航天器热模型修正技术进展研究

钟奇 潘维 王玉莹 苏生

(1 北京空间飞行器总体设计部，北京 100094)(2 北京空间飞行器总体设计部 空间热控技术北京市重点实验室，北京 100094)

航天器热模型修正可以视为关于优化或拟合的反问题，是航天器热控领域中一个古老的话题。自1967年Toussaint提出用最小化分析-试验能量平衡残差进行模型修正以来，业界一直在进行相关研究。从国外来看，一开始的方法主要有最小二乘法、卡尔曼滤波法[1]；随着计算机能力的迅猛提升，出现了大量基于随机统计的修正方法[2-3]。一般而言，参数敏感性分析是修正的前序环节，因此，围绕参数采样方法及敏感性分析的具体应用也有大量研究[4-5]。期间，还有一些旨在实现修正过程自动化的工具开发研究[6-7]。近年，涌现出了两种航天器热模型新修正方法的研究：遗传算法(Genetic Algorithm，GA)[8-10]和Broyden类的准牛顿法[11]。

从1990年代开始，国内也开展了大量关于航天器热模型修正方法或应用技术的研究[12]。这些研究有的采用trial-and-error式步骤对具体问题进行特性研究[13-14]，多数属于单次单因子(one-factor-at-a-time)式的假设分析(what-if)类的低效的手工试算；有的专注于探讨缩并不确定参数的数量[15-16]；有的探讨分层修正等策略问题[16]。就修正算法而言，以最小二乘法[15-16]和Monte-Carlo统计分析[17-19]为主。近年，文献[20]针对某热工系统开展了运用遗传算法进行参数辨识和控制参数优化的研究，文献[21]采用遗传算法研究了热传导反问题，这些问题与航天器热模型修正问题共性不多。文献[22]针对航天器瞬态热模型，给出了采用遗传算法进行修正的应用结果，但对实现过程描述不多。因此，对于航天器热模型修正的两种国外新方法，国内的研究接近空白。

由于航天器热模型修正的复杂性和难度，相关修正技术在工程实用中至今尚远未成熟，现实中的大部分修正中，航天器热控工程师不得不将手工调整参数作为优先选择[9]，繁琐而低效，因此，业界对热模型自动修正的需求一直是迫切的。正因为需求迫切而技术还不成熟，所以航天器热模型修正问题虽然古老，但至今仍是航天器热控领域的热点话题。

本文对采用遗传算法和Broyden类的准牛顿法这两种新方法用于热模型修正的原理、应用效果进行分析。温度和不确定参数能被修正的准确度均是应用效果分析的关注重点。之后进一步延伸分析以往国内热模型修正研究中关注不多的不确定参数可解性问题，探讨部分修正理念。

1 遗传算法

1.1 原理

遗传算法是一种模仿生物种群代际遗传进化的启发式随机搜索通用算法。热模型修正的目标是寻找那些使分析和试验测量的温度差异尽可能小的不确定参数，这是一个对参数的搜索优化问题。假定一个热模型包含有线性热导GL、辐射热导GR、热容MC共r个不确定参数，采用遗传算法，将一个参数的一个可能解视为一个基因，一组不确定参数可能解的组合即为一个染色体(同时又称为个体)。为便于理解，采用自然编码，图1即为一个染色体示例，基因所处位序为基因位。一组结构相同、值不同的染色体集合即构成一个种群。

图1 染色体示例Fig.1 Example of a chromosome

首先定义适应函数表达式为[8]

(1)

(2)

式中：T表示温度，TP为分析温度，Tm为测量温度；i表示节点号，i=[1，I]；k表示瞬时时刻，k=[1，K]；j表示工况号，j=[1，J]。

确定适应度收敛判据及最大迭代次数后，按照如下步骤[23-27]进行参数寻优。

(1)随机产生S组染色体作为初始种群并按照适应函数计算适应度，S即为种群规模。

(2)根据对每个染色体的适应度评价结果，选择一定数量的染色体进行复制、交叉、变异操作，形成新一代种群。复制的原则是让适应度高的染色体有更大的概率得以保留；单纯的复制虽然使得新一代种群中高适应度个体保留比例高，但它们与上一代完全一致，因此还需要进行交叉操作，交叉是对群体中任意两个染色体，按照一定概率交换二者的部分基因；因为初始的种群可能没有包含解决问题的所有必要信息，为防止后代一直包含这种先天缺陷，因此还需要让交叉后的个体在某些基因上按照一定概率发生突变。

(3)返回步骤(2)，直到：①适应度满足收敛准则，此时种群中适应度最佳的个体包含的参数即为“符合收敛判据”意义下的最优参数，指定其为问题的最终解，计算结束。或②迭代达到设定的最大次数仍不能收敛，计算退出。

可以看到，GA算法中需要反复计算适应度，对于热模型而言，通常意味着需要反复用新一代的参数计算温度，即利用求解器反复计算热网络模型的温度。GA算法的另一个特征是，不同的初始种群得到的结果会有差异，因此一般需要进行多次尝试。

1.2 应用效果

文献[9]展示了采用GA方法对一个搭载于空间站的科学实验装置热模型的修正。该模型总节点47个，其中温度待求节点28个(21个扩散节点+7个算术节点)、热沉节点(即温度的一类边界)19个。不确定参数117个，包括42个GL、54个GR、21个MC。计算时刻数：低温工况11个，高温工况10个。以虚拟试验和真实试验为对象进行了两类修正，如表1所示。

工况G1～G5为虚拟试验修正，即将标准参数取值下的分析结果视为“虚拟试验”结果，然后随机改变117个参数中的80%，改变幅度在±100%内，将此状态作为分析模型，用 “虚拟试验”温度作为真值来修正分析模型。为了研究“试验”中有测量温度的测点数的不同对修正的影响，以及修正时选定的不确定参数数量对修正的影响，人为设定了5种工况。

工况G6为针对真实热平衡试验的修正。该修正前分析与真实试验平均偏差2.37 ℃，单个节点在某时刻上最大偏差6.43 ℃。

表1 GA修正案例Table 1 Cases of correlation using GA

从表1可见，除工况G4之外的修正都能在有“试验测量温度”的节点上满足分析与试验温度偏差不超过0.5 ℃。文献[9]亦因此宣称GA可以用于中小规模问题。但可以看到，该研究的参数修正效果很不成功，该文也提到，GA修正出的参数可能会丧失物理真实性。

2 Broyden类的准牛顿法

2.1 原理

Broyden类的准牛顿法需要从非线性方程组的牛顿迭代法说起，以如下非线性方程组为例，牛顿迭代法的过程为[28]

(3)

式中：x、y为待求未知量，在初始近似值(x0,y0)附近作泰勒展开取线性部分为

(4)

用矩阵形式表达即

(5)

左边第一个矩阵即为雅科比矩阵，满足矩阵可逆的前提下，按矩阵求逆法有为

(6)

即

(7)

由此得到新一轮近似值，如此反复迭代直至前后两次误差小于容差。

一个含有W个不确定参数pw(w表示序号，w=[1，W]、I个未知温度量Ti的热网络方程组，可以视为隐函数表达的pw到Ti的映射

(8)

多数修正方法是寻求上述方程组的解与测量温度差值尽量小，Broyden类的准牛顿法则直接求解下述方程组。

(9)

采用牛顿迭代法，用矩阵形式表达的话，按照式(7)的推导过程，则有[11]

(10)

通常I≠W，所以式(10)与式(7)有区别：式(7)中的雅科比矩阵是方阵，其逆矩阵是标准定义逆矩阵，而式(10)中的雅科比矩阵不是方阵，其逆矩阵是广义逆矩阵,式(10)仅为一个特解[29]。

可以看出，在式(10)的每次迭代中，都需要计算每一个Fi的值，也就要求计算隐函数fi的值，这意味着每次迭代时用热网络方程求解器计算出温度不可避免。雅科比矩阵元素的偏导值计算同样没法通过显式解析式得到，Broyden发明了基于前一步结果来近似雅科比矩阵的方法，这正是Broyden类的准牛顿法的最明显特征。该方法要求热模型是参数的单调且可微函数，航天器热控系统经常用到的自动控温加热并不符合这一要求，需要在分析模型将控温逻辑转换为随时间变化的加热方式。

2.2 应用效果

文献[11]针对两个模型进行了修正。第一个是虚拟试验修正，模型包含4个未知节点、1个边界节点；可变参数为6个GL，6个GL按标称值计算得到的结果作为虚拟试验数据，然后改变6个GL值的计算结果作为分析值，待修正参数按3种不同数量进行了3个修正，如表2所示(见表中B1～B3)。

表2 Broyden类的准牛顿法修正案例Table 2 Cases of correlation using quasi-Newton algorithm of Broyden class

文献[30]同时采用Broyden类的准牛顿方法和GA算法，对文献[8]的算例进行了修正对比。为便于比较，不再采用偏差总方根、而统一用偏差均方根进行评价，结果是都能达到均方根<1 K，对于均方根<10-4K的收敛判据，Broyden类的准牛顿法能达到，而GA无法收敛。文献[30]最后列举了采用Broyden类的准牛顿方法应用于节点规模较大的真实修正结果，如表3所示。

表3 Broyden类的准牛顿法大模型修正案例Table 3 Examples of correlation for large model using quasi-Newton algorithm of the Broyden class

表2、3的案例表明，Broyden类的准牛顿方法能取得较好的温度修正结果，包括GA算法不能收敛的一些情况。不过其参数修正效果是未知的。

3 关于修正的进一步探讨

以上案例表明，抛开不确定参数的修正效果、仅衡量温度偏差的话，GA算法和Broyden类的准牛顿法应用于热模型修正，目前表现是有一定可行性的。不过，热模型修正的最高目标是获取不确定参数的精确值，以进行后续的精确预示。一个在轨运行或地面热平衡试验中的真实航天器，影响其温度分布的每一个参数在某一时刻本应只有一个值，理论上应当可以反向计算出这些参数的值。现实中达到完美修正的困难何在呢？

第一个困难是不确定参数的识别充分性：截至目前，所有用虚拟试验来进行的修正研究中，是将已知参数真值的结果作为“试验”结果，然后人为制造参数偏离作为分析状态，然后寻找能满足分析温度结果与“试验”温度一致的参数值。这相当于事先已识别出所有的不确定参数，这与实际的修正存在重大差异：实际的修正中不可能保证不确定参数全部被识别。很显然，未被识别的不确定参数一定是不能被修正到真值的。这一点直接引发了工程上向现实的第一个妥协：通过参数分析，筛选掉不敏感参数，认为识别了所有敏感参数。

第二个影响修正精确度的因素是温度比较点的有限性：测点总是有限的，满足修正目标的最多是统计点上的温度偏差，只能证明温度偏差在有限点上满足某个判据，并不足以证明无测点部位温度偏差也满足判据，自然更不能证明修正后所有参数的精确性以及任意部位的温度预示的精确性，这也是文献[31]的观点。

第三个重要因素是以往热模型修正中普遍忽视的关于参数的定解状态。表1～3中的修正工况按定解状态分成了欠定解、定解和过定解3种状态，其含义是：欠定解(Underdetermined)为不确定参数个数>温度测点数；定解(Derdetermined)为不确定参数个数=温度测点数；过定解(Overdetermined)为不确定参数个数<温度测点数。理论上，欠定解问题有无穷多解；定解问题有唯一解；而过定解无解。以下考虑实际的热模型的定解状态。

(1)一般的航天器热模型都属于欠定解系统，理论上解就不唯一。表1～3中的定解状态不过是分析者“认为”的状态，实际的热网络方程中，节点热容、外热流、大量的接触热导类的线性热导、非线性的辐射热导等参数，都有不确定性，所以，不确定参数一定是多于模型节点数的，更是多于测点数的。对于接触热导，工程上通常认为同类接触状态的接触换热系数相同，比如对使用导热脂的接触面都采用一个换热系数，由此减少一些不确定参数数量。但实际上这类假设不严格成立：由于紧固点数量、接触面积的不同，接触面的安装预应力有差异，使用同一种导热填料的不同接触面上，接触换热系数事实上有差异，每个接触热导都应是独立的不确定参数。即使承认这些近似假设，一般的热模型的不确定参数往往仍是多于测点数的。热模型方程组因此属于数学上的一致方程，在数学上[29]已经证明，一致方程存在多解，理论上要获取参数的唯一精确解是不可能的，前述式(10)的方法获取的只是一个特解而已。需要再增加约束条件，方能得到最小范数(最短距离)之类意义上的唯一解。

(2)工程上对修正参数数量的压缩往往将欠定解问题变成理论上无解的过定解问题：要修正过多的不确定参数不现实，因此一般分析者会人为附加若干假设(比如认为外热流、热容是准确的)，结合经验或参数分析结果，一般最终会选定远少于测点数的参数进行修正，尤其是对于整星、整器的系统级模型修正，这样，将事实上无唯一解的欠定解问题变成了操作中的过定解问题，也即数学上的非一致方程，非一致方程意味着方程组中存在相互间矛盾的方程，因此只能有最小二乘解之类的近似解[29]。无法做到温度收敛到0偏差，最多达到温度偏差小于某一数值，自然更不能得到参数的解。

综上，热模型修正的最高目标是试图得到不确定参数的“确定”(相对修正前应更精准、更确定)值，但参数精确值又不可得。对于这个悖论，工程上理性的态度是：①热模型修正目标只能限于满足在所选评价点上的温度偏差尽量小，不应寄望参数达到真值；②用于评价的测点数、工况数、时刻点(瞬态工况)越多，参数接近真值的概率越大，后续预示的可信度越高；③对于修正得到的参数值，尽量成组一起使用。因为修正得到的参数很可能丧失了物理真实性，因此不应单个使用；④尽量遵循在修正和预示中保持影响参数值的状态一致，比如，通过修正得到了某个设备安装面的接触热导，应当在修正后未曾对该设备进行再次拆装，方能将该值用于预示。

4 运用人工智能修正热模型的展望

以信息系统的视角来看，热网络模型是一个以热耗、热沉温度、构型等条件为输入，飞行或试验测量温度为输出的系统。传统的热模型修正用确定的非显式函数来描述输入-输出映射关系，各种确定、不确定参数影响着映射关系，热模型修正是一个通过不断用“正确”输出(测量温度)来评价“相对不正确”输出(分析温度)、并调整影响分析输出的不确定参数的过程。这一过程非常类似人工智能(Artificial Intelligence, AI)领域的深度学习过程，因此，如果抛开热模型的函数关系、放弃对参数确定值的期望，将热模型视为人工神经网络，将获得参数值这一修正目标降级为获得各层神经元之间连接强度(或权重系数)，应当是可行的。因为修正的终极目的是准确预示，通过人工神经网络深度学习也是建立输入输出之间的精确描述模型，只是传统修正中可以判断参数的物理合理性，神经网络中的连接强度没有物理意义，无法在物理上判断其真实性而已，但这并不妨碍预示这一终极目的。事实上，已经有学者开展了这方面的探索研究，该研究采用“虚拟试验”结果(即标准状态分析结果)来训练神经网络，采用了1层中间层(隐含层)[32]，该研究结论是这种方法有可行性。

近年，AI技术在多个应用领域进入了迅猛发展期，其中尤以AlphaGo为突破性的代表，卷积神经网络等网络模型的研究有很大进展[33]。结合AI有关的最新技术，利用人工神经网络进行热模型修正(主要是预示)，也许会有更多突破、成为航天器热分析领域的一个研究热点。目前，利用真实而非虚拟的试验数据、采用人工神经网络进行模型修正的案例还不多，诸多问题还值得进一步探索，比如隐含层数量影响如何，是否有效果更好的网络模型等问题。

5 结束语

本文总结了近年出现的遗传算法和Broyden类的准牛顿法两种热模型修正新技术的方法，并分析了相关应用案例中关于温度和不确定参数的修正效果。对文献信息的综合分析表明，两种方法在满足温度偏差最小化这一评价标准下是可行的，值得进一步研究。目前的应用案例中，参数并不能全部被修正到精确值。进一步分析发现，实际的航天器热模型一般均为欠定解系统，或者会被人为转换为过定解系统，这两种系统的修正都不可能获得精确的参数反解值。因此，工程中必须成套使用通过修正获得的参数，并遵循在修正和预示中保持参数严格一致的原则。结合AI技术的进步，利用人工神经网络进行深度学习、用于模型修正是可能的，有望成为今后的一个研究热点。