基于延迟时间的地铁车辆多级维修计划优化模型

龙翔宇，刘葛辉，陈绍宽，彭宏勤，刘 爽

(1. 北京交通大学 综合交通运输大数据应用技术交通运输行业重点实验室，北京 100044；2. 华杰工程咨询有限公司，北京 100029)

作为快捷、可靠的公共交通方式，地铁在国内城市的快速建设和发展有效缓解了城市道路拥堵、提高了城市公共交通服务水平。地铁车辆作为保障运输服务效率和质量的重要设备，其保有量随着地铁运营规模的增大而快速上升。2019年底，全国城市轨道交通配属车辆数达6 966列，年增速达18.1%，超过了运营里程的年增速16.9%[1]。如何科学合理地制定车辆维修计划，对保证地铁系统运行安全和降低运营成本具有重要的现实意义。

地铁车辆是机械、电气、通信和控制等多个子系统组成的复杂系统。目前，其维修工作以预防性维修计划为主，基于状态维修的应用十分有限。根据维修内容不同，计划维修分为周检、月检、年检(定修)、架修、大修等修程[2]。固定周期维修策略易实施，但存在停机时间长、未充分考虑部件维修需求差异等不足，导致系统维修成本、停机损失相对较高等问题。

既有研究主要从单一子系统级和系统级维修计划两个层面开展。国内外学者对前者开展了大量研究。文献[3-5]基于子系统不同的退化模式，研究了考虑可靠度约束的最优维修间隔；文献[6]提出了基于事故树分析的费用优化模型，通过优化维修间隔以最小化维修费用；文献[7]考虑不完全维修以及可靠度约束，建立了多种维修方式下的维修周期优化模型，并对动车组部件维修计划进行案例分析；文献[8]提出以等周期保养与变周期维修相结合的维修策略，以更换周期内费用最小为目标确定保养与维修次数。此外，部分学者将延迟时间理论应用于工业系统的维修计划优化模型中。文献[9]综合延迟时间模型和更新周期理论，以平均费用最小为目标，制定了列车转向架各部件最佳检测和维修周期；文献[10]以石油运输系统为背景，考虑不完全检测和潜在失效的情况，制定各部件的维修周期；文献[11]应用役龄回退因子表示维修的不完全特征，并将不完全维修引入延迟时间模型，建立综合的维修优化模型；文献[12]对延迟时间的发展及其在各领域的应用进行了综述。

在子系统最佳维修基础上的系统级维修优化策略方面。文献[13]总结了部件经济相关性的维修策略，并研究了部件成组维修策略。文献[14]在动态维修计划上考虑成组维修策略，通过数值算例验证了成组维修策略在节省短期维修计划费用上的有效性。文献[15]提出了针对复杂结构系统的多级决策模型，应用成组维修策略优化各部件的维修计划。还有部分研究通过改进优化成组策略，以减少系统维修成本、提高可用度、优化经济寿命[16-18]。既有研究中，对多个部件进行组合维修优化时，多侧重与部件成组可节省维修费用，为充分重视对原维修计划的干扰造成的费用增加。此外，对于多种等级的维修任务，需要考虑不同等级维修任务之间的差异，进而优化多级维修策略。

1 问题描述与决策目标

地铁车辆系统根据功能划分为不同子系统，例如受电弓、车门子系统等。各子系统承担不同的功能，具有包含大量零部件的复杂结构。工作负荷和运营环境的多变导致各子系统和零部件退化速度存在较大差异。若对整个车辆系统实施单一周期的维修计划，则无法充分考虑此类差异，导致部分子系统过度维修造成维修资源浪费或欠缺维修产生较高停机成本。

本文将车辆维修工作分为低级维修和高级维修两类。低级维修为不完全维修，即恢复子系统部分可靠度，但不能恢复到全新状态，其通常耗时较少、成本较低、间隔时间短；高级维修可恢复子系统全部可靠度，通常以更换或完全维修方式实现，其耗时和成本相对较高，间隔时间相对较长。在制定系统维修计划时，还需考虑子系统之间存在的结构、随机和经济相关性[19]。其中经济相关性指多个子系统不同时维修的费用与同时维修时的费用不同，即子系统同时维修可减少成本，如系统停机损失等。因此，将停机时间描述为经济相关性，并对子系统维修计划进行成组优化，可有效降低维修的总费用。

为描述实际作业中的检修流程，本文应用两阶段延迟时间模型表示各子系统及其中各部件的退化过程。部件的退化过程包括正常阶段和延迟时间阶段，部件开始运行后即进入正常阶段，在发生缺陷后进入延迟时间阶段，直至发生故障。缺陷指由正常状态到故障状态的退化过程中可识别的中间状态，如轻微形变、松动、保护件丢失等。缺陷状态的部件仍可在系统或设备中运行，但需要通过检测进行识别并通过维修排除缺陷，以避免故障的发生。

综上所述，本文研究是在退化分析和子系统维修优化的基础上，构建成组维修的成本收益和惩罚函数，以总维修费用最小为目标建立复杂系统成组维修优化模型，通过设计相应的求解算法优化系统多级维修(低级维修和高级维修)的时间间隔。

2 子系统多级维修间隔优化模型

2.1 模型假设

基于延迟时间理论描述各子系统退化过程，本文做出如下假设。

(1)退化过程中，缺陷发生服从齐次泊松过程，其发生率为λ；延迟时间服从随机分布且独立于缺陷发生时间，其概率密度函数为f(t)、分布函数为F(t)。

(2)按固定间隔T进行低级维修，可识别缺陷并立即进行修复，但维修效果是不完全的，表示为役龄回退因子α。

(3)当子系统的可靠度下降至设定阈值Rmin时，进行高级维修以恢复全部可靠度。

(4)系统的故障是自明的，进行最小维修以处理故障并尽快恢复系统至系统状态，最小维修不改变退化状态[20]。

2.2 模型建立

设地铁车辆某子系统在u时刻发生缺陷，之后经过时间v后发生故障。根据假设(1)、(4)，故障发生服从非齐次泊松过程，其达到率为

v(t)=λF(t)

(1)

子系统在(0,T)内发生的故障次数N服从泊松分布，其期望为

(2)

在(0,T)内子系统发生n次故障的概率为

(3)

子系统中未产生故障的缺陷将在维修时被检出并立即修复，其到达率为

u(t)=λ[1-F(t)]

(4)

因此，在T时刻对子系统进行低级维修时，发现缺陷的期望数量为

(5)

系统在T时刻不发生故障的概率为可靠度函数R(T)，由式(2)、式(3)可推导为

R(T)=Pf(N=0)=exp[-Ef(T)]

(6)

综上，依据更新收益理论，以更新周期内成本最小化为目标，建立目标函数

C(T,Rmin)=

(7)

式中：分子为更新周期中维修费用以及故障费用的期望，分母为一个更新周期的时长；Clow、Chigh、Cf和Cd分别为低级维修、高级维修、故障维修和缺陷维修的成本，其中故障维修成本包括了由于运营中断产生的惩罚费用；T为低级维修周期；Rmin为高级维修可靠度阈值；N为一个高级维修周期内低级维修次数；TR为子系统在不维修情况下可靠度退化到Rmin的时间，其计算公式为

(8)

子系统在一个更新周期内可靠度的变化过程以及变量N、T、Rmin、α和TR的关系见图1。不完全维修使低级维修之前的退化状态会以固定比例累积并影响维修后的退化过程，加快系统退化，最终达到可靠度阈值Rmin后进行高级维修。此时第N+1次低级维修还未进行，故低级维修次数N应满足

图1 系统退化过程示意图

(N-1)αT+T

(9)

进一步化简可得低级维修次数N的范围为

(10)

(11)

T∈Z+

(12)

2.3 退化分布选择及参数估计

延迟时间分布函数f(t)的形式及其参数是退化模型的关键，本文选择双参数威布尔分布作为子系统延迟时间的分布函数，采用似然估计确定分布的其形状参数β和尺度参数η。

系统维修记录包括缺陷和故障两类数据，分别对其构建似然函数。在Ti的维修间隔内发现mi个缺陷的概率为

(13)

设子系统某次维修后tj时间发生了故障，即在(tj-1,tj]内发生了一次故障，由式(2)、式(3)，故障发生概率为

(14)

由式(13)、式(14)构造似然函数，对两边求导获得

(15)

基于各子系统各次维修间隔Ti、对应发现的缺陷个数mi以及发生故障距离上次维修的时间tj，求解式(15)的最小值可得子系统缺陷发生率λ、威布尔分布的形状参数β和尺度参数η。

3 系统成组维修优化模型

3.1 成组维修过程分析与建模

地铁车辆各子系统发生故障时，均会导致系统停机而进行临修，因此各子系统可视为串联关系。单个子系统维修费用中除了直接维修费用Ci以外，还包括整个系统的停机损失费用S，所以多个部件成组维修可减少停机损失，如图2所示。进行成组维修后，3个子系统维修仅产生1次系统停机损失费用S，此外还产生因子系统维修计划调整产生的额外费用PG。

图2 系统成组维修示意图

对子系统维修计划发生偏移产生的额外费用定义如下：若子系统维修时间提前，则更新周期时长减少，平均维修成本增加；若子系统维修时间延后，则故障概率增加，故障机会成本上升。因此，建立随偏移时间变化的惩罚函数以量化成组维修成本。

设子系统维修时间改变量为Δt，可分以下3种情况：

(1) 当Δt<0时，即维修提前，相比最优寿命，子系统寿命损失Δt,d，惩罚函数为

(16)

(2) 当Δt>0时，即维修延后，子系统故障概率增加导致故障机会成本增加，惩罚函数为

(17)

(3) 当Δt=0时，惩罚函数为0。

鉴于子系统维修间隔优化模型中考虑了多级维修，因此有必要在系统成组维修模型构建中加以区分。考虑实际情况中高级维修的停机时间要长于低级维修，根据子系统维修内容定义系统维修等级。当一个维修活动组合内存在高级维修时，系统维修为高级维修，否则系统维修为低级维修。一次系统的高级维修通常可能包含多个子系统的低级维修或者不维修。相同等级的系统维修停机损失费用相同，则对于一个维修组合G，成组维修的准备成本为

(18)

结合式(16)和式(17)，可知维修组合G的总收益为

(19)

求解获得最优成组组合序列SG*={G1,G2,…,GN}以及各组合的维修时间，即得到系统在计划期内的优化维修计划。

3.2 求解算法

针对仅考虑单一维修类型的成组优化问题，文献[4]已提出基于滚动时域和动态规划的求解方法。该方法要求子系统维修活动调整的惩罚费用函数是严格凸函数并且非负，在无调整时惩罚费用为0，本文所建模型符合上述要求。此外，本文模型考虑了多种等级维修活动，因此需对该求解算法进行改进，具体步骤如下：

Step1优化子系统的维修策略，按时间顺序对研究时间T内所有子系统维修事件(含低级和高级维修)进行排列和编号。

Step2选取所有高级维修事件，利用单一维修类型成组算法[4]求解最优成组内容和高级维修时间。

(20)

其中，各符号含义和上文一致，使用新的低级维修时间更新维修事件列表。

Step4检查各低级维修是否可加入既有系统高级维修组合。若维修活动i满足条件：加入组合Gk的惩罚函数值最小且小于其维修准备费用以及组合Gk内不包含事件i相同的子系统，则将事件i加入组合Gk中，否则维修活动i时间不变。

Step5识别各系统高级维修间隔内的全部子系统低级维修任务，并使用单一维修类型成组算法[4]进行进一步组合，最终生成系统优化计划。

4 案例分析

以某市地铁1号线车辆维修计划为对象，选取2016年9月至2017年3月的维修和故障记录，确定车辆各子系统重要度和维修流程，应用本文模型对电气(不含受电弓)、受电弓、制动、走行、车门5个关键子系统的维修计划优化问题进行研究。

4.1 参数估计

基于各子系统缺陷和故障数据，应用2.3节中参数估计方法，获得各子系统退化参数见表1。通过卡方优度检验表明退化参数估计结果的置信度均超过95%。

表1 子系统退化参数估计结果

4.2 子系统维修计划

根据维修工作的实际调查数据，归纳各子系统的低级维修费用Clow、高级维修费用Chigh、缺陷修复费用Cd、故障费用Cf和役龄回退因子α等相关经济参数见表2。

表2 子系统经济参数设置

表3 子系统最佳维修策略

由表3可知，各子系统最优解的可靠度阈值均满足约束，维修计划可行。结合表1可知，优化结果中的维修间隔可反映子系统的退化速度。在各个退化参数中，最优低级维修间隔与其缺陷发生率的相关关系最明显且负相关。例如，制动子系统的缺陷发生率最小，其低级维修间隔最大；而缺陷发生率最大的车门子系统的低级维修间隔最小。最优维修次数主要受到形状参数和尺度参数的影响，例如，车门子系统的尺度参数较大，表明系统退化速度慢并且不完全维修的累计效应较小，可通过增加维修次数减少平均费用。现行修程中地铁周检间隔为7～8 d，双月检间隔为2个月(60 d)，整车维修条件下，各个子系统的高级维修周期均为60 d。而优化结果中低级维修间隔和高级维修周期均大于实际修程，因此可根据不同系统退化情况安排个性化维修计划，有利于降低平均成本。

4.3 成组维修计划

在子系统维修计划优化基础上应用系统成组优化模型和求解算法，生成地铁车辆一年(365 d)内的成组维修计划，见图3。

图3中空心圆点表示低级维修，实心圆点表示高级维修。列车全年共进行28次维修，其中8次存在高级维修。与子系统最优维修计划比较，累计维修停时从97 d减少到36 d，节省准备成本36 100元，总成本从106 410元降低为69 980元，节约34.24%。表明成组维修可有效降低停时并节省维修成本，显著提高车辆利用率。

图3 全年维修计划图

选取案例车辆段既有维修计划(方案二)和基于北京地铁修制的维修计划(方案三)，与本文模型优化的维修计划(方案一)进行比较。北京地铁修制为双周检和双月检，即15 d进行一次预防性维修，60 d进行一次预防性更换。3个方案的全年维修计划见图4。分别计算各方案全年的维修计划各类指标见表4。

图4 3个方案的全年维修计划

表4 各维修方案指标比较

较方案二，方案一的总成本减少40 010元，节省比例为19.41%，虽然高级维修次数增加2次，但低级维修次数和总停时分别减少16次和12 d(25%)；较方案三，低级、高级维修次数和总停修时间分别增加2次、2次和6 d，总成本减少17 141元，节省比例为9.35%。由于子系统维修间隔变大，方案一的故障机会成本相比其余方案略有增加，但直接维修成本明显下降，其总维修成本最少。

进一步分析，方案二中各个子系统均存在维修频率过高的问题，导致子系统维修占用时间长；方案三中电气、受电弓和制动子系统的维修频率过高，车门和走行子系统的维修频率过低。如果均按照各个子系统的最优策略安排系统维修，则会出现停机时间过长的问题，因此通过子系统间组合维修可减少系统停机时间。此外，方案二和方案三按照固定周期对整车进行维修，虽一定程度上减少了故障成本，提高了系统可靠度，但需付出更多维修成本和时间，总体经济效益低于方案一。

5 结论

本文基于延迟时间理论建立了地铁车辆子系统多级维修计划优化模型和车辆成组维修计划优化模型，以实际数据进行了参数标定和案例分析。结果表明：车辆子系统多级维修模型可有效制定子系统最优维修计划，降低平均维修成本；成组维修计划优化模型可显著减少列车维修停时以及总成本。相比既有维修计划，本文方法优化的维修计划可节省维修成本19.41%，减少停修时间25%，有效提高车辆利用效率。本文研究对地铁车辆维修计划的制定与优化具有参考意义，今后进一步细化高级维修对子系统状态恢复的影响将有助于提高维修计划的实施效果。