2-范数线性空间的严格凸与一致凸性

李珊珊 崔云安

摘 要：2-范数线性空间是赋范线性空间的推广，它定义了更为广泛地范数。首先证明了2-范数线性空间中的压缩映像原理是成立的，以及严格凸的2-范数线性空间中的非扩张映射的不动点集是凸集;得到了有限维严格凸的2-范数线性空间是一致凸的，并证明了由向量积诱导的2-范数线性空间是一致凸的。

关键词：2-范数线性空间;压缩映像原理;不动点;严格凸;一致凸

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.021

中图分类号： O177.3

文献標志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）06-0153-04

Strict Convexity and Uniform Convexity in Linear 2-normed Spaces

LI Shan-shan， CUI Yun-an

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Linear 2-normed space is a generalization of linear normed space， which defines a more extensive norm. In this paper， we get contraction mapping theorem in linear 2-normed space holds， and the set of fixed points for nonexpansive mapping is convex when linear 2-normed space is strictly convex. We obtain that the strictly convex linear 2-normed space with finite dimension is uniformly convex. Thus we get the corollary that the linear 2-normed space induced by the vector product is uniformly convex.

Keywords：linear 2-normed space; contraction mapping theorem; fixed point; strict convexity; uniform convexity

0 引 言

1965年，盖勒（Gahler）引入了2-范数线性空间，这是赋范线性空间的推广，从那时起，许多学者就对其进行了深入地研究和探讨。1974年Charles Diminnie，Siegfried Gahler和Albert White给出了2-范数线性空间严格凸的定义，并给出了2-范数线性空间严格凸的4个充要条件。本文验证了2-范数线性空间中的压缩映像原理是成立的，以及严格凸的2-范数线性空间中的非扩张映射的不动点集是凸集;讨论了有限维严格凸的2-范数线性空间的一致凸性，证明了由向量积定义的2-范数空间是一致凸的。

1 预备知识

定义1[1] 设X是一个维数大于1的线性空间，称‖·，·‖：X×X→R+为2-范数，如果满足以下条件：

①‖x，y‖=0x，y是线性相关的（x，y∈X）;

②‖x，y‖=‖y，x‖（x，y∈X）;

③‖αx，y‖=|α|‖x，y‖（x，y∈X，α∈R）;

④‖x+y，z‖≤‖x，z‖+‖y，z‖（x，y，z∈X），

此时称（X×X，‖·，·‖）为一个2-范数线性空间。

定义2[2] 称{xn}X收敛于x∈X是指

limn→SymboleB@‖xn-x，y‖=0 （y∈X）。

定义3[3] 称2-范数线性空间（X×X，‖·，·‖）是严格凸的，若任意的x，y∈X，zV（x，y），

‖x，z‖=‖y，z‖=x+y2，z=1，有x=y。

定义4[4] 称2-范数线性空间（X×X，‖·，·‖）是一致凸的，若{xn}X，{yn}X，z≠0∈X，使得‖xn，z‖→1，‖yn，z‖→1，zV（xn，yn），xn+yn2，z→1，有‖xn-yn，z‖→0。

其等价于下述定义：若对ε∈（0，2]，任意的x，y∈X，z≠0∈X，δ>0使得‖x，z‖≤1，‖y，z‖≤1，zV（x，y），且x+y2，z>1-δ，有‖x-y，z‖<ε。

定义5[5] 设（X×X，‖·，·‖）是一个2-范数线性空间，T∶X→X是一个线性算子，称x是T关于z的一个不动点，若满足：

‖（Tx，z）-（x，z）‖=0。

定义6[6] 设（X×X，‖·，·‖）是一个2-范数线性空间，T∶X→X是一个线性算子，{xn}X，x0∈X，称T关于z是连续的，若

limxn→x0‖（Txn，z）-（Tx0，z）‖=0。

2 主要结果及证明

定理1 设（X×X，‖·，·‖）是一个2-范数线性空间，z∈X，C是X的一个闭子空间且C∩{z}=，设T∶C→C满足：对x，y∈C，有

‖（Tx，z）-（Ty，z）‖≤α‖（x，z）-（y，z）‖，

其中α∈（0，1），则T在C上有唯一的不动点。

证明：设x0∈C，（x1，z）=（Tx0，z），（x2，z）=（Tx1，z），…，（xn，z）=（Txn-1，z），

则（xn，z）=（Tnx0，z）。

设m，n>0且m>n，取m=n+p，

从而

‖（xn，z）-（xm，z）‖=

‖（xn，z）-（xn+p，z）‖=

‖（xn，z）-（xn+1，z）+（xn+1，z）-（xn+2，z）+

（xn+2，z）+…+（xn+p-1，z）-（xn+p，z）‖≤

‖（xn，z）-（xn+1，z）‖+‖（xn+1，z）-（xn+2，z）‖ +…+

‖（xn+p-1，z）-（xn+p，z）‖=

‖（Tnx0，z）-（Tnx1，z）‖+

‖（Tn+1x0，z）-（Tn+1x1，z）‖+…+

‖（Tn+p-1x0，z）-（Tn+p-1x1，z）‖≤

αn-1‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖ +

αn‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖+…+

αn+p-2‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖=

αn-1（1-αp）1-α‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖≤

αn-11-α‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖≤

αn1-α‖（x0，z）-（x1，z）‖

即

‖（xn，z）-（xm，z）‖≤αn1-α‖（x0，z）-（x1，z）‖，

从而

‖（xn，z）-（xm，z）‖→0，

故{（xn，z）}是柯西列，因此

（xn，z）→（x0，z）∈C×{z}。

又因为T是连续的，

所以

‖（Tx0，z）-（x0，z）‖=

‖limn→SymboleB@（Txn，z）-（x0，z）‖=

‖limn→SymboleB@（xn+1，z）-（x0，z）‖=

‖（x0，z）-（x0，z）‖=0。

下证不动点是唯一的。

设x′∈C且x′≠x0，

但 ‖（Tx′，z）-（x′，z）‖=0。

由于C是X的一个闭子空间，所以x′-x0∈C，且x′-x0≠0。因此由2-范数的定义有‖x′-x0，z‖≠0。

又因为

‖（x′，z）-（x0，z）‖=

‖（Tx′，z）-（Tx0，z）‖≤

α‖（x′，z）-（x0，z）‖。

但α∈（0，1），产生矛盾，从而有x′=x0，即不动点是唯一的。

定理2 设（X×X，‖·，·‖）是一个严格凸的2-范数线性空间，z∈X，C是X的一个凸子集且C∩{z}=，设T∶C→C满足：对x，y∈C，有

‖（Tx，z）-（Ty，z）‖≤‖（x，z）-（y，z）‖，

则T关于z的不动点集F（T）为凸集。

证明：显然F（T）是空集结论成立。

设F（T）≠，要证

（x1，z），（x2，z）∈F（T），x2≠x1，对t∈（0，1），（tx1+（1-t）x2，z）仍是T的不动点，即

‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（tx1+（1-t）x2，z）‖=0，

由题意得

‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（x1，z）‖ =‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（Tx1，z）‖≤

‖（tx1+（1-t）x2，z）-（x1，z）‖ =

‖tx1+（1-t）x2-x1，z‖=

‖（1-t）（x2-x1），z‖=

（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖。

同理有

‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（x2，z）‖≤

t‖（x2，z）-（x1，z）‖，

记 u1=（T（tx1+（1-t）x2），z）-（x1，z），

u2=（-T（tx1+（1-t）x2），z）+（x2，z），

则

‖u1‖≤（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖，

‖u2‖≤t‖（x2，z）-（x1，z）‖，

從而

‖（x2，z）-（x1，z）‖=

‖u2+u1‖≤

‖u2‖+‖u1‖≤

t‖（x2，z）-（x1，z）‖ +（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖=

‖（x2，z）-（x1，z）‖，

从而

‖u1‖=（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖，

‖u2‖=t‖（x2，z）-（x1，z）‖，

进而

‖u1+u2‖=‖u1‖+‖u2‖，

因此

1=‖u1+u2‖‖u1‖+‖u2‖=

‖u1‖‖u1‖+‖u2‖u1‖u1‖+‖u2‖‖u1‖+‖u2‖u2‖u2‖，

又因为（X×X，‖·，·‖）是严格凸的，有

u1‖u1‖=1，u2‖u2‖=1，

故

u1‖u1‖=u2‖u2‖，

进而u1‖u1‖-u2‖u2‖=0，即

（T（tx1+（1-t）x2），z）-（x1，z）（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖-

（x2，z）-（T（tx1+（1-t）x2），z）t‖（x2，z）-（x1，z）‖=0

‖t（T（tx1+（1-t）x2），z）-t（x1，z）-（1-t）（x2，z）+

（1-t）（T（tx1+（1-t）x2），z）‖=0

‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（tx1+（1-t）x2，z）‖=0，

從而T关于z的不动点集F（T）为凸集。

定理3 设（X×X，‖·，·‖）是有限维的严格凸的2-范数线性空间，则它是一致凸的。

证明：设{xn}X，{yn}X，z∈X，使得

‖xn，z‖→1，‖yn，z‖→1，xn+yn2，z→1，

往证‖xn-yn，z‖→0。

若不成立，则ε0>0，使得‖xn-yn，z‖≥ε0。

因为（X×X，‖·，·‖）是有限维的，所以存在{xni}{xn}及x∈X，使得

‖（xni，z）-（x，z）‖→0，

同理，{yni}也是有界的，所以存在{yni}的子列{yn′i}{yn}及y∈X，使得

‖（yn′i，z）-（y，z）‖→0，

由于

{xn′i}{xni}，‖（xni，z）-（x，z）‖→0，

所以‖（xn′i，z）-（x，z）‖→0，从而

xn′i+yn′i2，z-x+y2，z→0。

又

xn′i+yn′i2，z→1，

所以

x+y2，z→1。

因为‖xn，z‖→1，所以‖xni，z‖→1，进而‖x，z‖=1。

同理‖y，z‖=1。

因为（X×X，‖·，·‖）是严格凸的，所以x=y，但是

ε0≤‖xn′i-yn′i，z‖→‖x-y，z‖=0，

产生矛盾，从而（X×X，‖·，·‖）是一致凸的。

定理4 设X为一个n维欧式空间，若定义

‖x，y‖=|x×y|，

其中（x，y）∈X×X，x×y表示向量x与y的向量积，则（X×X，‖·，·‖）是严格凸的，也是一致凸的。

证明：首先证明‖x，y‖=|x×y|是一个2-范数。

‖x，y‖=0x，y是线性相关的，显然成立，这是由于

‖x，y‖=0sin〈x，y〉=0。

对称性：

‖x，y‖=‖y，x‖=|x×y|。

正齐次性：

‖αx，y‖=|αx×y|=|α||x×y|=|α|‖x，y‖。

三角不等式：

‖x+y，z‖=|（x+y）×z|=|x×z+y×z|≤

|x×z|+|y×z|=‖x，z‖+‖y，z‖。

下证（X×X，‖·，·‖）是严格凸的。

对于任意的x，y∈X，zV（x，y），有

〈x，z〉=〈y，z〉=〈x+y，z〉=〈x-y，z〉

（即z与值x，y生成的空间中每个元素的夹角相同）。

又可知

‖x+y，z‖2=‖x+y‖2‖z‖2sin2〈x+y，z〉=

‖x+y‖2‖z‖2sin2〈x，z〉

‖x-y，z‖2=‖x-y‖2‖z‖2sin2〈x-y，z〉=

‖x-y‖2‖z‖2sin2〈x，z〉

所以

‖x+y‖2‖z‖2+‖x-y‖2‖z‖2=

（‖x+y‖2‖z‖2+‖x-y‖2‖z‖2）sin2〈x，z〉=

（‖x+y‖2+‖x-y‖2）‖z‖2sin2〈x，z〉=

2（‖x‖2+‖y‖2）‖z‖2sin2〈x，z〉=

2（‖x‖2‖z‖2sin2〈x，z〉+‖y‖2‖z‖2sin2〈y，z〉）=

2（‖x，z‖2+‖y，z‖2）（1）

由于x≠y，zV（x，y），则x-y2，z>0，从而由式（1），x+y2，z<1，即（X×X，‖·，·‖）是严格凸的。

由定理3，知（X×X，‖·，·‖）是一致凸的。

参 考 文 献：

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（編辑：温泽宇）

收稿日期： 2020-09-23

基金项目： 国家自然科学基金（11871181）.

作者简介：

李珊珊（1997—），女，硕士研究生.

通讯作者：

崔云安（1961—），男，博士，教授，博士研究生导师，E-mail： cuiya@hrbust.edu.cn.

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