边缘细节，要优于硬阈值图像去噪后的边缘特征提取效果。三种方法进行的图像边缘特征提取处理时间相近，主要原因是所采用的边缘特征提取方法完全相同，也说明了无论采用什么方法进行图像去噪处理，后续的图像特征提取在处理效率方面没有明显的区别，表2 统计的数据意义并不大。

4 结语

本文通过对小波图像去噪算法进行分析，以噪声模型构建为基础，根据小波阈值函数的运算原理，提出了基于硬阈值、软阈值和半软半硬阈值结合的图像去噪算法，构建的小波阈值函数具有四个特点，通过三个角度进行实验分析，结果表明本文算法具有一定的优势。本文研究的主要工作包括：

（1）构建小波阈值去噪是依据预估的阈值进行运算的，其处理过程想达到完全去除图像中的噪声很难实现。

（2）小波阈值图像去噪的流程为：带噪声的图像进行小波正变换→完成小波频率分解→构建小波阈值函数→使用阈值函数对小波系数进行处理→对处理后的图像进行小波逆变换→重构建变换后的图像，得到去噪后的图像。

（3）小波阈值函数的构建，在阈值处具有连续性的条件，是防止图像出现新噪声的有效方法。

（4）以线性方程为基础，建立阈值函数的线性变化标准，可以防止去噪阈值出现有等级区分的偏差。

（5）在噪声与图像信息之间进行有效的平滑处理，可以将一些无法去除的噪声无影响（或小影响）地融入图像中。

（6）在小波域实现图像去噪处理，确保小波阈值函数可以进行微分运算，是简化运算量和确保阈值自主调整的重要前提。