磁浮列车导向系统的建模与分析

（华东交通大学 电气与自动化工程学院，江西 南昌 330013）

0 引言

1922年，德国科学家首次系统地提出磁悬浮列车的设计构想。由于磁浮列车运行时与轨道无摩擦接触，因此具有高速、节能、平稳等优点。目前，已有众多国家研究磁浮列车。相对而言，德、日两国的技术先进而成熟[1]。我国对磁悬浮列车的研究起步较晚，始于20世纪80年代，国防科技大学于1989年成功研制我国首台磁浮样车。此后，经过科技人员的不懈努力，我国已成为世界少数实现磁浮列车商业运营的国家之一[2]。

悬浮、导向和推进系统是磁浮列车的三大核心系统，导向系统对于磁浮列车的平稳性和安全性等关键性能指标具有重大影响。目前，磁浮列车实现导向主要有常导吸引型电磁导向（EMS）和超导排斥型电动导向（EDS）方法[3]。从技术角度看，中低速工况下的导向技术已经较为成熟。但是，在高速与超高速工况下，导向系统仍存在摇摆、运行不平稳等问题。因此，鉴于导向系统的重要性及当前存在的问题，对导向系统进行深入探索具有重大研究价值。

1 导向系统数学模型的构建

在工程实际中，多种复杂因素耦合干扰导向磁场，难以构建导向系统的精确模型[5]。本文忽略导向电磁回路的少量漏磁，同时忽略铁芯、导轨中的磁阻，认为所有磁势均匀分布在导向气隙。EMS型磁浮列车利用导轨线圈与导向线圈之间的电磁吸力实现导向（见图1）。

图1 双电磁铁导向系统结构示意

1.1 电磁力F的计算

设导向气隙为x，导向电磁铁横截面积为S，空气磁导率为μ0，气隙磁路的磁阻为：

根据磁路基尔霍夫定律，可得：

其中N为线圈匝数，i为线圈电流，Φ为导向系统的磁通量

由（1）（2）式可得：

设导向电磁铁工作在非磁饱和状态，那么磁链为：

导向气隙磁场的能量Wc（i,x）为：

2

由电磁力与磁场能量的关系，可得：

式中的“－”仅表示F方向。为方便计算，常数项用K表示，记为则

1.2 控制电压u的计算

由电磁感应定律：

其中L为电磁线圈中电感，

导轨左右两侧安装性能完全相同的导向电磁铁，F1，F2为两侧电磁铁对导轨的吸力，i0为电磁铁偏置电流，Δi为控制电流，i1，i2为两侧电磁铁绕组电流，x1，x2为两侧电磁铁与导轨的气隙。

当列车处于平衡位置时，左右气隙x、电流i大小相等，电磁吸力F大小相等，方向相反。假设受到一个水平向右的外力Fd，系统将向右偏移，记偏移的位移为Δx，则左侧的气隙增大为x1=x0＋Δx，右侧气隙减小为x2=x0－Δx。传感器检测到位移变化，生成信号并传递给控制系统，调整左右两边线圈电流大小。右侧电流减小为i1=i0－Δi，左侧电流增大为i2=i0＋Δi。于是，左边吸力变大，右边吸力变小，吸力差值成为恢复力，列车向左移动回到原来位置。

此时，右侧电磁吸力为：

左侧电磁吸力为：

合电磁力为：

根据（8），得到电磁绕组电压：

再考虑外力因素，得到水平方向的动力学方程：

综合上述计算表达式，可得系统的动态模型方程组：

稳定条件：F1=F2

2 系统模型线性化与状态方程的建立

（14）式是非线性方程组，不便应用。为此，将式（9）、（10）在平衡点（x0，i0）处泰勒展开，并忽略高阶项，泰勒展开过程如下：

Kx、Ki分别称为位移和电流的刚度系数，则（17）式可写为

接下来由（12）式可得：

因u0=Ri0

则式（19）在平衡点处进行线性化得：

综上所述，方程组（2-14）在平衡点处经过线性化后得到：

选择（Δx,Δx.,Δi）作状态变量，得到导向系统的状态方程：

其中，L0Kx=LxKi。

进一步得到系统的开环传递函数为：

3 导向系统的稳定性分析

由式（24）列出系统的劳斯稳定判断表：

依据稳定性分析理论，可判断该系统不具有稳定性，无法确保导向系统的气隙稳定[7]。因此为了使系统本质稳定，必须采取有效的系统镇定措施。

4 结语

本文以EMS磁浮列车的导向系统为研究对象，运用电磁学、运动学、控制学等多学科理论构建了悬浮系统的数学模型。由于所得模型是结构简单的线性数学模型，因此具有应用方便的优点。需要指出的是，本模型忽略了悬浮系统的部分细微因素，与实际系统相比，存在一定误差。在今后工作中，将定量研究误差的大小及其对系统工作的影响。