设置数学实验教学引入，自然建构弧度制概念

程青华

弧度制，一直被认为是高中数学概念的教学难点，很多同行为此展开了思考，在弧度制引入的必要性上苦苦追寻.《普通高中数学课程标准（2017年版）》中也要求体会弧度制引入的必要性，但是如何体会？我们需要理解弧度制的本质是什么？弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量统一了三角函数自变量和函数的单位，也为进一步理解高中函数概念中为什么强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性.

本文通过初高中三角函数定义的不同来说明弧度制引入的必要性，探索弧度制概念课的教学引入，通过不同单位度量同一事物的差别发现问题，再通过数学实验操作感知新概念的来临，依照数据的分析和比较自然引入弧度制定义，生成不突兀，在实践和探究中建构了弧度制概念.

1情境思考

单靠弧度制这一节概念课是无法深刻体会弧度制引入的必要性的，我们可以创设一个情境来分析这个问题.

情境对于三角函数的教学，为什么初中数学通过直角三角形讲述，高中数学要通过单位圆讲述？这是必要的吗？

分析基于对应关系的函数定义，要求函数与函数的对应关系，称前者的取值范围为定义域，称后者的取值范围为值域.初中三角函数是对直角三角形中边角关系的刻画，其中自变量的取值是60进位制的角度、不是10进位制的实数，不符合对应关系的函数定义，事实上，初中学习三角函数，是为了解直角三角形，并不讨论三角函数的基本性质，在高中阶段，借助单位圆建立角度与对应弧长的关系，用对应弧长刻画角的大小，因为长度单位与实数单位一致，这就使得三角函数的自变量与函数值得取值都是实数，复合对应关系的函数定义.

按照课本的顺序，弧度制是在单位圆三角函数之前，所以我们要想更深刻地去体会弧度制引入的必要性，必须要通过后续学习，然而这节概念教学课如何引入呢？

笔者也做了一些思考，先从不同单位度量同一事物的差别出发，认识到度量单位选取的重要性，紧接着用实验测定弧长（线段长）、半径长、角度，通过比较分析得出规律，进而引出弧度制概念，与此同时用几何画板来验证任意性，突出实验操作对弧度制定义的认知作用，就从教学效果来看，还是颇有回味感的.

2《弧度制》教学引入部分课堂实录

2.1创设情景，引向课题

小巨人姚明的身高有两个版本：227cm、229cm，《休斯顿纪事报》报导了227和229两个数字的由来，原来是姚明选秀（2002年5月）时，NBA官员将姚明身高登记为7英尺5.5英寸，换算为227cm，火箭队公布姚明身高为7英尺6英寸，就是229cm.

請你分析小巨人姚明的身高为什么会出现这么大的差异？（让生讨论，学生会得出各种各样的答案，适当提醒，引导学生思考这是度量单位精确度的问题，换算成其他度量单位就会产生误差.）

师：请你分析小巨人姚明的身高为什么会出现这么大的差异？

生1：有可能姚明长高了;

生2：长高不可能吧？可能是鞋子的问题;

生3：他测的应该是净身高，可能是测量仪器的误差问题;

师：还有没有其他的认识？

生4：既然是选秀，测量的身高应该是很严格的，同时也应该是最为标准的，我认为应该是精确度的问题.

生5：对，是精确度的问题，据我所了解，姚明当时测量的身高为7.552英尺，精确到0.1时是7.6英尺，换算成国际单位厘米则是229cm;若精确到0.01时则是7.55英尺，换算成国际单位厘米则为227cm.这就是我们看到的差异的原因.

师：刚才这位同学讲得很精彩，也很正确，是精确度在作祟，相差0.5英寸，换算成cm就相差2个cm了，说明了用相对小些的cm来度量姚明的身高会较合理些.

结论对于某些实物我们测量时可以选用英尺来测量较好，而测量身高则用国际单位cm较好，不同的实物不同的度量单位，我们要根据情况选择使用.

师：那同学们再想想还有哪些度量单位，比如重量？

生：有千克、克、吨、斤、公斤……

师：很好！我们看到度量长度或者重量与很多种单位，那不同的单位之间有关系吗？

生：1吨=1000千克，1公里=1000米，可以进行换算.

师：好！既是如此，所以我们选择不同的单位来度量同一事物.

那么对于目前唯一度量角的角度制是不是也有其他的度量方式呢？

2.2实践操作，引出课题

而对于初中我们学习过的角度制是一种什么样的度量角的方式呢？回顾并给出1°的角的定义：将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.

既然用角度制可以度量角，接下来就从实验中感知.学生分组探究：如图1，在平面内画扇形并测量出角度，用细绳测量弧长L和半径r，探讨它们的关系.（表格中数据全部精确到0.1）

把准备好的画在纸上的扇形（角度大约为1弧度的两个不同半径的两个，角度大约为2弧度的1个）发给各组，先测量角度（精确到0.1）直接用白板将数据填入表格，然后发现：除了用角度制去度量这些角时，那么是不是有另一种度量角的方法呢？继续测量弧长L和半径r，同样将各组同学测量的数据填入表格中，然后分析得出：用半径所对的弧长比上半径可以去度量某一个角，那么是不是对于任意角都可以呢？

如图2～5，用几何画板演示学生观察.（一边观察一边引导学生从比值上理解）

得出结论除了角度制去度量某一个角之外，我们确实可以用任意角的弧长比上半径来度量这个角.那么这种度量角的方式就是我们今天要讲的弧度制.

板书：1.1.2弧度制

3教学反思与分析

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：“数学学科核心素养在学生与情境、问题的有效互动中得到提升.在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题.”这就清楚地表明，设置情境的重要性.通过实践，是数学概念教学的一个重要过程，学生是认识的主体，又是创造与发展的主体，充分尊重学生的主体地位，正确发挥教师的主导作用，是“数学概念课”课堂教学模式这一教学模式的指导思想.情境设置加上操作实践，对一些共性进行认识，在认识的基础上正式提出新概念.基于这个指导思想，本课题的教学实现了几大突破.

3.1以“姚明身高问题”为引入，让学生积极参与到探讨是什么原因导致姚明身高的变化差异

学生的回答会比较多，也比较精彩，一下子把气氛给调动起来了，但是最终找到问题的答案：是精确度在作祟，这个时候教师便可以总结出不同的单位度量时误差会不同，不同单位之间可以进行换算，描述同一事物可以用不同的单位，以此得出作为度量角的大小的角度制是否可以用其他的单位制来表示呢？认识到这一点，我们就可以继续进行探究.通过互动观察现象、发现问题正是我们寻求新概念的基礎.

3.2实践出真知

根据弧度制的本质我们可以大胆地动手做数学实验，分组测量角度，然后再测量半径和弧长，积极引导学生从弧长比上半径的方向思考，用量角器测量角度比较容易做到，当学生发现弧长比上半径的值趋于一个定值时，意味着用这种方式表示角的大小也是一种方式，而且是一个实数.显然数学实验更能感知到弧度制概念的出现并不会让人觉得很突兀，而是找到了一种具有实践形式的知识结合点和技能生长点.

3.3重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合

充分借助“几何画板”和“希沃白板”演示动态过程，让学生感知“同一个角的弧长与相对应的半径比值相同”和“不同的角的弧长与相对应的半径比值不同”.于是可以总结出对于任意角都可以用弧长比上半径来表示，而且比值是任意一个实数，这种度量角的方式就是本课题要研究的弧度制.通过实践认识再实践再认识得到新的数学概念.充分利用流媒体一体机的书写功能，将学生所测数据直接填入表格，这些或可成为亮点，新媒体的使用让学生产生兴趣，同时也是方便教师，顺其自然地讲授，对学生也颇具有吸引力.

4结语

弧度的引进的主要原因是为了适应微积分创立之后科学计算上的需要，更具体地说，弧度的引入使得微积分中的关于三角函数的各种公式，如微分公式、积分公式和泰勒公式等等，与普通的角度制相比，都得到了大大简化.

这使得弧度制成为了高等数学的一个必然选择，但是对高中生来说，我们用高等数学的知识来引入弧度制的概念教学未免有些高了，而高中生更多的是要体验弧度制的意义，体会引入弧度制的必要性即可.本文主要针对弧度制概念的出现而设计的课题引入，需要学生掌握的知识也很自然的生成，教师只是穿针引线者，其他教学过程着墨不多.教无定法，只要在关注知识本质上思考能让学生自然生成概念的方法都不妨一试.