基于亮度保持S型函数的双直方图均衡方法

王罡 白洁静 张正军

摘  要：传统直方图均衡在保持图像亮度，避免过增强方面表现不佳。为了克服上述缺点，提出了一种基于亮度保持S型函数变换的双直方图均衡方法。首先用输入图像的灰度均值对直方图进行分割，然后根据子直方图的信息自适应地调整S型函数的参数，将子直方图的灰度均值变为其不动点，同时调整S型函数曲线的倾斜程度，最后用调整参数后的S型函数代替子直方图的累积分布函数进行双直方图均衡。通过对USC-SIPI数据库中的灰度图像进行试验，该算法在亮度保持和图像保真方面均取得较好的效果。

关键词：图像增强;双直方图均衡;S型函数;亮度保持;峰值信噪比

中图分类号：TP391                 文献标识码：A文章编号：2096-4706（2021）16-0073-06

Bi-Histogram Equalization Method Based on Brightness Preserving Sigmoid Function

WANG Gang1， BAI Jiejing1， ZHANG Zhengjun2

（1. Department of Quality Education， Nanjing Vocational College of Information Technology， Nanjing  210023， China; 2. College of Science， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing  210094， China）

Abstract：Traditional histogram equalization performs poorly in maintaining image brightness and avoiding over enhancement. In order to overcome the above shortcomings， a bi-histogram equalization method based on the brightness preserving sigmoid function transformation is proposed. First， the gray mean of the input image is used to segment the histogram. Secondly， the parameters of the sigmoid function are adjusted adaptively according to the information of the sub-histogram， then the gray mean of the sub-histogram is changed to its fixed point， and the steepness of the sigmoid function curve is adjusted. Finally， the sigmoid function after adjusting the parameters is used to replace the cumulative distribution function of sub-histogram for bi-histogram equalization. By testing the grayscale images taken from the USC-SIPI database， the proposed method has achieved good effects in terms of brightness preserving and image fidelity.

Keywords： image enhancement; bi-histogram equalization; sigmoid function; brightness preserving; Peak Signal-to-Noise Ratio（PSNR）

0  引  言

图像增强是图像处理中的一个重要领域，其目的是提高图像质量，以改善图像的视觉效果或者增强图像的某些特定信息，来满足人眼视觉或者机器视觉的要求[1]。在众多图像增强算法中，直方图均衡由于其算法简单快速，并且可以相对有效地增强几乎所有类型图像[2]，目前已成为最受欢迎的图像增强技术之一。直方图均衡运用输入图像的累积分布函数作为变换函数，对原始灰度级进行调整，扩展图像的动态范围，提高图像的整体对比度。然而该方法主要缺点是当输入图像直方图存在尖峰，直方图均衡会导致图像过度增强[3]，而且运用累积分布函数作为变换函数可能会显著改变输入图像的亮度，不能满足电子产品的增强需求[4]。

研究者们提出了许多改进方法克服传统直方图均衡的缺陷。直方图均衡过程中，概率密度较大的灰度级容易导致过增强，因此一些研究者通过对直方图进行修正[5-7]，用新直方图代替原始直方图进行均衡控制增强结果。此类方法虽然可以避免过增强，但无法较好地保持原始图像的亮度。

对于亮度改变这一问题，提出了许多亮度保持算法。例如亮度保持的双直方图均衡方法（Brightness Preserving Bi-histogram Equalization， BBHE）[8]，运用输入图像的灰度均值将直方图分割为两个子直方图，然后分别进行均衡。该方法在一定程度上可以保持图像亮度，但输出图像可能会出现过增强和噪声伪影[9]。等面积的双直方图均衡（Dualistic Sub-image Histogram Equalization， DSIHE）[10]運用输入图像灰度的中值分割直方图，再对左右子直方图进行均衡。由于左右子直方图中像素个数大致相等，DSIHE在亮度保持方面优于BBHE，但DSIHE存在与BBHE相同的缺点。类似地还有许多其他基于BBHE改进算法[11-13]。但此类方法只有当输入图像直方图在其分割点周围具有拟对称分布时，才能较好地保持图像平均亮度[14]。

本文结合直方图修正和双直方图均衡思想，提出一种基于亮度保持S型函数的双直方图均衡方法（Bi-Histogram Equalization with brightness preserving sigmoid function， BEBPSF），该方法的主要思路是运用调整参数后的S型函数代替累积分布函数进行直方图均衡和灰度拉升。首先基于图像灰度均值将原始图像分割成两个子图像，通过调整提出的S型函数参数，将子图像的均值设为S型函数的不动点，为亮度保持奠定理论基础，同时控制曲线的倾斜程度抑制过增强。本文组织结构安排如下。第二部分简要介绍双直方图均衡的一般过程。第三部分详细阐述本文所提出的基于亮度保持S型函数的双直方图均衡方法。第四部分通过实验将本文的方法和现有的一些直方图均衡改进算法进行客观比较。最后对本文提出的方法进行总结。

1  双直方图均衡

对于给定的输入图像X，其灰度级个数记为I，以灰度值XT为阈值，将输入图像X分割成两个子图像XL和XU，其中

XL={X（I，j）|X（I，j）≤XT，X（I，j）∈X}        （1）

XU={X（I，j）|X（I，j）>XT，X（I，j）∈X}      （2）

子图像XL和XU的灰度级分别为{X0，X1，…，XT}和{XT+1，XT+2，…，XI-1}。用Hk表示灰度级Xk所对应的像素的个数，则XL和XU的直方图分别为：

HL={H0，H1，…，HT}

HU={HT+1，HT+2，…，HI-1}                  （3）

依据（3）式，子图像XL和XU的概率密度函数可以分别用（4）式和（5）式来表示

pL（Xk）=H（k）/NL，k=0，1，…，T            （4）

pU（Xk）=H（k）/NU，k=T+1，T+2，…，L-1         （5）

其中，，分别为XL和XU的像素总数。由（4）和（5）式可以分别得到子图像XL和XU的累积分布函数：

（6）

（7）

显然cL（XT）=cU（XL-1）=1.基于累积分布函数，图像X的双直方图均衡变换函数为：

fL（Xk）=X0+（XT-X0）cL（Xk）                （8）

fU（Xk）=XT+1+（XI-1-XT+1）cU（Xk）          （9）

分别运用（8）式和（9）式对XL和XU进行直方图均衡，最终的输出图像为

Y             （10）

双直方图均衡在增强图像之前对原始图像的动态范围进行分割，因此相比于传统直方图均衡，双直方图均衡在一定程度上可以保持输入图像的亮度，控制增强强度。但由于直方图均衡的输出灰度是和累积分布函数的值成正比的，当输入图像直方图存在尖峰，会使得累积分布函数递增剧烈，此时双直方图均衡仍然存在全局直方图均衡的缺陷。为了抑制尖峰控制增强强度，本文提出一种非线性光滑且具有亮度保持能力的S型函数，代替式（8）和式（9）中的累积分布函数cL（Xk）和cU（Xk）进行双直方图均衡。

2  亮度保持S型函数的双直方图均衡

运用双直方图均衡方法对图像进行增强时，首先要考虑对图像X进行分割。分割阈值XT通常取X的灰度均值，分布函数的中位数，OTSU阈值，或动态搜索阈值XT使得输出图像的某个指标达到最优。本文选取输入图像X的灰度均值（记为XE）作为阈值对X进行分割，得到子图像XL和XU。

（11）

2.1  亮度保持S型函数

首先将子图像XL和XL所在的灰度区间分别归一化，它们的灰度均值mL和mU被调整为区间（0，1）内的实数 m*L和 m*U。本文所提出的S型函数如（12）式所示：

（12）

x∈[0，1]，a，b为待定的非负参数，m的值取或。

为使变换函数s*（x）具有亮度保持能力，我们让子图像XL和XU的灰度均值m*L和m*U成为s*（x）的不动点，令s*（m）=m，可解得参数a：

（13）

固定参数b，让m分别取1/2，1/3，2/3，对应算出参数a的值，得到s*（x）图像如图1所示。

为了确定s*（x）中参数b的值，首先分析函数s*（x）的性质：

性质1：函数s*（x）的最大导数为。

证明：

由于，因此，最大导数在与相等时取得。令=，解得，因此函数s*（x）在处取得最大导数，此时s*（x0）=。

性质2：函数s*（x）的曲线在处呈中心对称。

证明：记，只需证s*（x）滿足

即可。

==

==

+=1，得证。

综合性质1和性质2可知，参数b控制了曲线s*（x）在对称中心处的最大倾斜程度。由于m是已知的，参数a的值可以由（13）式算出，因此可以通过控制s*（x）对称中心的位置，求出参数b的值。令=x0，解得：

（14）

例如当m=0.65时，解得a=7/13，再分别令对称中心

x0=等于0.5，0.55和0.6解出参数b，得到S型函数s*（x）的图像如图2所示：

下面进一步讨论参数b的取值：

让x0在1/2与m之间取值，这时：

令，对m取极限：

我们通过实验并结合上述两个极限发现，当对称点x0取值接近均值m时，参数b的值逐渐过大，导致函数s*（x）的曲线过于陡峭，这时运用s*（x）處理图像会导致过增强;当对称点x0取值接近灰度中心1/2时，函数s*（x）的曲线过于平坦，运用s*（x）处理图像时增强效果不明显。对称点x0最佳取值位于1/2和m之间，记，我们通过大量次试验发现，当c=0.66时对应的x0计算出的参数b取得最佳的图像增强效果。

综上，亮度保持S型函数中参数a，b取值为：

（15）

2.2  灰度映射

根据子图像XL和XU的特征信息，运用（15）式对s*（x）的参数进行计算，分别得到特定的S型函数s*L（x）和s*U（x），用它们分别代替（8）式和（9）式中的累计分布函数cL（Xk）和cU（Xk）进行双直方图均衡，其灰度映射函数如（16）式和（17）式所示：

（16）

（17）

为了扩大直方图均衡后图像的动态范围，提升输出图像的视觉效果，运用（18）式和（19）式进行灰度范围拉升：

（18）

（19）

αL和αU为拉升系数：

，

L0和Lf分别是输出图像动态范围的上下限，本文中我们取L0=0，Lf=I-1。

将（18）式和（19）式作用于输入图像，得到最终的增强图像。

3  实验结果

为了较全面检验本文所提出的基于亮度保持S型函数的双直方图均衡方法的性能，使用USC-SIPI数据库中的15幅灰度图像进行试验，同时与BBHE，DSIHE，BHEPL[5]，ASFBHE[15]算法进行对比，采用绝对平均亮度误差（the Absolute Mean Brightness Error，AMBE）[11]和峰值信噪比（PSNR）[16]两种客观指标来衡量算法的增强效果。这两种指标从亮度保持和图像保真性两个不同角度对算法进行评价，具有相互补充的作用。AMBE计算两幅图像的平均亮度绝对误差，计算公式如（20）式所示。当AMBE值较小时，表示具有较好的亮度保持性能。

AMBE=|E（X）-E（Y）|                         （20）

PSNR是一个用来评估图像的保真性的全参考指标，其计算公式如（21）式所示：

（21）

其中，

当PSNR值越大时，代表失真越少。

运用本文所提出的方法和上述参考算法对USC-SIPI数据库中灰度图像进行增强，部分增强结果如图3和图4所示。

从图3和图4处理结果和原图对比可以看出，本文方法在处理图像时增强适当，视觉效果自然。BBHE，DSIHE，和BHEPL在增强图像时容易导致过度增强，如图3中的局部区域因过度增强而发黑，图4中的草地因过度增强而发白。另外本文方法在细节保持上优于其他算法，观察图（4）坦克右边的空地，本文的方法可以清晰地显示地面裂痕，BHEPL和ASFHE虽然在影子处细节较好，但在影子右边的空地处细节几乎没有。

我们对USC-SIPI数据库中的灰度图像进行处理，计算得到AMBE和PSNR指标数据如表1和表2所示，最优结果用加粗标注的数据表示。

从表1可见，本文方法在亮度保持上均优于其他四种算法，这得益于用（13）式计算参数a时，将子图像的亮度均值调整为函数的不动点，使得（12）式的亮度保持能力较好。表2峰值信噪比数据显示，本文方法在80%的图像取得了最优，说明本文方法在保持图像细节，抑制过度增强上优于其他算法。

4  结  论

本文提出了一种基于亮度保持S型函数变换的双直方图均衡方法用于灰度图像增强。该方法通过子直方图信息自适应地调整参数，将子图像的灰度均值变为其不动点，从理论上保障了该算法的亮度保持能力，同时也可以抑制过度增强。实验表明本文方法在亮度保持和峰值信噪比指标上均取得了很好的结果。

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作者簡介：王罡（1983—），男，汉族，江苏南京人，讲师，硕士，主要研究领域：数字图像处理、模式识别;白洁净（1981—），女，汉族，江苏南京人，副教授，博士，主要研究领域：数值算法、微分方程数值解;张正军（1965—），男，汉族，江苏南京人，副教授，硕士研究生导师，博士，主要研究领域：图形图像技术，数据挖掘。