复杂产品数字孪生装配模型表达与精度预测

易 扬，冯锦丹，刘金山，陈长江，刘晓军，倪中华

(1.东南大学 机械工程学院，江苏 南京 211189；2.北京卫星制造厂有限公司，北京 100094；3.上海航天设备制造总厂有限公司，上海 200240)

0 引言

随着航天器(卫星、火箭等)、飞机、高端数控机床等复杂产品整机装配性能保障由最初的设计、制造环节逐渐向装配环节发生深刻转变，通过产品设计、制造和装配三者协同来保证产品整机性能成为发展的必然[1-2]。复杂产品机械结构具有高服役性能、高可靠性和高性能保持性的特点，零部件的高性能装配是实现产品功能的前提和基础，而装配精度则是体现产品机械结构性能、保证产品装配质量的重要技术指标。因为当前大多数复杂产品装配过程具有高度离散型装配的特点，其产品最终的装配精度和装配性能难以在产品设计、加工制造、装配等环节的各种耦合因素综合下得到保证，所以有效准确地预测和分析复杂产品离散装配过程的装配精度，进而对产品现场装配过程进行高效协调与精度控制，为后续产品装配工艺进行闭环反馈优化并持续改进产品装配质量提供指导策略，具有非常重要的意义。

产品装配精度指装配后精度输出的几何要素或装配功能需求(Assembly Functional Requirement, AFR)的几何要素在某一指定方向上允许的误差最大变动值，而装配精度预测就是在实施装配前利用相关计算方法或技术手段有效预测产品装配精度的过程。通常传统的装配精度预测方法是在产品装配设计阶段利用产品已知的几何尺寸和公差(Geometric Dimensioning and Tolerancing, GD&T)信息，通过计算机辅助公差(Computer Aided Tolerancing, CAT)分析手段获取目标装配精度，验证公差设计的合理性并指导装配工艺设计，力图在产品装配过程中以最低成本制造出满足装配精度要求的产品。关于如何有效准确地预测和分析装配精度的问题，国内外学者主要围绕装配公差建模[3]、装配偏差传递与累积[4]、公差综合与优化[5-6]等进行了深入广泛地研究。以上研究成果虽然能够在一定程度上预测装配精度，但是在其精度预测准确性方面存在差异，而且缺乏统一通用的装配工艺定量优化理论和方法，使基于理论模型的装配精度预测结果与实际装配状态不一致，其装配质量也无法满足复杂产品高性能装配与使用的需求，更不能很好地控制复杂产品的装配精度。

近年来兴起的数字孪生(Digital Twin, DT)概念及其相关技术为复杂产品装配研制带来了新的技术手段和解决途径，其能够驱动物理装配空间和虚拟装配空间进行虚实交互融合，使实现复杂产品装配制造模式的转型升级成为可能[7-8]。Zhuang等[9-10]针对复杂产品装配车间提出基于数字孪生的智能生产管理和控制框架，进而提出一种数字孪生驱动的复杂产品数据管理与过程可追溯的方法，并基于该方法设计了基于数字孪生的装配过程管理与控制系统(Digital Twin-based Assembly Process Management and Control System, DT-APMCS)，取得了良好的效果；周石恩[11]提出一种融合多层次信息的数字孪生装配模型(Digital Twin-based Assembly Model, DT-AM)表达方法，并针对薄壁件装配问题提出基于孪生数据的产品定位-装配精度预测方法，获得了薄壁件孪生体的真实装配误差；Sun等[12]面向高精密机械产品提出一种数字孪生驱动的装配调试方法，并针对产品可装配性预测和装调工艺优化制定了相应的对策，保证了高精密机械产品的最终装配性能；Polini等[13]通过引入数字孪生工具支持复合材料装配制造工艺的轻量化设计，连续且无歧义地实现了从零件设计到装配的全生产周期几何偏差信息流管理。总而言之，数字孪生技术可以为物理装配实体与其对应的虚拟装配模型之间创建关联，从而在产品装配工艺设计阶段引入装配现场的实测数据信息，通过构建与复杂产品装配实物完全一致且相互映射的虚拟模型，在线模拟仿真并准确预测复杂产品的装配精度及其装配过程行为和装配性能，然而在如何具体利用数字孪生技术实现复杂产品装配模型精准建模与精度预测以及相关关键技术的有效集成与应用方面，仍需进一步深入研究。因此，本文在前期研究[14-16]基础上，进一步将数字孪生的核心思想引入复杂产品装配过程，提出复杂产品DT-AM表达和精度预测方法，着力开发基于数字孪生的产品装配精度预测功能模块，利用产品装配“模型—数据—信息”的动态迭代与更新实现产品装配过程的虚实融合，精准构建DT-AM，在此基础上设计适用于复杂产品数字孪生装配精度预测的计算方法，最终基于数字孪生实现对复杂产品装配精度的准确预测。

1 基于数字孪生的复杂产品装配精度预测总体流程

通常，完整的产品装配精度预测过程指在产品设计的预装配阶段，通过获取产品装配拓扑关系和零件GD&T设计数据，在虚拟装配环境中建立合适的算法模型(如极值法/均方根法/蒙特卡洛法等)进行仿真和模拟计算，从而预测产品的装配精度和装配成功率。然而，实践表明，在复杂精密机械产品装配过程中，产品装配精度预测与保障不仅需要通过产品零件的公差设计与优化进行控制，还需借助在实际装配过程中合理规划测量与调整等装配工艺来共同实现[17]。另外，采用当前主流的CAT软件分析装配精度时，主要面向以刚体假设为前提的无误差理想设计模型，往往忽略了因零件几何形状误差、外部装配环境因素(如承受载荷、温/湿度变化等)影响而带来的装配过程误差。因此，随着复杂机械产品零部件的结构和装配关系越来越复杂，装填密度和装配精度的要求越来越高，为避免复杂产品离散装配过程中出现多次试装、修配、反复拆装等操作，在复杂产品在设计阶段引入装配现场采集的实测数据来修正并提高产品装配精度的预测结果就显得尤为重要，而传统的产品装配精度预测方法并不能满足当前复杂产品的装配需求。

为解决上述装配难题，并促进数字孪生技术在复杂产品装配工艺应用中落地，提升现有装配精度预测手段，本文提出基于数字孪生的复杂产品装配精度预测方法，总体流程如图1所示。借助数字孪生技术，首先在虚拟装配空间构建并生成复杂产品装配设计模型，并基于理论数模进行装配工艺设计与规划，确定合理有效的面向物理装配空间的装配工艺参数；然后在物理装配空间，根据复杂产品装配对象所创建的数字化组合测量辅助装配平台，实时感知并采集产品装配过程中的多维度装配实测数据，经数据预处理(如数据清洗、剔除异常值等)后传输到虚拟装配空间，动态构建和迭代更新产品装配设计模型，形成DT-AM，完成物理装配空间与虚拟装配空间中“模型—数据—信息”三者之间的关联和互动，即“虚实融合”过程；最后，基于DT-AM，在虚拟装配空间对融合多维度误差源的产品数字孪生装配精度进行仿真、计算和预测，通过装配精度预测值评估产品装配的可行性，若预测值正常，则物理装配空间继续执行当前装配工序，若预测值不满足装配功能需求，则需要基于实测数据对装配工艺参数进行优化反馈，由此达到复杂产品装配过程“以虚控实”的闭环控制效果。对于物理装配空间，在现场装配时可反复执行上述装配精度预测方法流程(如图1)，直到完成整个复杂产品的装配任务，满足复杂产品最终装配精度的要求。

2 复杂产品数字孪生装配模型表达与精准建模

2.1 相关术语与概念

为便于理解复杂产品DT-AM表达与精准建模方法，本节首先对涉及的相关术语和概念进行说明。

(1)数字孪生装配模型 DT-AM指利用数字孪生技术构建的与真实世界中的物理装配模型完全对应和一致的虚拟装配模型，其本质是作为数字孪生体(也称数字孪生模型)在产品装配设计模型上的实例化体现。根据产品数字孪生体的内涵体系[18]，并结合面向制造与装配过程的产品设计模式，进一步将DT-AM划分为孪生装配对象模型(Digital Twin-based Assembly Object Model，DT-AOM)和孪生装配工艺模型(Digital Twin-based Assembly Process Model，DT-APM)，可从多物理、多维度、超写实、动态演化的全方位角度仿真产品装配模型，并以此模拟、监控、诊断、预测、控制产品装配实体在物理装配环境中的形成过程、状态、行为和性能。具体的DT-AM组成与表达方法详见后续章节。

(2)装配工序间模型 装配工序间模型(Assembly In-Process Model，AIPM)由当前装配工序的待装配零部件模型与前一道装配工序装配体模型两部分组合而成，共同构成装配过程中间状态的装配目标模型。因此，从产品装配的第一道工序开始，结合装配工艺规划的装配顺序依次组装若干个零部件，可形成当前装配工序对应的AIPM，并不断迭代至产品装配完成为止。由此可见，通过第i道工序装配的零部件模型对象与第i-1道工序的AIPM之间求并集，将构成第i道工序的AIPM，其形式化描述为

(1)

式中：k和n分别为第(i)道工序对应的当前装配工步和工步总数；P为当前装配工步组装的零部件。

(3)实做装配工艺信息 实做装配工艺信息(As-built Assembly Process Information，AAPI)是相对于产品装配工艺设计阶段的预规划装配工艺信息(Pre-planning Assembly Process Information，PAPI)而言，具体指按照PAPI执行现场装配任务时，实际参与到产品装配活动中的所有物料、装配对象、装配资源、质量数据、技术状态等工艺信息的集合。AAPI不仅可以保证产品现场装配过程中所涉及实做工艺信息(如实做物料、实测尺寸、实测装配变形误差、技术状态实测值、实做装配资源等)的追溯，还可用于对物理装配对象的实时在线装配仿真、监控、追踪、行为预测及性能控制、质量管理等，从而构建成一个闭环反馈优化的产品装配全流程数据管理体系。

2.2 数字孪生装配模型组成与表达

如前所述，DT-AM的主要职责是反映/镜像对应物理产品装配实体的真实模型状态和实际装配过程的真实装配行为，分别由DT-AOM和DT-APM表达产品装配的真实模型状态和真实装配行为，在此基础上进一步采用产品装配建模和仿真技术预测“通过仿真进行交流”的装配精度，达到产品数字孪生装配“虚实融合、以虚控实”的目的。下面将分别介绍DT-AOM和DT-APM的表达方法。

2.2.1 孪生装配对象模型

作为产品物理装配实体的虚拟映射对象，DT-AOM应具有单一数据源且涵盖产品全生命周期管理，并可用于无缝协同设计和仿真的“全局”模型特点。为实现产品装配对象模型在虚拟装配空间不同尺度下的全要素重建和数字化映射，本节在笔者前期提出的以非理想表面模型为载体，实现数字孪生模型几何参考表达方法的基础[16]上，结合新一代产品几何技术规范(Geometrical Product Specifications, GPS)标准体系，进一步扩展并延伸上述几何参考表达方法，引入肤面模型形状(Skin Model Shapes, SMS)[19-20]表征DT-AOM，可以根据不同装配应用场景的不同几何偏差表达粒度需求，实现装配对象模型的高保真度模拟与仿真。

由参考文献[21]可知，作为产品设计构想出来的符合公差规范要求的非理想表面模型，肤面模型(Skin Model，SM)是由无限个数据点构成的连续表面，可作为连接产品公称表面模型和实际工件真实表面模型的桥梁(如图2)，而SMS是由SM衍生出来的由有限个离散数据点集构成的表面模型，可以采用有限参数定义零件表面模型的形状、方向、位置和尺寸，更加有利于产品几何偏差表达和计算机仿真。已有文献表明，SMS在产品公差分析与综合[22]、装配精度预测[23]等方面有着非常重要的作用。

相比于实际物理工件，作为不包含材料和工艺等非几何信息属性的表达模型，SMS能够根据新一代GPS标准体系在产品“功能描述、规范设计、认证/检验评定”不同阶段的几何公差规范要求下，对产品实际零件形状和几何偏差进行计算机模拟仿真，从而估计产品几何偏差在不同维度下(如位置方向误差、形状误差、波纹度、粗糙度等)的变动范围(如图3，其常见的建议仿真方法详见参考文献[24])，并根据产品不同的应用场景和使用需求选择不同的SMS仿真方法，限于篇幅，不再赘述。

因此，DT-AOM可进一步描述为运用离散几何方法模拟符合新一代GPS标准体系的SMS，可用于全要素重建物理实体零件的几何偏差以及数字化映射实际装配对象。该模型的具体生成流程如图4所示。首先在新一代GPS标准体系框架下选定DT-AOM建模方法，在设计阶段选择设计规范操作过程对应产品设计定义的CAD模型，在实测阶段选择检验认证操作过程对应产品加工制造的实际工件模型；然后分别对具体的模型对象进行操作：①对于CAD模型，通过提取并识别GD&T信息对其进行离散化操作，获得所有表面特征的离散点集，再采用网格生成算法生成网格模型，并适时进行网格细分，以避免粗大、不均的网格，随后通过特征分割对每个独立特征表面进行几何偏差仿真分析，并按照误差来源(系统误差和随机误差)将误差项叠加到名义公称表面模型对应的离散点集上；②对于实际工件模型，采用测量仪器在测量数据采样策略下获取有限个离散化的点云数据，经由数据降噪、平滑、对齐等预处理后，采用小波分析理论对采样的实际工件表面形貌进行多尺度滤波，并按照误差成分(形状误差、波纹度、粗糙度)频带进行划分、合成与叠加，从而得到具有多尺度误差成分的离散点集。最后将各自得到的具有不同维度几何偏差项的离散点集生成SMS，并在满足产品设计公差规范的前提下，将各自独立的SMS表面结合生成与产品物理实体相映射的DT-AOM，具体执行过程可参考文献[16]。

值得指出的是，由于在DT-AOM表征过程中考虑了产品装配对象的实际制造误差和测量不确定度，使基于DT-AOM构建的产品装配对象模型具有较高的拟实化程度，可作为产品全流程装配偏差管理的单一数据源来反映装配过程中的产品实际装配状态，为复杂产品装配误差计算与精度预测提供了模型基础。

2.2.2 孪生装配工艺模型

作为产品虚拟和物理装配过程中虚实融合与双向映射的桥梁和基础，DT-APM不仅应保留当前基于模型定义(Model-based Definition，MBD)的三维装配工艺设计信息，还应涵盖能将数字孪生技术应用于产品现场装配过程的实做工艺信息以创建AAPI，从而在虚拟装配空间实现相应的物理装配空间全要素/全流程/全业务相关数据的交互融合。本节在笔者前期提出的以三维装配过程模型为载体，提出面向现场装配的产品装配工艺模型表达方法的基础[15]上，进一步利用数字孪生思想，通过创建数字化组合测量辅助装配平台，获取物理实际装配过程中的实测数据并反馈到装配工艺设计层，丰富并迭代更新装配工艺信息，从而结合基于DT-AOM的AIPM动态构建并生成DT-APM。因此，归纳总结DT-APM的具体结构形式，如图5所示。

如图5所示，DT-APM是在相应的产品DT-AM精准建模机制下，以AIPM为装配模型表达载体，用产品装配工艺信息数据集(Assembly Process Information Data，APID)为装配工程语义内容，动态构建并生成可用于产品装配过程虚实双向映射的数字孪生装配工艺模型。按照产品装配工艺活动层次关系，可将DT-APM分为数字孪生装配工序级工艺模型和数字孪生装配工步级工艺模型，而且两种模型均具有相同的结构形式；按照产品装配工艺信息描述内容，可将APID划分为PAPI和AAPI，其中，PAPI用于在产品预装配阶段确定装配工艺参数并指导物理装配任务，AAPI则从物理装配空间实际感知装配过程数据反馈到虚拟装配空间所生成的AAPI，并可随产品实际装配工艺进程进行装配工艺信息虚实融合和数据更新迭代。根据上述描述可将DT-APM形式化表示为：

DT-APM::={AIPM,APID}；

(2)

APID::={PAPI,AAPI,MUM}。

(3)

式中MUM表示PAPI和AAPI之间的相互映射更新机制，其相关方法描述可参考文献[15]。

由于复杂产品的装配精度和装配工艺规划具有高度密切的相关性，不同的装配工艺方案将呈现出不同的装配精度结果，从而影响复杂产品的装配准确性和一致性，因此需要进一步明确基于数字孪生的产品装配工艺规划中涉及的具体数据信息来源，尤其是面向现场真实装配工况的AAPI。为便于统一表达产品虚拟装配预规划阶段和物理装配实际操作阶段的数据信息，本文将APID数据信息来源归纳整理为4类[7](前两类派生出PAPI，后两类派生出AAPI)：

(1)产品设计数据 包括产品三维设计模型、包含配合约束关系的工程物料清单(Engineering Bill of Material，EBOM)、基于MBD的面向装配的产品制造信息(Product Manufacturing Information，PMI)以及关联属性数据(如零件ID号、版本号、坐标系统、材料等)，其中，PMI包括产品设计GD&T三维标注数据和符号语言，以及3D注释、技术要求、材料明细表等非几何信息。

(2)装配工艺数据 包括在产品设计数据基础上，涉及装配工装工具设计模型、装配工艺参数、装配质量检验/测量/控制要求、装配规划仿真评价等的相关性数据，具体涵盖面向装配的工艺规划物料清单(Process Bill of Material, PBOM)，以及诸如装配工艺仿真视频动画、照片、关联的工艺文字和文档等非结构化数据。

(3)静态装配过程数据 包括面向装配的制造物料清单(Manufacturing Bill of Material, MBOM)，通过数字化组合测量辅助装配平台检测得到的零部件加工制造精度、真实装配配合精度、装配质量最终技术状态等装配实测数据，以及装配进度数据、装配资源和消耗物料等实际数据。

(4)动态装配过程数据 包括在产品现场装配过程中的实际操作数据、装配过程状态监测数据、多传感器采集和分析数据、逆向过程重建数据、装配在线仿真与精度预测数据、装配工艺变更/优化的反馈数据等。

需要特别指出的是，针对本文重点讨论的复杂产品数字孪生装配精度预测方法,AAPI需着重关注产品现场装配过程中与装配精度密切相关的装配实测数据集(Assembly Measuring Data, AMD)，主要分为零件制造实测数据集(Part Manufacturing Measuring Data, PMMD)、装配过程实测数据集(Assembly Process Measuring Data, APMD)、装配变形实测数据集(Assembly Deformation Measuring Data, ADMD)3类。前两类数据集对应零件在加工过程和装配过程中引入的制造误差、定位定向误差和配合误差等实测值，第3类数据集对应零件装配过程中由外部载荷因素产生的装配变形误差的实测值。

2.3 数字孪生装配模型精准建模机制

考虑到面向现场装配的复杂产品装配精度预测与工艺优化对模型数据准确度的实际需求，精准构建产品DT-AM是实现数字孪生装配的前提，也为准确预测与保障产品装配精度、指导并改善产品物理装配的实际行为提供模型数据支撑。

如前所述，DT-AOM为产品DT-AM精准建模提供了具备超写实性的装配模型载体，DT-APM则为产品DT-AM精准建模提供了具有动态演变特性的装配工艺数据和信息基础，从而通过构建产品虚实装配过程中“模型—数据—信息”三者之间的互联互通，形成产品DT-AM精准建模机制，具体实现流程如图6所示。为保证产品DT-AM的准确度和完整性，从产品装配初始阶段，以产品设计装配CAD模型为起点，借助数字化组合测量辅助装配平台获取产品物理实体的AMD，并按照产品预规划装配工艺进程与物理实体装配过程不断交互，将PAPI以实例化映射的方式形成现场装配过程驱动的AAPI，进而不断改变、修正和完善AIPM，通过模型迭代、融合和更新，直至完成整个产品装配并最终得到DT-AM，上述过程用数学表达式描述为：

∀1≤k≤n,1≤i≤N；

(4)

AMD::={PMMD,APMD,ADMD}。

(5)

式中：下标i和上标k分别表示第i道装配工序下的第k步装配工步；N和n分别表示产品装配工序和装配工步总数。

由产品DT-AM精准建模机制和实现流程可知，AIPM是DT-AM精准建模的载体，装配过程感知实测数据(AMD)是DT-AM精准建模的基础，装配工艺信息(PAPI和AAPI)则是DT-AM精准建模的核心，三者共同围绕产品DT-AM精准建模展开，为后续面向现场装配的虚拟装配仿真/分析/预测/优化/反馈的顺利实施奠定了基础。

3 复杂产品数字孪生装配精度预测计算方法

目前，复杂产品装配在数字孪生技术的驱动下呈现出新的装配制造模式，但无论产品装配制造模式如何转型升级，围绕保障产品装配精度和提升产品装配性能的根本问题始终不变[25]。传统的复杂产品装配精度保障方法仅被动地控制装配目标尺寸和几何量难以实现虚实装配过程中精度的一致性，当前的研究重心已逐渐转向面向装配现场的产品装配精度实时测量与精度跟踪预测的主动策略，并在此基础上通过在线仿真装配工艺和调整装配工艺参数，来保障和控制产品装配精度。因此，在产品DT-AM精准建模与表达的基础上，本文将从以下两个方面对基于数字孪生的产品装配精度预测仿真技术进行突破。

3.1 基于实测数据的装配偏差传递更新迭代机制

作为产品装配精度预测的核心，装配偏差传递和累积是产品装配精度分析中不可或缺的一环，当前复杂产品装配过程往往受来自零件加工制造误差、定位定向误差、装配测量误差、夹具定位基准和预紧力控制等多方面综合因素不确定性的影响，导致上述耦合因素在每一阶段产生的装配偏差在装配过程中不断累积，最终影响产品装配精度。鉴于本文提出的AIPM具有伴随产品装配偏差传递而迭代更新的动态演进特性，可知从产品基准零件出发，产品装配偏差在装配工艺参数约束下经由低序体零件依次传递到高序体零件的过程中，后一个AIPM在基准坐标系下的耦合累积误差将在前一个AIPM装配偏差的基础上不断累积得到，如图7a所示。

在装配现场数字化组合测量辅助装配平台的支持下，将产品装配过程中的实测数据运用于AIPM的装配偏差传递中，通过DT-APM提取当前装配工序下各装配单元及其相互配合间的精度状态、装配变形量和关键装配特征的质量数据，建立基于实测数据的产品装配偏差传递更新迭代机制，使其能够更加高置信度地反映现场装配所对应的真实装配状况。本节为进一步说明基于实测数据的装配偏差传递机理，以零件配合结合面为基本传递单元阐述上述思想。

如图7b所示，当零件配合结合面为真实非理想状态时，最终装配精度输出的真实几何要素相对于基准零件理想几何要素的位姿变换矩阵

Mn-1×Tn-1,n×Mn×En。

(6)

式中：Tn-1,n(n≥2)为零件n-1与零件n之间配合结合面的装配偏差传递矩阵；E1为基准零件1的几何要素实际位姿到理想位姿之间的误差变动矩阵；En为末端零件n的输出几何要素理想位姿到实际位姿之间的误差变动矩阵，其中各零件的实际几何要素均可从基于SMS的DT-AOM提取得到。

然而，当零件配合结合面为理想状态时，装配精度输出的几何要素相对于基准零件几何要素的位姿变换矩阵

(7)

式中：Mk(1≤k≤n)为零件k参与配合的理想几何要素在误差传递方向上从上一位姿到下一位姿的变换矩阵。

由式(6)和式(7)可知，各零件经装配偏差耦合和累积传递到末端零件形成的装配体总误差变动矩阵

(8)

式中：E表示单位矩阵；当i=n时，Ti,i+1=En；αAFR，βAFR，γAFR，uAFR，vAFR，wAFR分别为AFR几何要素在基准坐标系下沿x，y，z轴的旋转和平移误差分量，可采用小位移旋量参数表达。

3.2 融合多维度误差源的数字孪生装配精度预测方法

复杂产品按照装配顺序将若干个零件依次组装在一起获得最终装配体的过程中，为了得到更加符合工程实际的产品装配精度预测结果，本节基于数字孪生技术提出融合多维度误差源(几何量和物理量)的产品数字孪生装配精度预测计算方法，通过引入零件制造误差、装配过程误差和装配变形误差等综合影响因素，使复杂产品装配误差分析与精度预测具有更高的准确度和更强的适应性。

针对融合多维度误差源的产品零件装配过程，在几何层面上可以将零件间的装配视为具有零件加工制造误差的几何特征要素间的相互配合和约束，在物理层面上则可以将零件视为弹性体，几何特征要素在装配过程误差和装配变形误差耦合的影响下存在装配误差变动约束，进而影响复杂产品机械系统的最终装配精度。根据上述分析，并结合基于实测数据的产品装配偏差传递更新迭代机制可知，在每一步装配形成AIPM的过程中，所有误差都将随装配过程被传递至后续AIPM，如图8所示。根据误差流理论[26-27]，可以采用线性离散状态空间模型构建具有多道装配工序/工步的复杂产品装配过程误差传递与累积表达式，其递归表达形式如式(9)所示，该式描述了当前与前一道装配工序/工步的装配体误差状态，以及当前装配步中新装配零件时引入的多维度误差源之间的关系，进而对融合多维度误差源的产品DT-AM精度进行预测。

(9)

式中：A(k)为单位矩阵；X(k)为第k步装配工序/工步结束后装配体的累积误差状态量；B(k)·U(k)为第k步装配工序/工步引入新装配零件的误差，B(k)为转换矩阵，表示将装配过程中第k步引入的新装配零件误差从零件坐标系转换到基准坐标系，U(k)表示在第k步装配工序/工步上引入影响装配精度的多维度误差源，包括新装配零件的加工制造误差、装配过程误差和装配变形误差等输入量，可以通过零件公差仿真、有限元分析和实际测量等相结合的方式得到；Y(k)为测量矩阵；C(k)为元素为1，-1或0的观测矩阵，其列数与状态变量相同；W(k)和V(k)分别为相应的系统噪声和测量噪声。

4 应用验证示例

4.1 应用背景和需求分析

作为典型的复杂产品之一，卫星装配具有产品结构复杂、零部件数目和种类多、精度要求高、装配协调关系复杂等特点，其现场装配过程是典型的离散型装配，即使产品零部件全部合格，也很难保障产品装配后的合格率及一次装配成功率。为保证卫星装配精度，往往需要经过多次选择试装、修配、调整装配，甚至拆卸、返工才能装配出合格产品[28]。由于卫星产品的生产模式为单件小批量研制，装配过程以手工操作为主，在现场装配过程中，由于典型复杂构件的加工与测量精度、装配基准变换、定位精度和人为因素等多重不确定性耦合因素相互影响，采用上述装配方法(如选择装配法、修配/调整装配法等)保证卫星装配精度也比较困难，已无法适应当前卫星生产研制任务和装配能力的要求。因此，在卫星装配之前提前获取产品装配误差值，精准预测卫星的装配精度，是卫星产品现场装配中亟需解决的问题之一。本节面向某型卫星结构部装装配的应用场景，以卫星典型构件结构面板装配为例，融合数字孪生思想，以产品数字孪生装配精度预测为主线构建软硬件系统并对其应用效果进行分析。

4.2 构建软硬件系统

为有效应用基于数字孪生的复杂产品装配精度预测方法，以某型卫星结构部装的典型结构面板装配为例进行了详细的软硬件系统设计与实现，具体步骤如下：①围绕现场装配对象以及装配实测数据现场感知和采集需求，对物理装配空间涉及的装配工艺装备进行合理布局，创建数字化组合测量辅助装配平台，并对现场装配工艺装备与装配工艺设计、数据处理分析等相关软件进行有效集成，如图9所示；②在虚拟装配空间，通过产品装配工艺设计规划确定装配工艺设计参数，利用装配工艺仿真演示的可视化看板有效指导现场装配任务；③通过感知与实时采集装配过程中的实测数据，结合装配工艺设计参数，在虚实装配空间双向映射机制驱动下，使产品装配“模型—数据—信息”三者可以在不同系统之间闭环传递和流动(实施流程如图10)，从而实现DT-AOM的精准建模与动态迭代更新；④基于实测数据的装配偏差传递更新迭代机制，计算当前装配工序/工步下DT-AOM的装配精度，根据精度预测结果动态评价装配的可行性，判断是否继续执行当前装配操作任务，在完成该步装配操作且符合设计装配精度要求后，进入下一步装配环节，直至装配出合格的产品。

基于笔者团队开发的三维装配工艺设计与仿真平台AMT-Processor[29]，本文进一步开发了装配精度预测模块，主要用于实现面向数字孪生的装配精度信息管理和表达、基于装配尺寸链的装配精度计算和预测功能。为将多维度误差源的装配实测数据有效用于装配精度的计算和预测，在实际装配过程中，某些装配实测数据(如螺钉拧紧扭矩、激光扫描点云等)可能需要经手工采集、数据预处理等手段进行人工录入，最终以零件GD&T实测值的形式呈现，进而基于实测数据计算和预测装配精度。

4.3 分析应用效果

为验证本文所提产品DT-AM表达与精度预测方法的可行性，结合卫星结构部装装配过程的制造特点，通过仿照缩比的方式试制出卫星典型构件结构面板进行实物装配，并按照上述软硬件系统布局，通过以下步骤实施总体应用(如图11)：①分析上述结构部装体的三维装配设计模型，并规划其装配工艺流程；②采用几何偏差仿真和有限元仿真相结合的方法生成DT-AOM；③采用预规划装配工艺与实做装配工艺相互映射更新的方法生成DT-APM；④精准构建DT-AM；⑤基于实测数据计算装配误差，并预测装配精度。

面向卫星结构部装的典型构件(结构面板)现场装配过程的物理装配现场布局如图12a所示。以中间横向结构面板(图12中用椭圆虚线标出)的前后装配工序为例，根据规划好的装配工艺流程，两块竖立结构面板先于中间横向结构面板装配，其装配精度(如装配垂直度、对称度要求等)将会影响中间横向结构面板的装配可行性，传统装配方法是直接试装中间横向结构面板后再检测和调整其装配精度；本文方法则是根据当前两块竖立结构面板的装配精度状态和动态创建的对应DT-AM，在融合中间横向结构面板的多维度误差源(即装配实测数据)后，对该面板在虚拟装配空间中的装配精度预测模块计算在线装配误差，判断该面板是否满足当前装配功能的要求，从而通过仿真达到预测中间横向结构面板装配精度的目的，并实现在产品装配过程中“虚实融合、以虚控实”的装配应用效果，同时减少了试装和调整时间，提高了装配精度和一次装配成功率。

5 结束语

装配作为复杂产品研制过程中保障精度的最后环节，其产品最终的装配精度受来自产品设计、加工制造和装配3个环节共同耦合作用的影响，产品装配精度预测与保障是实际工程中亟需解决的关键问题之一。数字孪生技术为解决该问题提供了一种新的思路和途径，通过全数字量协调传递方式，借助装配实测数据模拟复杂产品装配现场的真实行为和装配状态，使虚拟装配空间模型随产品装配过程不断演变和进化，从而基于物理装配空间传递的真实数据精准构建DT-AM，为复杂产品分析计算装配误差和预测装配精度提供了切实可行的技术基础。

本文提出复杂产品的DT-AM表达与精度预测方法，其中DT-AM是精度精准预测的基础，而装配实测数据则是实现孪生装配模型及其虚实深度融合的数据源泉，因此本文针对产品DT-AM的不同要素成分，首先提出以肤面模型形状为载体表征孪生装配对象模型，以融合虚实装配工艺信息集的AIPM为载体表征孪生装配工艺模型的表达方法，并利用虚实装配过程中“模型—数据—信息”的交互映射与深度融合，完成了产品DT-AM的精准构建；然后，通过围绕复杂产品装配现场搭建数字化组合测量辅助装配平台，利用基于实测数据的装配偏差传递更新迭代机制，对融合多维度误差源的产品装配误差进行分析计算，并预测装配精度，以期在产品装配过程中采用全数字量协调传递方式达到“虚实融合、以虚控实”的目的；最后，以某型卫星结构部装的典型构件(结构面板)装配为例，从面向现场装配的产品数字孪生装配软硬件布局、系统实现和应用效果方面对本文方法的可行性进行了应用验证。

诚然，本文研究正处于基于数字孪生的复杂产品装配工艺规划与精度预测功能模块开发以及软硬件原型系统集成验证阶段，对数字孪生驱动的复杂产品装配精度预测与保障在以航空、航天乃至军工企业为代表的复杂产品装配车间应用的落地进行了有益的探索，其具体的管控方式仍需进一步深入探讨和研究。