平面向量求解策略的几点建议

党存莉

【摘要】平面向量作为一种重要的数学解题工具，其应用十分广泛，而且平面向量问题涉及的知识点多、交汇性强，因此，掌握一些必要的解题方法，往往能收到事半功倍的效果.

【关键词】平面向量;高中数学

数学学科是讲究方法的学科，任何方法都有它成立的条件.我们在研究题型的时候，首先要分析它的使用条件，根据条件选择不同的方法，对症下药，灵活处理，恰当的方法是高效解题成功的关键.

一、借助插点、换头

图1借助向量的拆分，插入第三个点，即在AC上插入第三个点B，达到首尾相接的目的，如AB+BC=AC，首尾相接还可用加法的三角形法则;共起点两个向量作差的法则，如图1所示，利用OB-OA=AB，把以A为起点的头换成以O为起点的头，达到换头的目的，再进行运算.

图2例1 如图2所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD=（  ）.

A.-BC+12BA   B.-BC-12BA

C.BC-12BAD.BC+12BA

解 根据向量的加法的三角形法则知CD=CB+BD，即CD=CB+12BA，即CD=-BC+12BA.故选A.

例2 已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且2AC+CB=0，则OC=（  ）.

A.2OA-OBB.-OA+2OB

C.23OA-13OBD.-13OA+23OB

解 因为2AC+CB=0，所以2（OC-OA）+（OB-OC）=0，所以OC=2OA-OB，故选A.

用不共线的两个向量表示一个任意向量，就是用平面向量基本定理进行分解.在利用向量来解决用基底表示的问题时，选定基底向量，掌握插点、换头，这样既减少了运算量，又提高了解题效率.

二、借助公式

借助向量的基本运算公式进行求解，套用公式，达到求解的目的.

例3 已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a-b在向量a上的投影向量为（  ）.

A.12a  B.a  C.-12a  D.-a

解 由已知可得a·b=1×1×12=12，（a-b）·a=a2-a·b=1-12=12，則向量a-b在向量a上的投影向量为（a-b）·aa·a=12a.故选A.

三、借助坐标系

“借助平面直角坐标系将图形用坐标表示是很好地解决向量问题的方法，将几何问题转化为代数问题”.用向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题.

例4 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，且α+β=1，求点C的轨迹方程.

解法一 设C（x，y），则OC=（x，y），OA=3，1，OB=-1，3.

由OC=αOA+βOB得（x，y）=（3α，α）+（-β，3β）=（3α-β，α+3β），

于是x=3α-β，y=α+3β，α+β=1，先消去β，由β=1-α，得x=4α-1，y=3-2α.

再消去α，得x+2y-5=0.

解法二 当OC=αOA+βOB，且α+β=1时，A，B，C三点共线.

因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得x+2y-5=0.

本题通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，用坐标相等的定义求出x和y，注意方程思想的运用.引入向量的坐标运算，体现了运算的重要性，向量的代数功能发挥了巨大的优势.

四、借助共线定理

在使用向量几何法的过程中，对向量共线定理加以理解，充分认识和掌握共线定理形式上的特点，从而提高解题水平.

例5 在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE=12EC，AE与BD交于点O，则AO=（  ）.

A.12AB+14AC   B.14AB+14AC

C.14AB+12ACD.12AB+12AC

图3解 根据题意，画出图形如图3所示.

因为A，O，E三点共线，B，O，D三点共线，所以可设BO=λBD，AO=μAE.

则AO=μAE=μAB+BE=μAB+13BC=μAB+13（AC-AB）=2μ3AB+μ3AC.同时，AO=AB+BO=AB+λBD=AB+λ（AD-AB）

=AB+λ12AC-AB=1-λAB+λ2AC.由上述两式可得2μ3=1-λ，μ3=λ2，解得λ=12，μ=34.

所以AO=1-λAB+λ2AC=12AB+14AC.故选A.

利用两个向量共线解题的实质，就是在求一个与向量a共线的向量时，得到与其平行的向量为 ma，然后根据题意，列出所求向量的式子，最后利用向量相等的定义，列出方程，求出m的值后代入ma，即得所求的向量.

五、借助数形结合

平面向量的线性运算具备“形”的特征，而平面向量的坐标表示和坐标运算具备“数”的特征，二者可以实现数与形的相互转化，体现了数形结合的思想.“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成.适当利用数形结合解题，可以将问题化难为易，化繁为简.

例6 设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，则c的最大值等于（  ）.

A.2    B.3    C.2    D.1

图4解 如图4所示，构造AB=a，AD=b，AC=c，

∠BAD=120°，∠BCD=60°，

所以A，B，C，D四点共圆.

由图可知当线段AC为圆的直径时，c最大，最大值为2.故选A.

本题构造出向量〈a-c，b-c〉=60°，计算出a和b的夹角，发现四点共圆的条件，找到c最大值的位置，将复杂问题简单化，抽象问题直观化.

六、借助三角形的性质应用

几何运算时向量运算的一个重要形式是有条件AB|AB|自然想到与AB共线的单位向量，有AB|AB|+AC|AC|联想到平行四边形法则，进而联想到菱形.又由λAB|AB|+AC|AC|联想到共线，即菱形的角平分线.

例7 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（  ）.

A.外心B.内心C.重心D.垂心

图5解 作∠BAC的平分线AD，如图5所示.

∵OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，

∴AP=λAB|AB|+AC|AC|，

∴向量AP的方向与∠BAC的平分线的方向一致，

∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.

本题充分应用了向量的減法法则，及其与a共线的单位向量的概念，把λAB|AB|+AC|AC|直接转化为菱形的对角线问题，从而问题得到解决.方法巧妙简便，运算量小，是解决本题的最佳解法.向量作为一种解题工具，在本题中得到了充分应用.

变式：在△ABC中，已知向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|·BC=0，且AB|AB|·AC|AC|=12，则△ABC为（  ）.

A.三边均不相等的三角形   B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

解 设∠BAC的平分线为AD，则AB|AB|+AC|AC|=λAD.由已知得AD⊥BC，∴△ABC为等腰三角形.又cos∠BAC=12，∴∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形.故选D.

学生应认真观察条件的结构特征，寻求知识之间的联系，积极展开思维联想，恰当选择突破口切入，合理整合相关知识，从多角度思考探索，使知识得到迁移的最大保障.只要教师在平时教学中多发现、多提炼，学生就能掌握解题规律和方法.

总之，学习的过程是一个积累方法的过程，任何数学题包含一定的数学条件和关系，思维角度不一样，得到的解题方法也不一样.在复习中，根据条件的不同，对题型进行归类研究.加强对向量的有关概念、公式定理的本质的理解.注重数学思想和能力的训练，特别是数形结合思想的运用，加强对平面向量核心问题的理解.这就要求教师及时引导学生进行发散思维，从而提高学生的思维能力和课堂教学效率.

【参考文献】

[1]陈碧文.“杨辉三角中的一些秘密”教学设计[J].中国数学教育，2015（04）：48-52.

[2]夏金艳.发现数学的美：以“杨辉三角中的一些秘密”教学为例[J].湖北教育（教育教学），2016（02）：33-36.

[3]陶西平.课程改革与问题解决教学[M].北京：首都师范大学出版社，2012.

[4]雷蕾.平面向量[J].中学数学教学参考，2019（Z1）：98-101.

[5]董洪亮.新课程教学组织策略与技术[M].北京：教育科学出版社，2004.

[6]盛鸣.关于《解决问题的策略》的教学思考[J].科海故事博览（科教创新），2009（07）：281-283.