基于竖直平面圆弧轨道的阻尼因数测量

农晓宁，李丰果

(华南师范大学 a.物理与电信工程学院; b.物理国家级实验教学示范中心，广东 广州 510006)

当质点或刚体在轨道上做振动时会受到阻力作用，振动过程中，振幅会减小，这样的运动叫做阻尼振动. 阻尼因数是描述振幅衰减快慢的重要参量，阻尼因数β从小到大对应3种运动状态，分别是欠阻尼状态、临界阻尼状态和过阻尼状态. 阻尼因数β越大，则阻尼越大，衰减越快；阻尼因数β越小，则阻尼越小，衰减越慢. 利用不同装置可以测量阻尼因数[1-7]，对实验数据的采集与处理也有不同的方法[8-13]. 本文利用自制竖直圆弧轨道装置进行实验，利用视频分析软件Tracker和数据处理软件Origin来完成对阻尼因数的测量.

1 测量原理

在实际情况下物体受到阻力作用，小球做弱阻尼振动，ω为与阻尼振动相同的振动系统的固有角频率，β为阻尼因数，其动力学方程[14]为

(1)

式(1)中当阻力很小时(β≪ω)，呈现欠阻尼状态，由(1)式解得质点的运动学方程为

x(t)=Aeβ tcos (ω′t+α).

(2)

为了得到阻尼因数，将物体的x-t曲线进行非线性拟合，可得到β.

2 自制竖直平面圆弧轨道

自制竖直圆弧轨如图1所示. 竖直圆弧轨道由2块22.00 cm的正方形有机玻璃板以及直径分别为20.00 cm和15.00 cm的有机玻璃圆管组合而成. 制作时首先将圆管切割使其高度为3.50 cm，按照需要的尺寸把大圆管切出开口，作为物体进入轨道的入口. 如图1所示，将半径为r1=7.50 cm，r2=10.00 cm的圆管的圆心重合，且圆心处在正方形对角线的交点. 接着用热熔胶将圆管固定在2块正方形的玻璃板之间. 按以上步骤制成简易竖直圆弧轨道. 测量需要配置圆柱体作为追踪对象，根据实验需求，在轨道内壁贴上不同材料来改变轨道的粗糙程度.

(a)示意图 (b)实物图

3 测量过程

实验过程中，物体运动较快，需利用相机拍摄视频，并通过视频分析软件Tracker得到所需运动数据，将数据导入Origin进行曲线拟合. 测量使用的相机为富士XT20，拍摄帧数设为60 s-1.

1)测量准备：用三脚架固定相机，开启拍摄视频模式并取景整个装置. 测量出圆柱体底面半径均为0.90 cm，圆弧轨道半径为10.00 cm，在圆柱体底面贴上黑色圆形纸片，以便Tracker追踪物体的运动轨迹.

2)录制视频：根据实验需求将圆柱体从不同角度θ的位置静止释放，用相机录下圆柱体在圆弧轨道运动的视频.

3)尺寸标注定标：将视频导入Tracker软件将实际中的物体尺寸在视频中进行标注，以便得到准确的数据.

4)视频分析：以平衡位置为原点建立平面直角坐标系，将圆柱体中的黑色圆纸片标志为质点，追踪质点的运动，得到x-t图像及其数据.

5)数据处理：用Origin软件中的SineDamp函数对x-t图像的数据进行曲线拟合，得到阻尼因数β. 实验探究圆柱体在不同角度、不同表面滚动，以及材质对阻尼因数的影响.

4 测量结果与分析

4.1 圆柱体从不同角度开始滚动的阻尼因数测量

用铁质圆柱体从不同角度静止释放，用Tracker得到圆柱体运动的水平位移随时间变化的x-t运动曲线. 角度θ是指圆柱体释放位置与圆心所确定的直线和竖直方向的夹角. 将x-t曲线用SineDamp函数进行非线性拟合，4个不同角度释放的圆柱体运动曲线(黑色)和拟合曲线(红色)结果如图2所示.

相应地，4次测量的拟合方程分别为：

(a)θ=80°

4.2 圆柱体在不同粗糙度表面上滚动的阻尼因数测量

保持其他条件不变，使圆柱体在不同目数的砂纸轨道中来回滚动，测量圆柱体在粗糙度不同的表面上滚动的阻尼因数. 砂纸的目数是指物料的粒度或粗细度，目数越小表示越粗糙，反之，目数越大表示越细腻. 经过实验测量与数据处理，得到圆柱体运动的水平位移随时间变化的x-t曲线及其拟合曲线. 圆柱体分别在150目、240目、400目、1 200目砂纸中滚动的x-t运动曲线(黑色)及其拟合曲线(红色)如图3所示.

(a)150目

相应地，图3中4次测量的拟合方程分别为

4.3 测量不同材质圆柱体滚动的阻尼因数

保持其他条件不变，使铜、铁、铝3种圆柱体分别在圆弧轨道中来回滚动，轨道表面铺上1 200目数的砂纸. 测量得3种材质圆柱体的阻尼因数如表1所示.

表1 不同材质圆柱体阻尼因数测量数据

铜铁铝圆柱体在1 200目砂纸上运动的阻尼因数大小排序为βFe<βAl<βCu，平均值相差约0.01. 结果表明，阻尼因数与圆柱体材质有关，但是影响较小.

5 结束语

利用圆柱体在竖直平面圆弧轨道滚动测量阻尼因数，研究了释放角度、轨道的粗糙程度和圆柱体材质对测量阻尼因数的影响. 测量结果表明：阻尼因数随角度变化产生微小的变化；阻尼因数随粗糙程度的降低而减小；用铜铁铝圆柱体测量阻尼因数，材质对阻尼因数的影响较小. 实验的误差来源为圆柱体释放的初始状态、拍摄画面变形、软件追踪精度等.