“明目张胆”解数学文化题

袁琴芳

[摘  要] 蕴含着数学文化背景的试题是以数学为本源考查学生的数学核心素养水平，应用“明目张胆”的模式解题，让学生能明确较复杂的数学问题的主题，构建出数学目标模型的表达，张本继末地写出论证过程，大胆心细地解决问题. 真正从知识、思想、思维、精神上协助学生的数学核心素养落地生根.

[关键词] 八省市联考;试题研究;数学文化题

[⇩] 提出问题

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）中指出，数学文化是指“数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动.”随着我国教育改革的推进，蕴含着数学文化背景的试题（以下简称“数学文化题”）成了高考试题中一道不可或缺的亮丽的风景，它不仅能从数学理性的角度来考查学生的数学学科核心素养的培养程度，更能将人类繁荣和发展的人文气息与科技脉络融入学生的学习评价.但由于数学文化题的背景来源浩瀚广博，表现形式丰富多彩，没有固定的模式，導致许多学生对数学文化题有了畏困心理，使得学生在考试时总不能快速准确地解决问题，故以此文与大家共享解决数学文化题的根本方法.

[⇩] 解题研究

例1 （2021年八省市高考适应性考试第20题）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有三个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×=π，故其总曲率为4π.

（1）求四棱锥的总曲率;

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数.

分析：本题蕴含着大学微分几何中的曲率及欧拉公式，将一幅北京大兴国际机场的美丽画卷与数学文化完美地融合成一道数学题，展示了我国在科技文化方面的自信与成就.重点考查立体几何的点、线、面及角的关系，突出考查学生获取新知识、探究新问题的能力，能真正体现学生数学建模、数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养. 本题不仅显性地考查了大学微分几何中的曲率及欧拉公式的运用，而且隐性地从空间立体几何的直观想象素养入手，落实数学核心素养的评价. 本题看似有难度，但实际上仅需突破一个让人耳目一新的新知“曲率”即可. 究其本质，就是一个数学概念的表达式的应用，故解题之前需理解以下这句用自然语言表达的话：“规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.”将其翻译为数学符号语言，建立一个数学模型即可.

解析：（1）设四棱锥的总曲率为K，四棱锥的面角之和为θ. 依题意可知，四棱锥的面角之和θ等于4个三角形的内角和加上1个四边形的内角和. 所以四棱锥的总曲率K=5×2π-θ=10π-4π-2π=4π.

（2）不妨设满足题意的多面体的总曲率为K，面角之和为θ，棱数为E，面数为F，顶点数为V，并将其F个面分别记为n（i∈[1，F]，i∈N）边形，显然n=2E，所以此F个面的面角之和θ=（n-2）π=πn-2πF=2πE-2πF=2π（E-F）. 依题意可知，V-E+F=2，故多面体的总曲率K=V·2π-θ=2πV-2π（E-F）=2π（V-E+F）=4π. 所以这类多面体的总曲率K为4π.

评论：本题的第一个难点在于对新概念的理解要从三个层次提取：第一层，多面体的面的内角叫做多面体的面角;第二层，多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差;第三层，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和. 本题的第二个难点是每个顶点的面角之和不便一一表达，但从整体的角度来表达还是比较容易的，需要利用初中学过的多边形的内角和公式. 故知识的跨度是从大学到高中再到初中，让学生的思维逆流而行，调取知识的时间长度大大增长了，因此对学生而言，展开思维也更加困难了. 然而也只有这样的试题才能真正体现学生学会了学习、学会了思考、了解了数学的本质，才能确确实实地考查学生的数学素养.

[⇩] 形成的解题模式

所谓“明目张胆”，指的是：

第一步，明，即明确主题. 此类数学文化题的背景知识是落实在高中数学的某个分支，通常的大主题有代数、几何、概率与统计，具体细分则有函数、方程、不等式、数列、三角、平面几何、立体几何、解析几何、向量、排列组合、概率、统计等.

第二步，目，即目标模型. 就是此类数学文化题在某个知识点下涉及的数学思想方法与本质内涵，需要建立数学目标模型，可以是等式、不等式、方程、代数式、比例式等;数学思想方法可以是数形结合思想、分类与整合思想、或然与必然思想、转化与化归思想、函数与方程思想等.

第三步，张，即张本继末. 本意是“把事情的本末说明白”，在这里的意思则是把解题的过程完整地写出来，即用数学符号语言或者图形语言工整地表达出来.

第四步，胆，即胆大心细，相信自己能做好. 由于实际的建模问题有时需要考虑现实的存在性问题，因此在快速作答时要注意细节.

此模式易于理解、易于操作，学生若能形成这样的思维方式与程序，将有助于学生随心所欲地解答数学文化题. 掌握此模型最重要的是在读题时抽取题目中的数学思想与数学知识，形成完整的数学符号的表达.

[⇩] 推广应用

例2 （2013年高考理科数学湖北卷第14题）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为=n2+n. 记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数 N（n，3）=n2+n

正方形数 N（n，4）=n2

五边形数 N（n，5）=n2-n

六边形数 N（n，6）=2n2-n

……

可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=______.

评析：本题以毕达哥拉斯学派的数学家研究多边形数的数学史为背景，凸显了数学学科知识之间内在的数据关系与逻辑关系，重点突出过程中对观察、分析、尝试、推理等的体验，故解题步骤为：

第一步，明确主题是数列.

第二步，目标是探究数列求和的表达式.

第三步，由题设可知，N（n，k）的表达式中n2前面的系数满足成单调递增的等差数列，n前面的系数满足成单调递减的等差数列，故N（n，24）=11n2-10n，所以N（10，24）=1000.

第四步，检查一下计算细节.

例3 （2019年高考理科数学全国卷Ⅰ第6题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图2就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（  ）

A. B.

C.  D.

评析：本题是以我国古代典籍《周易》中富含哲学思想的“卦”为载体，重点体现的是“卦”简易的表达方式及变化多样的本质，本质是理解或然与必然数学思想，故解题步骤为：

第一步，明确主题是概率.

第二步，目标是利用排列组合的基本原理和公式求解概率.

第三步，由题设可知，每一爻有2种情况，每一重卦有6个爻，共26种情况，其中6个爻恰有3个阳爻，共C种情况，所以随机取一重卦恰有3个阳爻的概率为=.

第四步，检查一下问题细节“阳爻”与“阴爻”的概念即可，故选A.

[⇩] 思考与建议

“明目张胆”地解决数学文化题，以程序化、模式化的思维引导学生思考，可以有效地解决学生的畏难情绪. 有模式的范例，学生就能胸有成竹，当然就更容易从本质上看透数学文化题——本质就是数学建模问题.相对课改前期的数学应用题，现在的数学文化题更多更重视现实应用与科技的融合，同时又能恰到好处地设计数学思想的内涵，完美构建水乳交融的数学本质、数学理性与文化的关系，这也使得学生现在解题的难度呈几何倍数增长. 但从考查学生的数学核心素养的层面来说，现在的数学文化题更加符合新课标中测评学生的逻辑推理素养水平的要求，即要求学生“对于较复杂的数学问题，能够借鉴学过的论证思路，通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题……”因此数学文化题不仅能真正将数学文化的魅力展现出来，又具培养和考查学生数学核心素养的教育价值，今后数学文化题仍将成为高考创新改革的重点，大家要给予重视.

在教学中建议以下几点：

第一，要重视对数学各个分支知识和思想方法的本质的理解.数学文化题重点考查的是学生的数学基础知识和基本思想方法，因此每个教师都要对高中数学每个分支知识的历史有所了解，并且能够在平时的教学中促进学生更好地理解数学每个分支知识和思想方法的本质特征与运用方向，让学生在建模中高效地抽取出主題，快速破题.

第二，要创造机会让学生去阅读、去思考.学生所拥有的能力与素养来自平时一点一滴的数学基本活动经验的体会与积累，没有良好与丰富的数学基本活动经验，学生就无法理解新生成的知识，无法形成思维抽取、分析、建模的系统化与习惯化，容易在读题审题时出现犹豫不决、无法定夺建模的形象.

第三，要留足时间让学生学会辨析与选择. 讲解例题时不要急于求成、力图快速地帮助学生解决问题，从而让学生失去了自己思考问题的时间与空间，导致教学舍本逐末. 学生没有经历思维与知识生产的阵痛，自然无法自己钻出泥土茁壮成长，因此教师要学会放手，让学生亲身经历风雨，才能遇见高考的彩虹.

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