MEMS 微波功率传感器的系统级建模*

孙国琛，张志强，刘佳琦，郑从兵

(东南大学MEMS 教育部重点实验室，江苏 南京 210096)

微波功率传感器是一种将微波信号的功率转化为易测量的电信号形式，其主要用于微波系统中检测微波功率。基于MEMS 技术的微波功率传感器具有微型化、低功耗等特点，所以得到了广泛研究[1-5]。这些MEMS 微波功率传感器主要分为电容式和热电式两种类型。如果把二者相结合起来可以兼顾它们的优点，弥补单一类型的缺点[6-7]。本文研究的基于热电式和电容式的MEMS 微波功率传感器具有更高的功率测量范围。

对于MEMS 微波功率传感器，近年来许多研究都进行了各个部分的模型搭建。例如，郑从兵等[8]讨论了具有低电压驱动特点的固支梁力电模型；Han J Z 等[2]基于点热源近似方法，对热电式MEMS微波功率传感器在径向上构建了工作在X 波段的一维热传导方程；Yi Z X 等[9]基于傅里叶级数建立了热电式MEMS 微波功率传感器的二维热传导模型，其相对于一维的热传导模型更加符合有限元软件仿真结果。Zhu Z 等[10]建立了电容式MEMS 微波功率传感器的S参数模型。虽然这些模型在一定程度上能够满足需求，但是关于热电和力电原理的微波功率传感器的包含多物理场的系统级模型尚无文献报告。因此，本文针对MEMS 微波功率传感器的系统级模型开展研究，以固支梁的形变为桥梁，将电容式MEMS 微波功率传感器的模型与热电式MEMS 微波功率传感器的模型相联系，建立包含多物理场转化机制的微波系统级模型，从而有助于优化设计器件以及与后续电路的协同仿真。

1 基本结构

如图1 所示，MEMS 微波功率传感器是由热电式和电容式两部分构成。微波功率从电容式MEMS微波功率传感器输入，经固支梁感应出均方根电压，由于静电力作用引起固支梁发生形变，从而改变输出电容，此时存在微波功率-力-电多场耦合场景；传输至热电式MEMS 微波功率传感器的微波功率被终端匹配电阻吸收发热，引起负载匹配电阻附近的温度升高，基于Seebeck 效应从而在热电堆两端输出直流热电势，这里存在微波功率-热-电多场耦合场景。热电式微波功率传感器在测量较小微波功率时具有良好的线性度，而电容式微波功率传感器在测量较大微波功率具有良好的线性度，本文设计的微波功率传感器兼具两种传统微波功率传感器的优点。由于该传感器在功率检测工作时存在多场耦合机制场景，所以需要对其建立系统级模型，研究固支梁形变量和热电堆输出热电势随微波功率的变化情况。

图1 基于热-电和力-电原理的MEMS微波功率传感器的原理图

2 力-电模型

本节针对电容式MEMS 微波功率传感器中，微波功率等效的均方根电压引起固支梁的形变进行研究。电容式MEMS 微波功率传感器主要由CPW 传输线、固支梁、锚区和传感电极组成。如图2 所示为电容式MEMS 微波功率传感器的示意图，而图3 为电容式MEMS 微波功率传感器沿固支梁方向的剖面图。

图2 电容式MEMS 微波功率传感器的示意图

图3 电容式MEMS 微波功率传感器的剖面图

在图3 中，电容式MEMS 微波功率传感器的整个结构关于CPW 信号线的中轴线对称。其中固支梁长为l1，厚度为t，宽为b，位于信号线左面的传感电极的左右两边分别距离固支梁左边缘距离为n和m。

当微波功率P在电容式微波功率传感器中传输时，假设固支梁处的端口阻抗为Zx，固支梁与信号线之间电容为C，则传感电极与固支梁之间的静电力F可以表示为

式中:εr是相对介电常数；x是梁的位移。

当有一集中垂直载荷Pf作用于固支梁上，且作用点与固支梁左边缘距离为a时，其挠度方程为[11]

式中:z′是与固支梁左端距离y处的固支梁形变；MA和RA是同时作用在固支梁左端的力矩和垂直作用力；E是固支梁的杨氏模量；I是矩形横截面的转动惯量。

则由传感电极与固支梁之间的静电力F引起的固支梁形变量x，对其各点进行积分可求得为

在传感电极和固支梁之间的等效电容C是由两者之间的平行板电容Cb和边缘电容Ce组成，它们分别表示为

式中:kc为边缘电容与平行板电容的比值。

表1 中列出了本文所设计的电容式MEMS 微波功率传感器的固支梁的结构参数。

表1 固支梁的结构参数

3 热-电模型

本节针对热电式MEMS 微波功率传感器中的二维温度分布进行研究。图4 为热电式MEMS 微波功率传感器的示意图。在图4 中，CPW 传输线末端的匹配电阻会吸收微波功率产生热量，使其右侧的热电偶冷热端产生温差，在两个压焊块之间产生直流热电势。

图4 热电式MEMS 微波功率传感器的示意图

由于衬底的厚度远远大于热电偶的厚度，所以可以认为热量完全在衬底中传输，可得二维傅里叶的热传导方程

式中:T为衬底上表面的温度。并根据实际可得出以下边界条件

式中:wt为地线宽度；st为信号线的宽度；gt为CPW信号线和地线之间的距离；Lt为热电偶最远端到终端匹配电阻的距离；Wt为整个CPW 传输线的宽度；T0为室温；λ为衬底的热导率；Pt为到达终端匹配电阻的微波功率；ds为终端负载电阻处衬底膜的厚度。

根据上述边界条件，求解热传导方程可得[9]

将表2 中的参数代入上述热-电模型中，取终端负载电阻接收到的功率为100 mW，衬底膜的厚度为20 μm 和50 μm，可得，热电堆热端与室温的温差分别为34.2 K 和13.32 K。由此可知，衬底膜的厚度越薄，热电堆热端与室温的温差越大，衬底膜的厚度对热电式微波功率传感器的输出热电势具有较大的影响。

表2 热电式MEMS 微波功率传感器的参数

4 微波模型

由于MEMS 微波功率传感器中传输的微波信号主要分布于电容式MEMS 微波功率传感器中，所以本节主要考虑电容式MEMS 微波功率传感器的微波模型。为了获取CPW 传输线的S参数，需要先求其传输常数γ[12]

式中:αc和αd分别为CPW 传输线的导体损耗和介质损耗；εeff为CPW 传输线的有效介电常数。

图5 为电容式MEMS 微波功率传感器的集总等效电路模型。由于本文设计的微波功率传感器工作在Ka 频段，此频段内固支梁整体呈容性，可以忽略其本身的寄生电感和阻抗。在结构中，采用T 匹配补偿固支梁引起的CPW 端口阻抗变化，l为在阻抗发生变化前后的CPW 传输线的长度。

图5 电容式MEMS 微波功率传感器的集总等效电路模型

基于微波理论[12]，电容式MEMS 微波功率传感器的集总等效电路模型的ABCD矩阵计算如下

然后通过ABCD矩阵和S参数的转换关系求出该传感器的S参数:

如图6 所示，采用表3 中的参数，分别利用MATLAB 软件和HFSS 仿真软件对结构进行仿真，得到在固支梁未发生形变时本模型计算的S参数与HFSS 仿真的S参数对比结果。由图可知，在20 GHz～40 GHz 时，解析模型结果中插入损耗S21在-0.1 dB～-0.3 dB 范围内，反射损耗S11小于-18 dB，且在33 GHz 处具有谐振点；HFSS 仿真结果中插入损耗S21在-0.5 dB～-1 dB 范围内，反射损耗S11小于-21 dB，且在36 GHz 处具有谐振点。这表明该解析模型和HFSS 仿真的S参数具有较好的一致性，验证了电容式MEMS 微波功率传感器微波模型的有效性。

图6 电容式MEMS 微波功率传感器的S参数

表3 电容式MEMS 微波功率传感器的参数

5 系统级模型

由本文上述讨论可知，微波功率会导致固支梁发生形变，从而影响电容式MEMS 微波功率传感器的S参数，进而改变终端负载电阻接收到的微波功率Pt。因而，通过建立整个结构的系统级模型，可研究在不同输入微波功率P下，输出热电势与微波频率的关系。

首先电容式MEMS 微波功率传感器中的微波功率引起固支梁上产生的等效力F与信号线和固支梁之间的电容C有关，

将上式代入等效力F，可得

式中:lc为固支梁与CPW 信号线交叠的长度；x为固支梁的形变量。

图7 显示了电容变化量随输入功率的变化情况，由于固支梁的形变较小，电容的变化基本呈线性。

图7 电容变化量随输入功率的变化情况

由于固支梁本身电容值约为50 fF，而由图7 可知，在微波功率小于1 000 mW 时，电容变化量小于5 fF，所以在计算固支梁上等效力F时，可忽略电容C的变化。当信号线和固支梁之间电容为C′时，微波功率传感器的插入损耗S21为

图8 为MEMS 微波功率传感器在不同输入微波功率水平下的S参数计算结果。当输入微波功率分别为0 mW、400 mW 和800 mW 时，与S参数极值相对应的频率点分别为33.3 GHz、32.6 GHz 和31.9 GHz。表明当输入微波功率P增大时，微波功率在固支梁上的等效力F增大，引起信号线和固支梁之间电容C变大，此时传感器的谐振频率减小，即S参数谐振点向左移动。通过观察图8 可知，在30 GHz～35 GHz 时插入损耗S21在-0.01 dB～-0.03 dB 之间，而反射损耗S11小于-27.38 dB。这表明该MEMS 微波功率传感器具有较好的微波性能。

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图8 当输入微波信号功率分别为0 mW、400 mW 和800 mW 水平下，MEMS 微波功率传感器的S 参数随微波频率的变化情况

由微波相关理论可知，传输到终端负载电阻的微波功率Pt，

又利用前面推导的热电式MEMS 微波功率传感器的热-电模型，当终端匹配电阻接收微波功率Pt时，图4 中坐标点为(x，y)处的温度T为，

将各个热电偶的热端Hi和冷端Ci坐标代入上式，可得各个热端和冷端的温度，进而可得热电堆的输出热电势，

式中:TH(i)和TC(i)分别代表第i个热电偶处热端和冷端的温度，二者相减即得该热电偶热端与冷端的温差。

最后，可得输入微波功率为P时，不同频率下热电堆的输出热电势。图9 为在考虑微波功率导致固支梁形变时，不同微波频率下输出热电势随微波功率的变化情况。通过所推导的系统级模型可知，在微波功率为0～160 mW 时，输出热电势受微波频率影响较小(图9(a))；而在微波功率为160 mW～320 mW 时，输出热电势受微波频率影响较明显(图9(b))。在不同的微波频率下，输出热电势与微波功率具有良好的线性关系:当微波功率分别为160 mW 和320 mW 时，热电势在24 GHz 分别为41.47 mV 和83.17 mV，在32 GHz 分别为42.41 mW和84.85 mV，以及在40 GHz 分别为40.03 mV 和79.11 mV。

图9 不同微波频率下输出热电势与输入微波功率的关系

由图8 可知不同频率下插入损耗的绝对值关系为:S21(32GHz)＜S21(24GHz)＜S21(40GHz)，因而在图9 中表现出在相同输入微波功率下不同微波频率的输出热电势关系为:V(32GHz)＞V(24GHz)＞V(40GHz)。

6 结论

本文针对MEMS 微波功率传感器的系统级模型开展研究，通过挠度方程对电容式传感器部分的固支梁形变建立力-电模型，通过二维热传导方程对热电式传感器部分的温度分布建立二维热-电模型。进而以固支梁形变量为线索串联起力-电和热-电转换原理部分，得到包含多物理场的系统级模型。利用该系统模型分析了输入微波功率、力-电转换原理部分的固支梁形变以及热-电转换原理部分的输出热电势的关系，从而得到了不同微波功率和频率下的输出热电势。本文提出的MEMS 微波功率传感器的系统级模型对于研究其他MEMS微波传感器及其衍生器件具有一定的参考意义。