基于修正灰色预测模型的沥青路面使用性能预测*

于晓贺 邱怀中 罗 蓉 王锦腾 汪 彪

(武汉理工大学交通学院1) 武汉 430063) (湖北省公路工程技术研究中心2) 武汉 430063)(湖北省交通运输厅汉十高速公路管理处3) 武汉 430000)

0 引 言

沥青路面作为高等级公路路面的主要形式之一，对其使用性能的准确评价及预测是合理制定路面养护方案、确定养护时机的前提条件[1].良好的沥青路面使用性能是行车安全性、舒适性的保证，否则会引发一系列交通事故，严重威胁人身、财产安全，也会造成高速公路养护经费的浪费[2-3].依据文献[4]对沥青路面使用性能(PQI)的评价内容，共包含路面损坏(PCI)、平整度(RQI)、车辙(RDI)、抗滑性能(SRI)及结构强度(PSSI)五个方面，其中结构强度是以抽样评定为依据，单独计算与评定，故在一般的研究中，针对沥青路面使用性能预测主要包含路面损坏、平整度、车辙、抗滑性能四个方面[5].

目前，针对沥青路面使用性能的预测模型较为成熟的主要有回归分析法、综合评价法、概率模型法等多种类型[6-7].其中，回归分析法是建立在特定的数据基础上而建立的；综合评价法是依据道路检测数据结合专家意见统一形成的；灰色预测模型是针对不确定性系统，不需要大量的数据，利用灰色过程通过数的生成来寻找数据的规律；马尔可夫预测模型是以概率分布的形式反映出某种使用性能状态的概率[8].以上各类模型均有一定局限性，回归分析法只适用于某一特定区域，不具有普遍适用性；综合分析法具有一定的主观性，且计算过程相对复杂；灰色预测模型依赖于初始值的设定，具有一定的缺陷性；马尔可夫模型较为复杂，且不太适用于沥青路面使用性能的中长期预测[9-10].

文中以较为成熟的灰色预测模型为基础，解决灰色预测模型依赖初始值而导致精度不高的问题，结合汉十高速公路孝襄段使用性能检测数据对模型精度进行验证，提出具有较高预测精度的理论模型，为沥青路面使用性能的评价及预测提供了理论依据[11-12].

1 建立修正灰色预测模型

在灰色预测模型中，认为所有的随意变量都具有灰色的特点，是通过对原始数据进行处理使其成为规律性较强的生成数据来对具有灰色特性的随机变量进行研究，所以无需大量的原始数据[13-14].

灰色预测模型常采用的是GM(1,1)模型[15].首先，假设已知的原始数据序列为

X(0)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)}

(1)

对数列X(0)作一次累加，可以得到新的生成序列X(1).

X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)}

(2)

式中：

(3)

假定新的生成序列X(1)具有指数变化规律，则用微分方程为

(4)

式中：a为辨识参数，称为发展灰数；b为辨识参数，称为内生控制灰数.

将式(4)离散化可得差分方程为

x(0)(t)+ax(1)(t)=b

(5)

由X(1)构造紧邻值生成序列Z(1)为

Z(1)={Z(1)(1),Z(1)(2),…,Z(1)(n)}

(6)

式中：紧邻值为

t=2,3,…

(7)

故可得GM(1,1)模型的灰微分方程为

x(0)(t)+az(1)(t)=b

(8)

设原始矩阵表达式为Y=XB，则有：

Y=[x(0)(2)x(0)(3) …x(0)(n)]T

(9)

(10)

B=[ab]T

(11)

用最小二乘法可得

B=(XTX)-1(XTY)

(12)

采用最小二乘法求解参数a和b并代入式(3)可得序列X(1)的预测模型为

t=0,1,…

(13)

由式(12)可得序列X(0)的预测模型为

x(0)(t+1)=x(1)(t+1)-x(1)(t)=

(14)

由式(14)可知，当t=0时有：

x(1)(1)=x(0)(1)

(15)

则有：

t=0,1,…

(16)

由式(16)可知，关于x(1)(t)的拟合模型必然经过点(1,x(1)(1))即(1,x(0)(1))，第一个生成序列数据与原始序列一致，这与最小二乘法的理论不符，因为最佳拟合曲线并不应该一定经过点(1,x(1)(1)).与此同时，点(1,x(1)(1))代表了最旧的数据点，并不是累加得到的生成序列点，这就限定了预测模型的起始值，这会与导致部分条件下与最佳拟合精度相悖的情况出现.因此，应当选取生成序列中的数据作为已知条件，从而得到最佳的预测模型.

对于沥青路面使用性能预测而言，与历史检测数据息息相关，故历史检测数据并不能完全摒弃，可以采用某一生成序列历史数据点作为预测模型的已知条件，但使得该模型不一定经过原初始点，仅作为参数条件使用.考虑到要尽可能对历史检测数据进行考虑，选择除点(1,x(1)(1))外以第一个生成序列数据作为某一条件使用，即选取(2,x(1)(2))作为已知条件，可得修正灰色预测模型为

t=0,1,…

(17)

2 沥青路面使用性能检测数据分析

选取汉十高速公路孝襄段2013—2018年检测数据作为基础，分别进行路面损坏、平整度、车辙、抗滑性能四项指标的预测，最终对沥青路面使用性能依照文献[4]中的评价标准进行评价及预测.沥青路面使用性能指数(PQI)计算公式为

PQI=wPCIPCI+wRQIRQI+wRDIRDI+wSRISRI

(18)

式中：wPCI=PCI在PQI中的权重，0.35；wRQI=RQI在PQI中的权重，0.40；wRDI=RDI在PQI中的权重，0.15；wSRI=SRI在PQI中的权重，0.1.

汉十高速公路孝襄段2013—2018年使用性能检测数据见表1.选取汉十高速公路孝襄段2013—2016年共4年使用性能检测数据作为基础计算得出预测模型，以2017—2018年使用性能检测数据进行验证.

表1 汉十高速公路孝襄段2013—2018年使用性能检测数据

采用灰色预测模型对PCI，RQI，RDI，SRI四项指标2013—2016年检测数据建立GM(1,1)模型，计算原始数据序列为

(19)

(20)

(21)

(22)

原始数据累加，得到生成序列.

(23)

(24)

(25)

(26)

以路面损坏指标(PCI)为例进行计算，可得：

(27)

则Y和X分别为

Y=[92.49 91.73 91.05]T

(28)

则依据B=(XTX)-1(XTY)可以计算得到B为

B=[0.007 82 93.560 73]T

(30)

将辨识参数a=0.007 82，b=93.560 73代入灰色预测公式可得：

x(1)(t+1)=[92.99-11 962.685 37]e-0.007 82t+

11 962.685 37,t=0,1,…

(31)

将辨识参数a=0.007 85，b=93.570 37代入修正灰色预测公式可得：

x(1)(t+1)=[185.47-11 962.685 37]e-0.007 82(t-1)+

11 962.685 37,t=1,2,…

(32)

则可计算得到2013—2016年的路面损坏指标的预测值，同时依据预测模型计算2017—2018年路面损坏指标的预测值.

同理，依据以上方法可以得到RQI、RDI、SRI的预测值，得到的结果见表2.结果保留4位小数.

表2 汉十高速公路孝襄段2013—2018年使用性能数据对比

为验证灰色预测模型与修正灰色预测模型的精度差异，计算各组预测数据与实际数据的残差及相对误差，其结果见表3.同时，计算各项指标采用灰色预测模型及修正预测模型的总残差和平均相对误差见表4.

表3 汉十高速公路孝襄段2013—2018年使用性能预测误差分析

由表3～4可知，通过修正灰色预测模型计算得到沥青路面使用性能各项指标的总残差值和平均相对误差与灰色预测模型相比都较小，可以说明修正灰色预测模型与灰色预测模型相比具有更高的预测精度.

从整体结果而言，即便2013—2018年汉十高速公路孝襄段沥青路面使用性能各项数据的变化较为均匀，总残差值和平均相对误差值不大，采用

表4 汉十高速公路孝襄段2013—2018年使用性能预测误差分析汇总

修正灰色预测模型也能在一定程度上减少总残差之和平均相对误差，提升预测精度.更为重要的是，修正灰色预测模型使得预测模型不一定非要经过初始数据点，能够得到更为优化的拟合结果，对于沥青路面使用性能每年变化差异较大的路段而言，其预测精度可以大大提升，通过该种方式得到的修正预测模型具有更高的合理性.

3 沥青路面使用性能预测

依据修正灰色预测模型，分别对汉十高速公路孝襄段2019—2020年沥青路面使用性能各项指标进行预测，同时依照式(17)计算各年路面使用性能指数(PQI)，结果见表5.

表5 汉十高速公路孝襄段2013～2020年沥青路面使用性能指数预测

绘制2013—2018年汉十高速公路孝襄段沥青路面使用性能指数的真实值和预测值见图1.

图1 汉十高速公路孝襄段沥青路面使用性能指数对比图

依据预测值计算汉十高速公路孝襄段沥青路面使用性能指数(PQI)的拟合优度，其结果为R2=0.998 5，证明该预测方法切实可行，预测模型具有较高的预测精度，可以作为沥青路面使用性能评价及预测的有效手段，实现对沥青路面使用性能指标的变化情况的合理预测，为养护时机的选择提供了理论依据.

4 结 论

1) 本文在灰色预测模型的基础上，改善了其预测结果依赖初始值的情况，建立了不依赖初始值且适用于沥青路面使用性能指标预测的修正灰色预测模型，通过计算汉十高速公路孝襄段2013—2016年使用性能检测数据，并通过2017—2018年使用性能检测数据对比验证，发现文中涉及的四项检测指标2013—2018年总残差值均在1以下，相对平均误差值在0.2%以下，证明该预测模型具有较高的预测精度；

2) 对比汉十高速公路孝襄段沥青路面2013—2018年检测数据，发现灰色预测模型与修正灰色预测模型都具有较高的预测精度，修正灰色预测模型的预测精度仅略高于灰色预测模型，这是由于2013～2018年汉十高速公路孝襄段沥青路面使用性能下降趋势较为均匀，故灰色预测模型依赖初始值的情况未被放大，若出现变化趋势不均的情况，则修正灰色预测模型的精度具有更高的优越性；

3) 依据汉十高速公路孝襄段沥青路面路面损坏(PCI)、平整度(RQI)、车辙(RDI)、抗滑性能(SRI)的预测值计算得到2013—2018年各年沥青路面使用性能指数(PQI)，并预测得到2019—2020年沥青路面使用性能指数(PQI)，预测曲线拟合优度R2=0.998 5，2019年和2020年PQI值分别为91.197 8和90.650 4，评定指数依然为“优”.