基于教学重演律的狭义相对论教学设计

乔通

摘    要：狭义相对论这部分一直是教学难点集中地，主要原因在于当前教材没有按照科学发展的完整历史线索编写，导致教学过程逻辑中断，从而给学生理解造成了极大的认知障碍。文章依据教学重演律，依照相对论发展的历史线索，重新安排了教学顺序。设计的相对论教学分为三个步骤：首先介绍力学相对性原理;然后介绍洛伦兹变换的得出;最后介绍爱因斯坦的相对论。

关键词：狭义相对论;教学重演律;洛伦兹变换;伽利略变换

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）10-0030-6

1    旧的相对论——力学相对性原理

理解坐标变换法;理解物理定律的对称性;理解并体会伽利略变换的价值和来源;理解力学相对性原理。

1.1    热身：坐标变换法

设计意图：通过引导学生对不同参考系中位移的变换关系、速度的变换关系和加速度变换关系的证明，初步认识坐标变换法。

教师首先出示情境，引领学生证明位移随参考系的变换关系。假如车厢中有一人顺着火车运行方向往前走了一段位移s'，车厢中的人观测到他走的位移是s'，而对站台上的人来说，车厢中的人向前走的位移s是多少呢？

学生容易回答：这段位移s就是车厢中人的观测结果s'加上火车在这个过程中向前移动的位移。用公式表示就是s=s'+ut。

教师继续问：我们如何证明这个关系式是正确的呢？

证明方法对学生有一定难度，教师需要向学生介绍坐标变换法。首先，假设车厢中的人身处x'O'y'坐标，站台上的人身处xOy坐标。刚开始这两个坐标完全重合，此时人在车厢一头的某位置，这个位置在x'O'y'坐标中的x1'点，而在xOy坐标中对应的是x1点。这两个点是重合的，所以这两个点坐标值是相等的，可以表示为：x1= x1'。过了一段时间，人走到了车厢的另一个位置，在x'O'y'坐标中用x2'表示，在xOy坐标中表示为x2。由于此时车厢坐标系相对于地面坐标系向右移动了距离ut，于是导致x2'和x2这两个点不重合。这两个点之间的坐标关系可以表示为：x2= x2'+ut。

接下来我们用坐标表示出这两个坐标系下不同的人所观测的位移结果。车厢中的人观测到的这段位移可以表示为s'=x2'-x1'，站台上的人观测到的结果是s=x2-x1。把坐标关系x2=x2'+ut和x1= x1'代入第二个式子，即可得s= x2'+ut-x1'=s'+ut。于是关系得证。

在此基础上，教师继续引领学生证明速度随参考系变换关系（v=v'+u）和加速度随参考系变换关系（a=a'）。需要注意的是，对于这两个变换关系的证明一定要重新从坐标关系开始，目的是让学生体验到坐标变换式（x2= x2'+ut）的价值，它是常识时空观的理论基础，能为提出伽利略变换做好铺垫。

1.2    牛刀小试

设计意图：通过非惯性系的运动问题，引出牛顿第二定律成立的条件，让学生体会坐标变换法的价值，并初步认识物理定律的对称性。

首先，引领学生简单复习牛顿第二定律。然后，教师提问：同学们能不能举例说明牛顿定律不成立的情况？

这个问题对学生有一定的挑战性，教师可以出示情境：假如你在密闭车厢中，看不到外面景色，因此不能判断自己是匀速运动还是加速运动。此时，火车司机突然加速（而车厢中的你并不知道），你将会看到桌子上的橙子突然加速运动。此处，橙子不受外力而突然加速，所以违背牛顿第二定律，说明牛顿第二定律不成立。

通过这个反面例子，目的是让学生深刻认识到牛顿定律必须在惯性参考系中才成立。

教师进一步提问：在所有惯性参考系中牛顿定律都成立吗？如果我所在的车厢匀速运动的速度很快，而另一个火车运动速度很慢，在这两种情况下牛顿第二定律都成立吗？

学生很可能凭直觉说成立。教师需要引导：日常生活中我们用感觉处理问题。但是，物理学家为了得到可靠的结论，不能仅仅凭借感觉，必须用理性的头脑去论证。那么，该如何用理论证明呢？

教师进一步引领学生进行分析：在此，我们认为力和质量不会随着参考系变化，因而只需要证明加速度不会随参考系变化即可。这里学生可以模仿前面的方法，独立证明得出结论。

在证明之后，可以初步介绍对称性：加速度不隨参考系变化保证了牛顿定律在惯性系中都成立，否则只要我们坐上匀速行驶的火车，牛顿定律就错误了。如果是这样的话，牛顿得在每个参考系发明一套特殊的定律才行。而牛顿定律很幸运，它在每个惯性参考系都成立，我们把物理定律不随参考系而改变的性质叫作对称性。

1.3    伽利略变换和力学相对性原理

设计意图：通过练习进一步巩固坐标变换法，进而理解伽利略变换和力学相对性原理。

首先，教师可以布置如下习题：用坐标变换法证明以下物理规律在任意惯性参考系中都成立，如动量守恒、胡克定律、动能定理。

在学生完成证明之后，教师引领学生总结规律：通过坐标变换法证明发现，以上物理规律在不同惯性参考系都成立。这就保证物理学家不用再去为每个参考系发明新的定律。因此，物理定律具有在不同惯性系都成立的性质，就叫作物理定律的对称性。

接下来，教师引领学生发现伽利略变换。教师提问：在对称性的证明过程中，我们运用了哪个关键公式？学生不难发现，在这些证明过程中，都用到了一个共同的关系式，就是x=x'+ut。教师进行总结，我们发现这个公式决定着坐标变换的结果，进而它决定着力学定律的对称性。我们把x'=x-ut叫作伽利略变换。

最后，介绍力学相对性原理。对于所有惯性参考系，力学定律都成立，就是力学相对性原理。

2    新的伽利略坐标变换——洛伦兹变换

这部分的教学重点有：理解麦克斯韦方程引发的矛盾;理解迈克尔逊-莫雷实验原理;理解光速不变的理论依据和事实依据;理解光速不变所引发的科学问题;体验洛伦兹变换的推导过程。

2.1    出现反常

设计意图：援引历史，引出矛盾。

教师可以这样呈现问题。以上我们认识了物理定律的对称性，并且学会了用坐标变换法证明定律的对称性。下面来研究麦克斯韦方程的对称性，这个方程被称为历史上最美方程。

其实，不需要证明，观察一下就知道了麦克斯韦方程不对称。也就是说在静止参考系中的麦克斯韦方程和运动参考系中的麦克斯韦方程不一样。

但是，没有实验证明这个方程在运动参考系中不成立。

2.2    迈克尔逊-莫雷实验

设计意图：从实验方面理解光速不变。

通过理论分析我们知道，根据对称性思想麦克斯韦方程不变，也就意味着光速不变。但是，有人认为光速不变是不可能的，坚持光速会变化。迈克尔逊就是其中之一，他一生都试图设计实验证明光速会变化。在此，教师可以简单介绍迈克尔逊的生平。

这里关键在于讲清楚实验设计的思路。首先，光速c是什么呢？我们提到速度就需要有一个参考系，光速c的参考系是什么呢？当时人们假设宇宙中充斥一种绝对静止的东西，叫作以太。光相对于这个绝对静止的参考系速度是c。但是，由于地球在运动，地球绕太阳公转速度很快，速度是30 km/s，如果沿着地球公转方向上发射一束光，则这束光的速度至少增加为（c+30） km/s。

理论构想好了，实验中怎么测量速度呢？在历史上，物理学家傅科曾根据光的反射来测量光速。一束光发出之后，刚好能穿过旋转着的齿轮的齿缝前行，之后被几千米远处的镜子反射回来，如果齿轮高速旋转，速度达到某个合适的值，则反射光会被齿轮刚好挡住，这时将看不到反射光线。这样，我们就知道了光往返的路程和时间，进而就可以计算出光速。但是，依据类似原理迈克尔逊所测量光速的最精确值误差也在50～60 km/s。这个误差值比地球公转速度还大，因此这样直接测量光速变化是行不通的。

于是，迈克尔逊想到了一种独特的思路：不直接测量光速，而是测量光的相对速度，也就是拿两束光的速度比较。怎么比较呢？借助光的干涉。他把一束激光分为两束，让这两束光分别沿着垂直于地球公转方向和沿着地球公转方向传播，最后它们汇集在一起发生干涉。如果让干涉仪转过90°，则两束光被加速的大小应该会有明显变化，其时间差更大，其结果会导致干涉条纹发生明显移动。但结果让迈克尔逊非常失望，光速不变。

这样，物理学家从实验方面提供了光速不变的证据，验证了之前的理论推测，麦克斯韦方程具有对称性。

2.3    光速不变的其他证据

设计意图：为学生接受光速不变的事实提供更多证据，以转变学生光速可变的前概念。

天文学的双星观测结果也为光速不变提供了证据。两颗星绕共同的质心做椭圆运动，周期为T，如果认为光速可以叠加，则当A星远离地球时，A星上发出的光速度为（c-u），光到达地球的时间为t1=L/（c-u）;而当A星转过半周朝向地球运动时，光速变为（c+u），光到达地球的时间为t2=L/（c+u）+T/2。比较这两个从不同位置一先一后发出的光，如果L很大，则可能会造成同时到达地球。这样地球上就会同一时刻看到同一颗星出现在不同位置。这就是“魅星”，可是从没有观测到魅星。

天文学对恒星光行差的观测也提供了光速不变的证据。任意恒星光行差都长期保持不变，证明光行差不随时间变化，所以光速也不随时间变化。另外，所有恒星的光行差都存在20.5″角距，证明所有恒星的光速都相同。

2.4    问题的分析和转向

设计意图：引导学生认识到光速不变所引发的理论困难，以及下一步洛伦兹要解决的问题。接着，教师可以提问学生，光速不变本质上是与什么矛盾呢？至此，学生容易认识到，光速不变本质上与伽利略变换矛盾。

综合以上分析，当前的矛盾再次明确：光速不变已经成为一个基本事实，现在的问题是理论上不能用伽利略变换证明光速不变。

于是，教师继续引导：之前我们是怎么证明光速叠加原理的？学生都知道是借助伽利略变换，用坐标变换法。教师可以追问：那么现在我们如何证明光速不能叠加呢？这就需要有新的坐标变换。下面，我们研究如何寻找新的坐标变换。

2.5    證明光速不变

设计意图：通过对实验的分析，用科学推理的方法倒推出洛伦兹变换。

教师引领学生再次对迈克尔逊实验原理进行分析。发现观察不到光速变化的结果，两束相互垂直的光路确实没有时间差。这说明什么呢？

此时，教师可以给学生介绍洛伦兹的思想。洛伦兹通过对迈克尔逊-莫雷实验的分析，提出猜想：如果把实验仪器的臂长收缩某个系数，即L=L'■（或写作另一种形式L'=γL），则可以解释迈克尔逊-莫雷实验的结果，这就是历史上斐兹杰拓德和洛伦兹提出的收缩假设。然而，由于学生之前已经熟知了用伽利略变换证明长度不变的方法，通过分析这个过程L'=x2'-x1'=（x2-ut）-（x1-ut）=x2-x1=L，学生即可认识到：如果这里的L'=γL，则可以推测伽利略变换式只需要在合适的位置添加一个常数而已。这样，学生就能够根据收缩假设修正伽利略变换，也即倒推出洛伦兹空间坐标变换。很自然地得出了洛伦兹空间坐标变换式x'=γ（x-ut）。接下来，再根据相对性原理，列出对称情况下的另一个坐标系下的空间坐标变换式x=γ（x'+ut'）。把这两个式子联立，将第一个式子中的x'代入第二个式子，就可以得出时间变换式[1]。这样就得出了一维空间下的洛伦兹变换式。通过这样的推理过程，学生就会很容易理解洛伦兹变换的发现过程。

至此，我们终于解决了麦克斯韦方程所引发的问题：从理论层面说明了光速为什么不变，确保了麦克斯韦方程的对称性。

小结：理解麦克斯韦方程引发的矛盾;理解迈克尔逊-莫雷实验的原理;理解光速不变的理论依据和事实依据;理解光速不变所引发的科学问题;体验洛伦兹变换的推导过程。

3    对洛伦兹变换的解释——爱因斯坦的相对论

这部分的教学重点是：理解光速不变导致异地同时的相对性;理解时间坐标的意义;理解爱因斯坦建立相对论的思想过程。

3.1    乘胜追击：发现统一

洛伦兹变换确实解决了光速不变等问题，但是，它与伽利略变换终究是两套理论。有人说，真理只有一个，究竟谁是正确的？

我們做一个数学实验：当坐标系间相对运动的速度很小，则洛伦兹变换就近似等同于伽利略变换，这两者是统一的。显然洛伦兹变换更普遍，伽利略变换只是洛伦兹变换的特例。

那么，洛伦兹变换会带来哪些结果呢？

3.2     无法理解的新世界

设计意图：揭示洛伦兹变换导致的与常识时空观相矛盾的结果，引出问题。

如果洛伦兹变换是正确的，那么这个世界就会变得令我们很不可思议了。我们先看几个洛伦兹变换的特殊效应：

（1）尺缩

教师介绍思想实验：假如你在站台上，而你的朋友在火车车厢中。如果火车静止在站台上，则你观测这个朋友的身体是正常的。但是，如果火车高速运行，你将会观测到什么情况呢？

根据洛伦兹变换可以推出结果L'=L'。这个结果表明沿着运动方向你看到的运动物体长度会缩短，这意味着你会观测到朋友的身体变瘦。显然，这个结果与日常经验相冲突。

（2）钟慢

教师介绍思想实验：假设火车上某同学的手表走了3分钟，那么在地面上的我们看来，他的手表走了几分钟呢？

根据洛伦兹变换式推出的结果会发现他的手表时间间隔变长了，也就是表慢了。这很不可思议，在我们常识的认识里，时间是不可能随着参考系的变化而变化的。这可以用伽利略变换t=t'推出。但是，洛伦兹变换的结果却告诉我们，时间会随着参考系的变化而不同。

（3）异地事件同时的相对性

教师介绍思想实验：假设在地面上的你双臂平举，你的双手中各拿一个粉笔和小球，并让它们同时落下，这在你看来是同时发生的事情，那么坐在高速运行火车上的同学看到的结果将是怎样的？

通过洛伦兹时间坐标变换将会发现，结果是这两个物体不同时下落。这个结果同样不可思议，因为我们一般认识“同时”是绝对的，是与参考系无关的。但是，洛伦兹变换却推导出了违背常识的结果。

总之，洛伦兹变换导致一系列不可思议的结果。为什么时间变慢？为什么长度收缩？为什么异地同时是相对的？这些都与我们的常识相违背，让人感到难以理解。

3.3    理解洛伦兹变换的突破口：钟表校对问题

设计意图：援引历史事实，帮助学生找到理解洛伦兹变换的突破口。

科学问题的解决往往需要多个领域知识的相互启发，对洛伦兹变换的理论解释同样如此。十九世纪初时，钟表作为当时西方人主要的计时工具，面临的一个重要的技术问题就是，不同时区的人如何按同一个标准时钟校对钟表。庞加莱和爱因斯坦两人几乎同时关注到了这个问题，并从中找到了破解时空疑难的钥匙[2]。下面我们来一起研究这个问题。教师首先介绍钟表校对的几种方法：

方法一：现场校对。假设全中国只有北京有个特别准的母钟。各地为了校准钟表，需要把这个母钟拿到当地去校对，或者各地的人拿自己的钟表来北京校对。这个方法的最大缺点是低效。

方法二：从母钟所在地发射电磁波信号到各地。这种方法看似可行，但是会造成微小误差。因为光的传播需要时间，于是会造成距母钟不同距离的子钟不可能同时收到信号，距离母钟近的就快些，距离母钟远的就慢些。

方法三：在母钟和子钟的中间位置发射光信号。假如西安有个母钟，连云港的钟需要校对，则需要在其中间的城市开封同时向两个城市发射一个光信号。如果它们同时收到，则说明它们同步，连云港的钟表被校准。这是一个很合适的方法。于是，钟表校对的技术问题就这样解决了。

接下来到了关键点，方法三可以帮助我们非常准确地校对钟表，这看似是无疑的，但是钟表真的被校准了吗？如果我们站在地球上看，是这样的。可是，如果我们站在外太空来看呢？

假设你在地球外面的几万米高空相对于地心静止不动，这时如果从开封发射一个光信号，因为光速不变，而地球是自西向东转动，你将看到，西安是迎着这个光信号运动的，而连云港则是顺着光信号运动的，这样光就会先到达西安，而后到达连云港。两地将不同时收到光信号。

我们发现仅仅转换了一个参考系，就看到了不同的结果。在相对于地面静止参考系中观察到光同时到达，而在运动参考系中则光不同时到达。

至此，还不能急于得出异地事件同时的相对性的结论。因为，钟表校准的特殊问题和同时的相对性问题毕竟还不能简单的等同。根据斯皮罗的认知灵活理论，学生需要在不同的情境下多次学习才能理解科学概念[3]。因此，教师需要举出更多的思想实验作为实例，帮助学生从不同侧面理解同时的相对性。

3.4    异地事件同时的相对性

设计意图：通过更多的思想实验，使学生认识到光速不变导致异地事件同时的相对性。

教师介绍思想实验：假如在运动的车厢中部向车厢两端发射出一个光信号，车厢中间的人观测到光同时到达车厢前壁和后壁，而站台上的人观测的结果是不同时。通过这个实例的呈现，学生能够剔除第一个实例中的非本质因素，例如信号源不一定是在地面上，有没有钟表对结果没有影响。但是，这两个实例只能说明光信号传播的同时相对性，还不能推及更普遍的事实。因此，教学还需要呈现更生活化的事实，为此我们设计了第三个思想实验。

教师介绍思想实验：假设车厢的一头有个人手中的茶杯掉下，另一头的人手中的苹果掉下，运动车厢中间的人观测到它们同时掉下。但是，如果站台上的人来观测，则会认为是不同时。通过这个事实的呈现，学生能够更容易地认识到同时的相对性是普遍存在的。

通过对以上几个典型实例的呈现和讨论，学生可以总结出两个结论：第一，异地事件同时是相对的，即不同参考系下观察到的两地发生两件事情的同时性结果是相对的;第二，异地事件同时的相对性是光速不变的必然结果，换言之如果用光传播信息，则必然导致不同参考系的人对同时的认识不同。

接下来将定性认识与洛伦兹变换推导出的异地同时的相对性结果相比较。例如，某同学左手与右手同时落下一个粉笔和小球，在他看来是同时的事情，如果旁边一个同学坐在高速运行的火车上，他看到的结果将是怎样的？用定性和定量结合的方法解释这个现象，从而帮助学生理解是由于光速不变导致异地事件同时的相对性。

3.5    理解“同时”

设计意图：破除“同时是绝对的”前概念。

到这里，异地事件同时的相对性这个知识点的教学只能说进行了一半，因为这里还牵涉到学生的前概念知识。日常生活中我们往往认为“同时”是绝对的。因此，教学中必须转变学生的前概念。为了转变学生的前概念，需要做如下两点工作：

第一，揭示科学概念和日常概念之间的矛盾。通过以上学习，学生会隐隐意识到之前归纳出的同时的相对性的“同时”与我们日常生活中对“同时”的认识是矛盾的。教师要向学生揭示出这个矛盾。然后可以提问学生，哪个“同时”的概念是正确的？

第二，要帮助学生转变常识的认知论，树立科学的认识论。日常经验的“同时”是建立在同一地点“同时”的基础上的。人的直觉只能感到同一地点的同时，比如说坐在运动车厢中的人会看到站台上的人右手中的两个小球同时落下，火车停下来之后他再来看结果是一样的。但是，人对于相隔很远的两地的同时，则没有直接的经验[4]。也就是说我们只能臆想出两地的同时。

科学家认为为了准确定义事物，最可取的办法是建立一种可以客观观测的定义，而不是根据人主观的臆测去定义，这就是“操作性定义”。例如，科学家把零摄氏度定义为标准大气压下纯水的冰点的温度，这样就完全排除了人的主观感受和臆测，保证了定义的客观性。因此，我们选择操作性定义来定义同时这个概念，即以光信号的传播来定义同时。

3.6    相对论的时间观

设计意图：帮助学生理解时间坐标（时刻）的相对性，以及时间与空间的紧密关联。

为了帮助学生理解时间坐标的相对性，教学的关键在于让学生认识到爱因斯坦对时间的定义。比如，我说火车7点钟到达这里，那我的意思是说我手表上的时针指到7和火车到达这里是同时事件[5]。同一地点的同时，在不同的坐标系看来，是绝对的同时。

根據对某一地点时间的认识，我们可以把它推广到任意地点（铁路线上的点），假定在空间中每一个坐标点放一个时钟，并按照之前的方法校准它们，使它们的指针指着相同的位置，这样“我们把一个事件的时间理解为放置在该事件的最邻近的那个钟表的读数。”[6]（准确地说，爱因斯坦所说的时间是指时间坐标或者时刻）

认识了时间的定义，再联系上面的异地事件同时的相对性，学生就容易理解时间坐标是相对的，这正是洛伦兹时间坐标变换的物理意义。

总之，为了帮助学生理解时间坐标的相对性，教师只需要讲清楚这个逻辑：某件事发生的时刻指的是该事件发生地钟表的时刻，而异地钟表同时是相对的，所以时间坐标是相对的。

以上以思想实验为基础，可以让学生认识到时间坐标与空间坐标之间有密不可分的关系。因此，爱因斯坦在这个基础上构造了一个新的概念描述物体的时空位置，那就是事件。

3.7    爱因斯坦的相对论假设

设计意图：帮助学生理解光速不变和相对性原理为什么作为爱因斯坦相对论的基本假设。

通过对时空概念的讨论，可以发现洛伦兹变换所导致的一系列现象呈现出一条明晰的因果线索：光速不变导致异地事件同时的相对性，进而导致时间坐标的相对性，并产生了新的时空关系。如果将这一系列事情前后联系起来，学生容易发现，这一系列奇异的时空现象背后存在着更根本的东西，那就是光速不变。进而不难建立起一个设想，光速不变很可能是洛伦兹变换的基础;从光速不变也许可以推导出洛伦兹变换。至此，教师可以向学生介绍爱因斯坦推导洛伦兹变换的过程，整个过程就是建立在光速不变和相对性原理的基础上的[6]。经过了这一过程，学生就理解了爱因斯坦为什么把光速不变和相对性原理作为相对论的基本假设。

小结：理解异地事件同时的相对性;理解时间坐标的意义;理解爱因斯坦建立相对论的基本假设。

参考文献：

[1]刘佑昌.相对论并不神秘[M].北京：清华大学出版社，2012：33.

[2]Peter Galison.爱因斯坦的时钟：时间中的空间[EB/OL].苏俊斌，曹婧，译.https：//wenku.baidu.com/view/7e6e276fb84ae45c3b358c7f.html.

[3]庞坤，李明振.认知弹性理论指导下的中小学教师培训教学[J].课程·教材·教法，2007，27（04）：73-76+87.

[4]李艳平，申先甲.物理学史教程[M].北京：科学出版社，2003：246.

[5]爱因斯坦.爱因斯坦文集（第二卷）[M].北京：商务印书馆，1977：83-97.

[6]爱因斯坦.狭义与广义相对论浅说[M].北京：北京大学出版社，2016：19，91.

（栏目编辑    邓   磊）