二次函数与动点产生的二倍角问题

张文

二次函数是历年中考必考内容之一，难度大，综合性强.有一类题是动点与二倍角问题相结合，此类题构思精巧，解题方法灵活.本文举例进行分析.

【原题呈现】

例（2020·辽宁·葫芦岛改编）如图1，抛物线[y=-34x2+94x+3]与x轴交于点A（-1，0）和点B（4，0），

与y轴交于点C（0，3）. 若在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB = 2∠ABC，求出D点坐标.

分析：在此问题中，∠DCB与∠ABC的顶点位于它们公共边的两端，∠DCB在变化过程中若成为∠ABC的2倍，其角平分线就会与AB边所在的x轴平行，因此我们可以先作平行线，再由角平分线的对称性构造出符合条件的∠DCB，然后利用相似三角形求出点D坐标.

解：如图1，作CE[⫽]x轴交抛物线于点E，则∠ABC = ∠ECB，

又∵∠DCB = 2∠ABC = ∠ECD+∠ECB，

∴∠ABC = ∠ECD，

作DH⊥CE于点H，则∠DHC = 90° = ∠COB，

∴△DHC∽△COB， ∴[DHCO=CHBO]，

设D [x，-34x2+94x+3]，

由题意，知OB = 4，OC = 3，DH = [-34x2+94x]，CH = [x]，

∴[-34x2+94x3=x4]， 解得[x1=0]（与C重合，舍去），[x2=2]，

当x = 2时，[y=-34x2+94x+3=92]，即D [2，92].

【变式拓展】

变式1：连接AC，在抛物线上是否存在点P，使得∠PAB = 2∠ACO？若存在，请求出P点坐标;若不存在，请说明理由.

分析：在此问题中，∠PAB与∠ACO在图形上没有过多的联系，而∠PAB在变化过程中其一边AB始终落在x轴上，因此我们的思路是将几何问题转化为代数问题，利用三角函数来解决：先由y轴的对称性构造∠ACO的二倍角∠ACE = ∠PAB，然后求出∠PAB的正切值，最终求出P点坐标.

解：在x轴正半轴取E（1，0），连接CE，作EF⊥AC于点F，

由题意，点A和点E关于y轴对称，

∴∠ACO = ∠ECO，即∠ACE = 2∠ACO，

由勾股定理及[S△ACE=OC×AE2=EF×AC2]易得[CE=10]，[EF=3105]，[CF=4105]，

∴Rt△CEF中，[tan∠ACE=EFCF=34]，

若∠PAB = 2∠ACO，则∠PAB = ∠ACE，

设P [x，-34x2+94x+3]，作PH⊥x轴于H，

情况①：如图2，点P在x轴上方运动时，

[PH=-34x2+94x+3]，[AH=x+1]，

∴[tan∠PAB=PHAH=-34x2+94x+3x+1=34]，

解得[x1=-1]（与A重合，舍去），[x2=3]，

当x = 3时，[y=-34x2+94x+3=3]，即P（3，3）;

情况②：如图3，点P在x轴下方运动时，

[PH=34x2-94x-3]，[AH=x+1]，

[tan∠PAB=PHAH=34x2-94x-3x+1=34]，

解得[x1=-1]（与A重合，舍去），[x2=5]，

当x = 5时，[y=-34x2+94x+3=-92]，即P [5，-92].

变式2：抛物线顶点为点D，连接AC，BC，若点P是抛物线上一个动点，连接DP，过点D、点P分别作线段DE，PQ平行于y轴，交线段BC于点E和点Q，若∠DPQ - ∠PDE = 2∠PDE，求出P点坐标.             分析：在此问题中，需要正确作出图形并认真分析题目条件，∠DPQ与∠PDE是一对平行线所截得的同旁内角，则∠DPQ + ∠PDE = 180°，结合∠DPQ - ∠PDE = 2∠PDE易求得∠PDE = 45°，进而可以利用等腰直角三角形的性质求出P点坐标.

解：易得顶点坐标D [32，7516]，设P [x，-34x2+94x+3]，

如图4，作PH⊥DE于点H，由PE[⫽]y轴，PQ[⫽]y轴易证DE[⫽]PQ，

∴∠DPQ + ∠PDE = 180°，

又∵∠DPQ - ∠PDE = 2∠PDE，∴∠PDE = 45°，

情況①：如图4，点P在D点右侧时，

则[PH=x-32]，[DH=34x2-94x+2716]，

∵等腰直角三角形PDH中，PH = DH，即[x-32=34x2-94x+2716]，

解得[x1=32]（与点D重合，舍去），[x2=176]，

当x = [176] 时，[y=-34x2+94x+3=16148]，即P [176，16148];

情况②：如图5，点P在D点左侧时，

则[PH=32-x]，[DH=34x2-94x+2716]，

∴等腰直角三角形△PDH中，PH = DH，

即[32-x=34x2-94x+2716]，

解得[x1=32]（与点D重合，舍去），[x2=16]，

当x = [16] 时，[y=-34x2+94x+3=16148]，即P [16，16148].

变式3：点P从点O出发，沿y轴正半轴以2个单位长度/秒的速度向上运动，连接AC，AP，在点P运动过程中，是否存在某一时刻t，使得∠OAC = 2∠OAP？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.

分析：此问题将二倍角问题与动点的速度与时间相结合，出现了更多的变量，这时要把握住问题的本质，即AP为∠OAC的角平分线，从而利用角平分线的性质定理构造直角三角形，结合勾股定理找出P点坐标.

解：如图6，作PH⊥AC于点H，

由题意设P（0，2t），则OP = 2t，CP = 3 - 2t，

∵∠OAC = 2∠OAP，

∴AP平分∠OAC，

易证△AOP≌△AHP（AAS），

∴HP = OP = 2t，AH = AO = 1，易得CH = [10-1]，

∵Rt△CHP中，[CH2+HP2=CP2]，

即[10-12+] （2t）2 = （3 - 2t）2，解得[t=10-16]，

∴t值为[10-16]时，∠OAC = 2∠OAP.

（作者单位：阜新市实验中学）