网络计划的数学模型与人工智能

张 阳，张芮宁，曾福庚

(1.中国科学院中科建设山东东润清洁能源有限公司 山东 东营 257000；2.山东潍坊医学院临床医学院 山东 潍坊 261000；3.贵州民族大学数据科学与信息工程学院 贵州 贵阳 550000)

运筹学网络计划技术的发展已有半个多世纪，广泛应用于许多领域，已成为定量分析不同项目管理过程中现代管理方法的重要工具。网络计划图分甘特图(或称横道图)和网络图，横道图虽然简单、直观和易懂，但是不能全面地反映出整个工程活动过程中各工序之间的联系和相互依赖与制约的关系。网络图虽然克服了横道图的缺点，但网络图没有时标，不直观，看不出各工序的开、竣工时间，而且绘制复杂。除这两种计划图外，目前国内外正在研究其他方法。在国外最常见的是项目矩阵结构图(本质还是横道图和网络图)。但在对传统方法(横道图和网络图)的研究上，很多改进都集中在算法方面，在项目实施的实践中没有发挥应有的作用。国内大部分项目管理研究都是在实证分析上，其中常用的项目管理技术有甘特图、挂图、工作日历等传统方法，但相关计划图的创新相对较少。如作者陈文龙阶梯式进度图将计划横道图旋转90度，有些作者或将施工单位纳入网络计划等等。在实践中，有许多研究为每年的项目管理科学交流提供了大量的信息或经验，但计划图方法开发问题尚未解决。

随着社交网络、物联网、云计算[1-6]、大数据、工业互联网等前沿技术的出现，传统大规模网络的拓扑结构复杂，难以观察[7-11]，我们不能从直观的经典方法中得出很好的结论，因此，我们提出用数学公式[12-20]中的分段图，按网络计划拓扑结构编号和网络数据结构图作为检验和分析网络计划的一种新方法，既能反映工序之间的衔接与制约，又能反映工序之间的时间关系，既能快速了解短期网络计划，又能覆盖整个施工期的目标网络，能优化网络计划，改进网络布局和分段管理，为人工智能[21]机器学习提供模型思路和算法保障。它是数据采集决策的核心和最重要的环节，优化模型方法在实际问题中也能发挥重要作用。用简化的逻辑数学公式研究分析了网络计划的数学模型。

1 网络计划数学模型的构建与求解

1.1 网络计划分段图的数学模型建立

在网络计划中，横道图是最常用的施工计划图。图1表示某项目网络计划的横道图。

图1中的网络计划被分段为一个数学模型图，如图2所示。

从图2中我们得到了网络分段数学模型矩阵的数学表达式

(1)

由式(1)得到网络计划第一时段数学模型的数学公式

(2)

图1 某项目网络计划横道图

图2 网络计划分段数学模型

由式(2)推导出第2时段网络计划数学模型数学公式

(3)

由此可推出 第n时段网络计划数学模型数学公式

(4)

式中:(i, …,i)为第n时段所有集数。

由式(4)推导全架构分段网络计划数学模型数学公式为

(5)

1.2 将网络计划分段数学模型转化为网络计划数学模型

将式(5)网络计划全架构分段数学模型相加得到网络计划的数学模型

即

(t1)(i,i|i,i)(t2)…(i,…,i|i,…,i)(tn)(D)

(6)

式中:D=d1+d2+…dn

小结：网络计划的数学模型不仅包括网络横道图和网格图，还细分了网络计划图，并用数学公式表示，简单明了，图3为去除分段后的网络计划数学模型，将式(6)展开得到图3。

图3 网络计划数学模型

1.3 用网络计划分段数学模型计算网络计划图数据

由于网络分段的数学模型包含了网络计划的横道图和网络图，因此可以计算出横道图或网络图的所有数据，如图4所示。

图4 网络计划数学模型的计算

横道图和网格图数据如下

(1)计算完成时间=开始时间+持续时间

由上式得到第一时段工序完成时间公式为

(7)

由式(7)推理得到第n时段工序完成时间公式为

d1+d2+…dn-1+tk1+tk2

(8)

(2)计算总工期：终点节点的最早完成时间最大值就是该网络计划的计算工期。

由上式得到工程完成工期公式为：

(9)

小结：网络计划横道图和网络图可以用网络计划分段数学模型的数据进行转换，由于篇幅太长，这里不一一说明。

1.4 网络计划数学模型的分解与合并

(1)网络计划的数学模型由于施工时间的提前或延误而不得不增加或减少作业时间，图5是网络计划中作业时间减少的拓扑图(即提前作业时间)。

图5 网络计划工序时间减少拓扑

由图5得到网络计划第一时段数学模型工序时间减少数学公式：

(10)

同理，网络计划第一时段数学模型工序时间增加数学公式推导如下

(11)

由式(10)、(11)推导第一时段数学模型分解和合并公式

(12)

式中：tk为第一时段减少或增加网络计划工序时长。

同理推导第n时段减少或增加网络计划工序时长公式

(13)

(2)分段网络计划数学模型时段的增减数学公式

由图4我们可推导第三时段的增减公式

(14)

式中：y(d3)为网络计划变化后新网络计划的第三时段；x(d3)为原网络计划第三时段；x(dk)为增减时段时长。

上式(14)推理得第n时段的增减公式

(15)

(3)网络计划数学模型点和线的分解合并

由于网络计划需减少网络点或线，分支网络会发生变化。图6是网络计划分支网络发生减少的拓扑图。

图6 分支网络减少拓扑逻辑图

由图6推导分支网络减少一个点或线数学模型如下

(16)

动态显色法检测4种清热解毒类中药注射液中细菌内毒素含量 …………………………………………… 张军霞等（13）：1806

同理，分支网络增加一个点或线数学模型推导如下

(17)

1.5 网络计划的分解合并公式

由式(10)至(17)推导任意时段网络计划的数学模型分解和合并公式

(18)

式中：k为各时段可增减的网络计划数学模型集数，为任意自然正数。当网络点、线增加、减少或变大变小时，网络就会变大或收缩。

1.6 网络计划数学模型动态数学公式

由于实际工程过程中干扰因素太多，特别是几个子系统之间的相互作用也非常大，在网络计划运行期间，网络计划中的点或线发生变化。因此有必要表示数学网络模型的动态比率V，它是网络计划的实时运转情况，图6可以指定单个时段的动态比率公式。

(19)

由此推理，任意时段计划网络的动态关系公式如下

(20)

动态比率越高，网络计划的运行效率越高，反之亦然，动态比率公式在网络计划中的应用成为网络计划的实时动态图。

1.7 网络计划数据数学逻辑地址

用网络计划的数学模型来表达数学逻辑地址，比较清晰简洁。

如图2所示，点x(2,1)数学逻辑地址表示式为

(21)

(22)

将线(运行时间)(1,1|2,1)(25)数学逻辑地址表示式如下

(23)

由此得到线路计划(运行时间)的数学地址公式

(24)

网络计划的数学逻辑地址可以快速找到网络计划中便于查找和处理问题的特定点或线，具有表示简单、扩展无限的特点。

1.8 网络计划数学模型的乘法公式

从网络计划数学模型的加减法导出网络计划数学模型的乘法公式

(25)

网络计划数学模型的加、减、乘就是相应原数学模型的加、减、乘。

1.9 网络计划数学模型的特征向量和特征值

如果有一个矩阵A，向量v经过线性变换后应该保持同一方向，只扩展或压缩一定的倍数，即：Av=λv。所以这个向量v就是特征向量，λ就是特征值。特征向量和特征值的几何本质实际上是空间向量的缩放。

(26)

2 网络计划的人工智能

2.1 深度学习的网络计划数学模型

让计算机从数据中自动“学习”规律，并利用规律预测未知数据，这是计算机模拟或实现人类的学习行为，以获取新的知识或技能，重组现有的知识结构，从而不断提高自身能力。它是从数据中提取规则或模式，将数据转化为信息进行学习：对数据进行预处理，形成特征，然后根据特征建立一定的模型，然后对采集到的数据分配权重、偏差等参数，达到学习的目的。

整个神经网络的计算可以用矩阵形式给出。在神经网络的单层公式中，每层神经元的数目不同，输入输出维数不同，公式中矩阵和向量的行数和列数不同，但形式是一致的。假设我们考虑的这一层是第i层。它接受m个输入，因此该层的计算如下

(27)

通过替换数学网络计划模型(27)的特征向量和特征值公式(26)，得到深度学习网络计划的数学模型

(28)

人工智能网络计划只是一种允许计算机通过合并新数据进行学习的算法。它是根据逻辑规则模拟人类思维、信息分布、并行处理和推理的过程，这种思维是将存储在分布式存储器中的信息进行综合，产生的想法或解决问题的办法。

2.2 人工智能在网络计划上的应用

网络计划图的优化是人工智能研究的一个方向。如我们研究网络计划的关键路径，即在一条路径上，施工时间的工作时间之和相等，如果一条路径上每一项工作的时间差为零，那么这条路径就是关键路径。然而，创建网络图涉及到很多因素，而且准备过程往往很复杂，对人员的经验依赖性很大。编制结果的可靠性和执行力较差，尤其是对编制重大项目计划的年轻工程师来说，关键路径与实际情况、环境因素、设备因素、交通因素、人员因素等都有较大差距。我们通过人工智能将这些因素输入到计算机中，找到最佳的关键路径。

以图2为例。有3条路径

第一条路径:f1=x(1)→x(2)→x(3)→x(3,1)→x(3,2)→x(3,2,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

第二条路径:f1=x(1)→x(2)→x(3,1)→x(2,3)→x(2,3,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

第三条路径:f1=x(1)→x(2)→x(2,1)→x(2,2)→x(2,3)→x(2,3,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

由以往工程典型数据库或专家提供及数学方程算出的权重值为

=(0.36,0.32,0.32)

将这3条路径代入网络计划深度学习公式(28)得到下式(由于本权重值采用精确值，故偏置向量不必微调网络计划权重，即b=0)得

经过计算路径f1对总目标的权值为

0.95×0.36+0×0.32+0.5×0.32=0.5

依此类推得路径f2、f3对总目标的权值为0.31、0.78。由此我们看出f3>f1>f2，f3为关键路径，f1为次要路径，f2为辅助路径。

3 结语

网络计划在项目管理中起着重要的作用，优化进度是管理进度的关键。基于网络计划的数学模型技术，可以实现进度与技术要素之间的动态关系，直观地表达施工工期和施工过程，为建设方、监理和业主提供了一个直观了解工程情况的实用工具，网络计划图让很多工程从业者谈图色变，用抽象的数学公式来表达网络计划数学模型的拓扑结构，简化了复杂区域的布局和施工工期，逻辑上简单明确。该公式可扩展为原始的网络计划数据拓扑结构中，有助于分析计算不同的网络计划数据，具有直观性强、效率高、计算量小等优点，数据可以转换成动态数据图，使数据的实时操作一目了然，数据可以快速转换和优化，它符合数据拓扑控制和分段数据管理的要求，因此，建立了一个比较系统集成的数据模拟系统。本研究将提高我国网络计划和计算技术的理论水平，为我国网络计划和计算技术的发展创造理论储备和平台，该数学模型还可以在计算机上进行人工智能研究，并不断将新的数据输入并总结来进行深度学习。