数学问题解决素养的生成与培育

摘   要

指向数学素养的问题解决能力有其深刻的内涵特质，采用概念分析与跨学科视野，建构了问题解决素养生成的独特逻辑，心理认知规律和数学学科特征则是问题解决素养生成的客观逻辑基础。从学习论的视域入手，提出了学习范式的深度融合和学习结构的优化创设等两类培育路径。

关键词

数学素养  问题解决  数学学习  生成逻辑

数学素养的培育离不开问题解决能力的提升。波利亚指出，问题解决是人类特有的智慧成就和心理活动，他将问题界定为人类面临的某种困难或障碍，解决问题就是寻找恰当路径，绕过障碍或克服困难，从而达到理想的目的[1]。在数学教育中，问题解决是教与学的核心活动。曹才翰等人认为，数学教育研究强调“问题解决”是对数学本质和学习过程的回归，是检验数学应用的一种形式[2]。我国新修订的普通高中数学课程标准（2017年版）首次提出了“四能”课程目标，培养学生发现、提出、分析和解决数学问题的能力[3]。那么，指向数学素养的问题解决的内涵特征是什么？它又是如何生成以及如何培育的？本文从学习论视角出发，通过厘清问题解决素养的内涵与边界，探究其生成与培育的内在机理与逻辑。

一、指向数学素养的问题解决

1.数学素养内涵的动态发展历程

源于对提升青少年基本素质和现代公民素质的诉求，西方国家于20世纪70年代正式提出数学素养的概念。在国际上比较有影响力的组织团体均对数学素养发展及测评提出各自标准，国际学生评估项目（PISA）、国际中学数学教育评估（KASSEL）、全美教育进步评价（NAPE）、国际数学与科学的学习趋势（TIMSS）等测评体系在世界范围内产生了重要影响。我国于2011年颁布的《全日制义务教育数学课程标准》中强调数学素养对培养青少年综合素质的重要贡献[4]。数学素养不是单个数学知识技能和思维方法的叠加，它是一个多维度、多元化、动态发展的综合体，并随着时代的变化而发生变化。TIMSS特别强调数学的认知能力，它跟数学的知识内容和教学目标一同构成区分数学素养类属的维度。PISA强调数学素养发展的问题情境，包括生活情境、学科情境、职业情境、个人情境以及社会人文情境等，且素养孕育于情境之中，将现实情境转换为数学问题的过程就是数学素养培育的过程。数学素养是数学思维、数学方法、数学交流、问题解决以及数学观念的聚合体（见图1）。数学素养的核心就是发展高阶思维和问题解决能力，问题解决既是个体发展思维的工具，又是认知世界的目的。

图1 数学素养结构的五维向度

2.问题解决素养的内涵特质

问题解决是数学素养的重要构成要素和向度。许多国家数学课程标准明确将问题解决能力作为衡量数学素养水平的指标，它是生长与建构数学素养的重要途径。美国数学学习研究会（MLSC）将数学素养界定为个体的数学价值倾向，是超越了数学理解、运算、推理以及问题解决能力的聚合[5]。南非的国家课程报告将数学素养描述为发展数字与空间思考能力，学会解释性与批判性观点，提高解决问题的能力与信心[6]。中国台湾在提升国民素养专案计划报告中指出，数学素养是个体的数学能力和态度，能辨别社会与职业情境中的问题和数学的关系，能够发挥数学思维方式特长，在解决问题过程中能够有效地与他人交流沟通[7]。新加坡的中学数学大纲强调问题解决是形成与养育数学素养的有效路径[8]。

问题解决是数学素养内涵必不可少的一部分，它也是理解数学、探究知识、迁移应用、有效使用数学原理的桥梁。习性学习理论认为学习是一种适应，大多数的学习行为都是功能性的，为了解决某种问题而产生的[9]。问题解决就是个体作用于问题情境过程中的一种适应性的心理行为反应过程，它由某个特定问题情境引起，个体应用已有的认知经验技能，并依据一定价值目标取向，对其进行系列的认知思维操作，最后使得问题得以解决的过程。这个过程包括了对问题情境的发现与识别、表征与分析、实施与操作、评价与检验等。数学问题得到真实解决，其本质就是引发和引导个体心理倾向、能力行为发生了相对持久的变化，这种变化是因个体活动经验引发的，而不是其他生理性或刺激性行为引起的，这正是数学素养生成与建构的起点所在。

二、问题解决素养生长的逻辑基础

1.基于心理认知规律的生成逻辑

目前，问题解决理论主要涉及了桑代克的试误说、科勒的顿悟说、西蒙的信息加工说、吉尔福特的智力结构说、弗莱威尔的元认知、布鲁纳的结构主义、弗赖登塔尔的数学现实以及数学化。这些理论涉及了问题解决过程中的主要构成要素，即动机驱力、经验联结、心理完形、信息加工、智力结构、认知的监控与调节、学习结构、数学情境、数学建模等。

问题孕育于情境（学科情境、生活情境、职业情境、文化情境等），对问题的感知与发现是问题解决的前提条件。问题意识基于个体的生命需要，它是对未知世界的好奇、困惑、探索，充满张力与驱力。当情境空间转换到问题空间后，需要对问题进行描述、界定，即进入到问题的表征阶段。问题表征需要准确把握问题的已知条件和预设目标，它由有意义的数学符号、图象表格、逻辑命题构成，即符号表征、图表表征、命题表征。

问题的存在是因为现有的数学知识经验、已有条件、刺激模式与预设目标之间存在差距，所以才引起了认知的冲突。解决认知冲突与矛盾需要選择可操作的认知策略，确定问题解决的备择策略。一类是层次结构性策略，包括试误、顿悟（或渐悟）、信息加工、求同求异策略、元认知策略等;另一类是学科认知策略，包括知识迁移、数学建模、数学化、抽象推理、定量分析、化归策略、分类讨论策略等。通过对备择的认知策略进行实施与操作，改变问题的初始状态，逐步逼近预设目标状态，并在过程中完成策略的调试、监控、检验、完善等操作。

2.基于数学素养结构的生成逻辑

问题解决作为一项重要的数学活动，需要遵循基本的数学学习结构和规律，它是在学科结构背景下实施的心智活动。问题解决跟数学思维、数学方法、数学交流、数学观念构成数学素养的五维向度，它的生成过程并非是单独进行的，而是与其他素养交织在一起。问题解决过程涉及到个体情感感知、问题界定与表征、方法备择、实施操作、检验评判、素养转化等环节，而每个环节都蕴涵着数学思维、数学方法、数学交流、数学观念等认知以及观念因素（见表1）。

数学思维的主要作用是促进学生自主地形成以数学视角观察问题、思考问题、表达问题的能力品质。在问题解决过程中，数学思维主要起到深层次思考、数学抽象、逻辑推理、批判创新、自我调节等功能。相对于低阶思维，它更倾向于发展学生的高阶思维品质，即内省思维、创造性思维。数学方法涉及了数学学科中的一般方法、特殊方法以及逻辑学方法。执行问题解决策略，尤其是面对复杂的问题，往往需要对问题进行分解、转化、重构、甚至重新解构与表征，这就离不开数学方法，应用数学方法解决问题，不断逼近目标，缩小初始目标与预设目标间的距离。数学交流是指以数学符号、图表、文字等作为语言媒介，以数学知识、数学活动等作为载体，以数学信息的提取、加工、交流为目的一种数学活动。从本质上说，数学交流是数学思维的外在形式，属于数学思维的流动。从交流对象上说，分为外部交互（师生交流、同伴交流）和内部交互（自我表达、内省）。数学观念是学习者对数学的一种基本态度与看法，对问题意识的启发、问题方案的表征与分析、策略实施的自我规划与调控等都有着重要的导向作用。

所以，数学思维决定问题解决的心智技能水平，尤其是自主思考能力和推理能力;数学方法是问题解决过程中必不可少的认知操作门径和方法策略;数学交流有助于提升思维的流畅程度以及交流表达水平，在问题解决过程中的促进人际合作与交往;数学观念是影响问题解决过程中情感与动机的最根本因素。

三、问题解决素养的培育路径

1.素养培育与学习范式的深度融合

从学习范式角度看，数学学习是关于数学知识、技能、思维、方法等习得性与生成性的一种基本意向。即便是同一种数学活动，在不同的学习范式过程中也有着不同的学习结果。问题解决是知识迁移、创新性思维的表现，它需要结合恰当的学习范式才能取得相应的成效以及心理发展。高翔、徐斌艳等人研究结果证实问题解决需要提升个体的深层次思维与数学表达能力[10]。

培育个体的问题解决素养，就是根据个体的实际情况，将数学素养的培育与相应的学习范式进行深度的融合。自主学习、发现学习、探究学习、个性化学习的共同特征（交集）就是充分发挥个体的主体性，强调个体学习的自我建构、自我规划。这对培育个体的数学问题意识（发现问题和提出问题）具有重要作用，也是这些学习范式的精髓所在。合作学习有利于开展同伴学习，发展数学交流能力。深度学习和研究性学习是发展数学思维，特别是高阶思维，有效地提升个体分析、解决数学问题能力。

2.素养培育与学习结构的优化设计

学科结构和已有经验是学习的起点，学习目标、内容、进度等要素需要联结学科结构和已有经验。培育个体的问题解决素养，需要重新组织、转换、建构恰当的学习结构。学习结构就是基于学生的学情和数学结构创建的，它是学习过程中的各个要素的有机结合，有利于个体的知、情、意、行的协调发展。问题素养培育与学习结构具有一定的因果逻辑生成关系。数学知识技能只有融入数学结构体系中才能更好地意义建构和理解，知识的建构与理解只有促进个体心理发生比较持久的变化才能使得知识技能得以巩固。

培育问题解决素养的学生学习结构的优化设计，联结了数学结构、学习目标、学习内容、学习进度、學习方式、学习资源、学习环境等要素。这种学习结构需要有效联结学习主体与学习客体的联系、数学与环境的联系[11]。学习客体包括学习环境和学习材料（数学课程标准、数学结构、学习内容、学习资源）。问题解决活动就是创设数学活动的载体，搭建学习主体与客体交互的平台，它贯穿于整个学习过程中。其中学习目标、学习进度、学习方式等是调节、监控学习过程和学习主体状态的重要维度。问题解决素养的生成则是活动经验的结果和学习表现。

综上所述，问题解决是数学实践活动的核心，它不仅是一项智能活动，还是个体建构能力素养生成和心理认知发展的过程。深入探究问题解决素养的培育路径，不但能够促进人们深度认识问题解决素养形成的内在机理，而且为深入分析与建构问题解决素养的生成路径创建必要的理论底蕴。

参考文献

[1] 波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006：165.

[2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2018：44.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社出版社，2018：8.

[4] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标[S].北京：人民教育出版社出版社，2011：1.

[5] 廖运章.美国NRC数学素养观及其影响[J].外国中小学教育，2015（02）：59-65.

[6] Departmentof Education（DOE）. National Curriculum Statement Grades 10-12 （General）Mathematical Literacy [J].Pretoria：Department of Education，2003：6.

[7] 张维忠，陆幸意.台湾《数学素养向度建议文》评介[J].浙江师范大学学报：自然科学版，2014，37（04）：416-420.

[8] Ministry of Education， Singapore， Mathematics Syllabus （Secondary）[S].Singapore：Author，Curriculum Planning，2007：2-5.

[9] 施良方.学习论[M].北京：人民教育出版社，2001：417-421.

[10]高翔，徐斌艳.五至八年级学生数学问题解决能力的实证研究——以“探索规律问题”为例[J].教育学术月刊，2020（01）：106-111.

[11] 姬梁飞.运用四维心理视角分析解决数学问题[J].教学月刊·中学版：教学参考，2019（12）：51-55.

【责任编辑  郭振玲】