以初等多值函数为例对复变函数进行的教学探讨

侯利元，刘念平

（乐山师范学院，数理学院，四川 乐山 614000 ）

关健词：复变函数；多值函数；单值解析分支

0 引言

复变函数的理论和方法在力学、集成系统等诸多领域都发挥着重要的应用[1-3]，与数学中其他分支的联系也日益密切。因此，复变函数是数学与应用数学专业的一门非常重要的、不可缺少的基础课程,该课程在培养学生数学思维能力，提高学生数学素养方面等起着重要作用。综合以上原因，许多高校教师对这门课程的教学改革十分关注[4-6]。文献[4]主要研究了复数域内多值函数的积分问题，根据不同的理论对教材中的例题给出不同的解法；文献[5]针对地方师范类院校根据复变函数课程体系和培养目标分析了复变函数的具体教学内容；文献[6]针对工科中的复变函数与积分变换这一课程探讨了教学模式的改革。

数学分析是复变函数的先修课程，且两门课程中的很多理论都是相似的，对于相似章节可以采用类比法进行讲解，学生更易理解。但是复变函数中初等多值函数这一章节和数学分析有很大的不同，且学习多值函数性质之前需要将多值函数转化为单值函数，它既是教学重点，也因学生处理单值函数的惯性思维使其称为学生学习的难点，因此本文节选多值函数对复变函数的教学进行研讨具有代表性和必要性。也有较多文献对这一章节进行了分析，如文献[7-9]，但这些文献对课程内容分析不足，且由于网络教育平台最近几年的推行、新冠疫情的影响，之前文献的分析对混合式教学甚至线上教学的重视不足。

综上所述，本文将对复变函数初等多值函数这一章节中的内容进行教学研讨，参考教材为钟玉泉老师编撰的《复变函数论》[10]，其教学内容主要包括根式函数、对数函数、一般幂指函数、具有有限个支点的情形等，重点对教学内容进行了重新编排，使得知识由浅入深，更加符合学生的认知过程，并梳理了有限个支点的函数求函数值的方法，对教材中的相应例题做了更加透彻的分析。

1 复变函数教学中存在的问题

1.1 学生学习动力不足

复变函数是数学分析的延伸课程，课程难度大且抽象。因此若学生在学习数学分析等专业基础课程时未打好基础，学习复变函数时就会形成严重障碍，学生便愈发觉得课程内容抽象，不好理解。且数学专业性质决定了数学专业课的很多基础理论章节无法联系实际，学生学习动力不能有效激发。

从另外一个角度来说，数学分析和复变函数这两门课程不管是知识框架还是具体知识点都具有很强的相似性，学生在学到相似的知识时，往往对“已有”知识提不起兴趣，从而错过了“新”知识的讲解。

另外复变函数课程普遍采用讲授式教学，教学方法单一，缺乏必要的互动，再次为复变函数学习的枯燥加码。提高学生学习复变函数乃至数学专业的志趣是学生学好数学的前提，因此如何提升学生学习动力是我们应当思考的重要问题之一。

1.2 考核方式陈旧

目前在很多高校中复变函数这门课程平时成绩占30%，个别院校对占比略有调整。其中平时成绩由学生出勤情况、作业完成情况等方面考核，但从这些方面并不能完整体现学生真实情况，导致个别学生的平时成绩和最后期末考试成绩相差较大，其原因可以归于，来上课的学生上课效果不一而足，作业完成情况也不能完全反映学生掌握情况，且作业完成情况不能及时在课堂上反应出来，老师不能给予及时的强调或者讲解。如何及时反映学生真实的掌握情况，改革考核方式是我们在教学改革中必须考虑的。

1.3 教师对课程内容缺乏深层次的思考

虽然钟玉泉老师编撰的《复变函数论》的内容相比其他教材要简单些，如Lars V.Ahlfors[11]编撰的Complex analysis、Elias M.Stein[12]等编写的Complex Analysis，但要将这门课程讲好还需要教师认真专研教材及相关资料。其中很多教学内容看起来非常简单，如单值解析分支这一章节，但要给学生讲的透彻生动还是很困难的，且钟玉泉老师编撰的《复变函数论》教材中有些不足之处是需要教师进行深入探讨进行修正或者补充。

除此之外，高校特别是地方师范类院校中教这门课程的教师大部分都不是研究复分析的教师，对复分析的前沿知识所知甚少。

2 以初等多值函数为例进行教学探索

综上，复变函数课程的教学改革愈加迫切，且其改革的内容不应只局限于改变教学方式，或将教学课件、其他教学设备简单的加入课程教学中，还应注重激发学生的学习动力和专业志趣，从而引导学生求真学问、练真本领。由此我们以钟玉泉老师编著的《复变函数论》中的初等多值函数这一章节为例提出以下关于复变函数教学改革的设想和教学建议。该章节因其与数学分析中巨大的不同，及其在复变函数中的重要地位，故其教学探讨颇具代表性和必要性。

2.1 类比思想，探讨多值函数的处理方式，降低学习难度

不论是布鲁纳的结构主义教学论，还是奥苏贝尔的有意义学习理论，亦或是建构主义学习理论，他们有一个共同的观点就是新的教学必须建立在学生已有经验的基础上，这足以说明“新知以旧知为基础”的重要性。复变函数中的知识点和思想都可以由数学分析的内容类比而来，虽然多值函数这一章节内容和高中数学的内容有很大的差异，但我们依然可以找到和复变函数类似的数学思想，如高中数学中反三角函数的内容和思想就和初等多值函数的思想类似。由高中学习过的反三角函数的定义引入探讨对多值函数的多值性的处理，可以降低学生对该章节的认知难度，从而做到学有渊源，有效激发学生学习的主观能动性，详细分析如下。

在数学分析乃至中学数学中，反三角函数在不限定值域时，该函数即为多值函数。以正弦函数为例，y=sinx则y是x的正弦函数，x是y的反三角函数，显然当sinx=1 时，则，即反三角函数为多值函数。研究反三角函数的连续性，导数等出现障碍时，我们的处理方法是限定值域的范围，从而给出反三角函数的定义，如反正弦函数的值域限定在范围内，记为y=arcsinx，其余反三角函数做类似处理，不赘述。同理在复变函数中出现的多值函数可以使用类似的方法处理，即限定因变量的范围。

用类比讲解是复变函数这一特殊课程常用的教学方法，能够使得知识更具系统性。由于地方师范类院校学生基础较差，这样讲解符合师范类院校学生的认知水平，有利于降低复变函数的学习障碍，降低学生学习难度，更符合学生的认知发展规律。且由学生自己发现解决发现新问题的解决方法，可以增加学生学习该课程的信心，提高学生分析问题的能力，增加学生学习的动力和兴趣。

2.2 数形结合，由浅入深，分析多值函数变单值函数的本质，增加学生学习兴趣

按照教材中的编排需要先讲解单叶性区域的定义，然后是幂函数单叶性区域，从而得根式函数的单值解析分支，但是由根式函数引入，教学效果欠佳，因为学生对根式函数尚不熟悉，且根式函数不够直观形象，不仅如此在讲解根式函数多值性的同时还要对支点、支割线等新概念进行讲解，如此多的概念再次加大了学生的学习难度。除此之外教材中与其相关的图象，如图1，学生理解起来也较为困难。故而需要教师对教学内容做重新编排。

图1 根式函数的单值解析分支（n=3）

根据对初等多值函数这一章节的分析，根式函数和对数函数公式如下:

显然这两类多值函数的多值性可以归结于辐角函数f(z)=Argz的多值性。辐角函数的多值性是学生在高中学习任意角的三角函数时就涉及到的，只是未给出相应的概念，且辐角函数相对根式函数、对数函数这两类函数而言形式上要简单得多，故而由辐角函数的多值性进行引入讲解可以降低学生学习难度，且由其图象解释支点，支割线的定义更加清晰明了，如图2 所示。

图2 辐角函数的多值性

该章节的教学设计建议采用任务驱动教学，由学生自己思考辐角函数的多值转单值的问题，有了之前反三角函数的铺垫学生解决起来比较简单，有利于学生增加学习的信心和兴趣。在讲解完辐角函数的内容之后教师再对根式函数、对数函数，一般幂指函数进行类似讲解即可。

2.3 实践计算，对教学内容进行深度思考

虽然每所院校所制定的关于数学专业的培养方案、某课程的教学大纲等会有所不同，但是数学的逻辑思维和计算能力是数学专业课的核心素养，是每一门数学专业课着重培养的能力，计算能力的提高对学生运用知识的能力有很大帮助。因此复变函数中的计算需要引起教师的重视。但是学生在学习复变函数内容时，往往出现“课堂懂，课下懵”的现象，这不仅是学生的问题，也因教师在讲解例题时未注重学生分析问题的能力的培养。接下来我们以初等多值函数为例进行刨析。

计算多值函数在单值解析分支上的函数值既是教学重点也是教学难点，但是教材中并没有对其进行详细的分析，如步骤总结或者方法比较，学生做题过程有一定的障碍。接下来以教材中的例2.15 为例进行说明。

例2.15[10]设确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z平面上，并且w(i)=-i，试求w(-i)之值。（求解过程详见书上不详述）

在讲解该题目时，应进行如下分析：根式函数为初等多值函数，一个复数对应三个立方根，所以在不割破z平面的情况下，w(i) 应有三个值。按照题设中来割破z平面，则多值函数变成了三个单值解析分支，w(i)=-i是在其中一个分支上的函数值，只需确定所在分支，即可求出w(-i) 。

在讲解完解题过程后，可以对步骤进行分析，总结出：步骤一，确定单值分支，求k值；步骤二，在单值分支上求新的函数值，即将步骤一中的k值和自变量代入函数即求得。除此之外教师应分析做题过程中的易错点，如步骤二中，中的，而不是并说明原因。进一步的，说明题设是什么时，，进而说明割线不同，求出的单值连续分支的函数值不同。之后遇到该类题目的变形学生也会比较轻松的进行解答。

在讲解“具有多个有限支点的情形”的相关内容时，类似题目还有例2.22，该题目利用2.25式（下面的分析中我们用（1）式来代替）：

求出了多值函数在单值连续分支上的函数值。

应对（1）式进行详细解释，如公式中两个辐角的区别，一个辐角是因变量的辐角变化量，另一个则是已知条件中函数值的辐角，再如如何由自变量的辐角变化量计算因变量的辐角变化量，计算公式的推导等。

在讲解式（1）之后，教师可以先不对例2.22进行讲解，而是给出例2.15 的另外一种解法，

在讲解完两种方法之后需要对两种解题方法进行总结比较，易得第一种解法更易理解，但是解题过程较为复杂；利用教材中2.25 式的解法过程非常简单，但是公式本身需要学生精心推导或者记忆。两者比较从而帮助学生找到更适合自己的方法。除此之外教师可以利用多媒体技术中的各种图形、动画，对该章节进行讲解对学生进行启发，提高学生能动性。

必须要指出的是教材中的例2.22 在讲解过程中遇到了很大的困难，因为该题目的解题过程是错误的，或者说是不严格的。下面的内容是对教材中的求解过程进行思考分析。

例2.22[10]试证在将z平面适当割开后能分出三个单值解析分支。并求出在点z=2取负值的那个分支在z=i的值。

（解题过程不再详述，只将有异议的地方列出）

解：（1）……将z平面沿正实轴从0到1割开，再沿负虚轴割开……

……当z从z=2沿G 内一条简单曲线C 变动到z=i时，

再由题设，我们可以认为 argf(2)=π,故

以上便是教材中对例题的求解，该题目设置有不严谨之处，分析题目可知：（a）由该例题中的题设我们简单计算可得支点0,1,∞，故割破z平面的割线为连接这三点（将无穷远点作为特殊点）的任意曲线，有无限多条；（b）在单值解析分支上的函数值由割破z平面的情况而决定，割线不同则割破z平面的情况也不同，故题目中所求函数值不定。故该题目为开放性的题目，第二问的计算结果会随着第一问中割破复平面的情况不同而不同，题目讲解应不限于教材中。

除此之外，教材中第二问在计算ΔCarg(1-z)时，用的是向量来求辐角变化量，若向量平移使用在这里是恰当的，则割破复平面虽然不同，根据向量性质经过向量平移变换得到的辐角变化量始终不变，即单值解析分支上的函数值和割破复平面的情况无关，这与之前的分析矛盾。

从另外一个角度也可以证明题目的不严谨。我们将z=2和z=i分别代入(1-z) 中，易得(1-z)从 -1变到1 -i，按照教材中的割破复平面的情况，显然顺时针旋转

和教材中结果明显不同。除此之外利用此前的确定分支再求函数值的方法，所得结果也是

详细的分析结果阜阳师范学院的储亚伟在文献[13]也做了类似分析，不过分析角度不同，文献[13]着重于例2.22 的求解方法，本文更着重于该章节的教学分析。以上分析是在对教材的深度思考和进行相关文献的查阅之后得出的。这不仅有助于教师在专业知识方面的进益，避免教学中知识性的错误；更有助于学生夯实基础，培养学生的反思能力，对于地方师范类院校的师范生来说，有助于他们在之后的职业生涯中发现教育教学中的问题，从而增强教育教学研究意识。

2.4 教学过程中合理利用教学平台，考核方式合理化

由于学时限制，复变函数课程中的很多内容，如初等多值函数这一章节中反三角函数和反双曲函数在讲解过程中就会粗略带过，对相关内容感兴趣的学生无法继续深入学习。另外，数学有很强的连续性，一个知识点出现障碍，后面的知识点往往都会比较难以理解。基于以上原因，我们就需要教学平台帮助，以期对学生的学习起到查漏补缺的作用。

由于各个教育部门对线上教学的重视，MOOC，学银在线（即学习通）、雨课堂等网络平台愈加完善，上述问题都可以较好的得以解决。笔者所在院校中引入推行了网络教学综合平台，复变函数这一课程主要应用了其中的学银在线。在该系统中，学生可以根据自身课堂学习情况对系统中的视频或者其他学习资料有目的的进行学习，做到查漏补缺。除此之外系统中的“抽人”“抢答”等活动能帮助教师及时的了解学生的学习情况。同时网络教育平台在课堂中的应用，还可以使学生充分的参与到课堂中来，打破数学教学的沉闷，提高学生的兴趣和参与度。平台中的教学资料对教师有诸多借鉴意义，对教师自身的教学材料，优化教学设计等有很大的促进作用。不仅如此，网络教学平台的引入使得对过程学习的大量考核成为可能。过程考核比重的增加使得学生更加重视学习的过程。

3 结语

钟玉泉老师[10]编写《复变函数论》是非常优秀且成熟的教材，是国内大部分高校包括地方师范类院校的首选教材。尽管如此其中依然有很多内容是需要教师花费大量时间去分析的，甚至可能还要对教材内容进行重新编排。另外进行教学设计时除了把控课程重难点之外，更要注重学生分析问题能力的培养，数学的逻辑思维的培养。

得益于笔者所在院校对一流课程建设的培育，通过对该课程的教学实践，上文所提出的一些措施已经在笔者实际教学中有所尝试。使用学习通教学超过两个学期，通过平台上统计数据显示出学生的课堂参与度、学生作业完成情况都比未引入学习通提升很多，期末成绩平均分提升10分左右。另外课堂上由于教学平台的引入教师和学生的互动增多，且课堂上的问题可以及时解决，激发了学生的学习兴趣，师生关系更加和谐。

当然本论文仅立足于特定教材，且仅针对地方师范类院校中基础较差或者天赋较差的学生，有诸多不足之处。作为一线教师，在之后的教学中应继续加强对复变函数课程教学改革的研究，把人才培养作为检验一切工作的根本标准。