L-拓扑空间中理想的层次收敛理论

孟广武

（1.聊城大学数学科学学院，山东聊城 252000；2.喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844000）

0 引言

层次结构是L-拓扑学最显著的特点.为了最大限度地彰显这个特点，李永明引入了α-闭集[1]，直接将闭集肢解为层次闭集.与此不同，笔者从闭包的角度，提出了一类更为广泛的层次闭集——Dα-闭集[2].在此基础上，层次连通性、层次分离性、层次紧性相继问世，初步形成了层次L-拓扑空间理论[3,4].

本文利用Dα-闭集，在L-拓扑空间中，定义了理想的层次极限点和层次聚点，并研究了它们的基本性质，形成了理想的层次收敛理论.

1 理论准备

本文的L=(≤,∨,∧,′）始终表示模糊格，即带有逆序对合对应的完全分配格；0和1分别表示L的最小元和最大元；.X表示非空分明集.

从X到L的映射被称为X上的L-集，所有这样的L-集记作LX，它自然形成一个模糊格(LX,≤,∨,∧,′）.对于α∈L，αX表示X 上的常值L-集，β*(α)表示α的标准极小集；(LX,δ)表示L-拓扑空间，M(L)表示L的全体分子之集，M*(LX)表示LX的全体分子之集；对e∈M*(LX)，η(e)和η-(e)分别表示e的一切远域之集和一切闭远域之集；对A∈LX,r∈L,A[r]={x∈X:A(x) ≥r}；对B∈2X（X 的一切子集所成的集族），χB表示B的特征函数.

其它未说明的术语与符号参见[5].

定义1.1[2]设(LX,δ)是L-拓扑空间,α∈M(L),层次闭包算子Dα:LX→δ′定义为

∀A∈LX,Dα(A)=∧{G∈δ′:A[α]⊂G[α]},称Dα(A)为A的Dα-闭包.

定理1.1[2]设 (LX,δ) 是L-拓扑空间,α∈M(L),A,B∈LX.则

(D1)Dα(0)=0;

(D2)Dα(A∨B)=Dα(A) ∨Dα(B);

(D3)A[α]⊂(Dα(A))[α];

(D4)Dα(Dα(A))=Dα(A).

定义1.2[2]设(LX,δ) 是L-拓扑空间,α∈M(L),A∈LX.称A 为(LX,δ)中的Dα-闭集,若(Dα(A))[α]=A[α].

(LX,δ)中的全体Dα-闭集记为Dα(δ).

定理1.2[2]设(LX,δ)是L-拓扑空间,A∈LX.若A∈δ′,则对任意的α∈M(L),A∈Dα(δ),即δ′⊂Dα(δ).

定义1.3[5]设(LX,δ) 是L-拓扑空间，e∈M*(LX)，I是LX中的理想，那么

（1）如果η(e) ⊂I，则称e为I的极限点，或称I收敛于e，记作I→e；

（2）如果∀A∈I以及∀P∈η(e),A∨P≠1X，则称e为I的聚点，或称I聚于e，记作I∞e.

I的一切极限点之并记作limI，I的一切聚点之并记作adI.

2 层次远域与层次附着点

3 理想的层次收敛

定理3.1对LX中的理想I以及α∈M(L)，I[α]={A[α]:A∈I}是2X中的下集和上定向集，但一般不是理想.

证明在集合的包含关系之下，I[α]是2X中的下集。事实上，设A[α]∈I[α]，对任何B∈2X且B⊂A[α]，则αχB≤A，这里

图1 W(f,g)的图像

图2 C(f,g,h)的图像