Mobius变换的迭代与分式线性递推数列的通项公式

孙霞 杨慧章

【摘要】对于中学数学竞赛和高考中出现的分式线性递推数列，它其实是复解析动力系统中Mbius变换迭代的一种特殊情形.本文给出了Mbius变换n次迭代的具体表达式，也给出了分式线性递推数列的通项公式，从而使得求分式线性递推数列通项公式简单化.

【关键词】Mbius变换;迭代;分式线性递推数列

【基金项目】云南开放大学科学研究基金项目（19YNOU01）;云南省教育厅科学研究基金项目（2020J0492，2018JS479）;云南省地方高校联合专项面上项目（2018FH001-014）;红河学院第二届中青年学术骨干（2015GG0207）

分式线性递推数列是由 a1=a，an+1=can+bdan+e（ce-bd≠0）所确定的数列，它经常出现在中学数学竞赛和高考的压轴题中，我们看到有很多求通项公式的办法.在本文中，我们站在复解析动力系统的角度，阐述了分式线性递推数列只是Mbius变换迭代的一种特殊形式，且从动力系统的角度，给出了分式线性递推数列的通项公式，使得求分式线性递推数列通项公式简单化，揭开了该类通项公式求解的神秘面纱.

我们从如下几个方面来进行介绍.

1 Mbius变换的迭代

在复分析中，形如R（z）=az+bcz+d（ad-bc≠0）的映射称为分式线性变换或Mbius变换，这样的映射我们也称为一次有理函数.

复解析动力系统是复分析中的一个分支，它是研究函数迭代序列或轨道状态的.即倘若f是定义域S到其自身的解析映射，对任意初值z0∈S，考虑迭代过程z1=f（z0），z2=f（z1），…，zn=f（zn-1），…称迭代序列{z0，z1，…，zn，…}为点z0（在f作用下）的轨道，复解析动力系统的研究对象就是上述的函数迭代序列.

复数域C={（a，b），a∈R，b∈R}，而C∪{∞}称为整个Riemann球面.对z0∈C∪{∞}，我们定义z1=R（z0），z2=R（z1）=R（R（z0））=R2（z0），…，zn=R（zn-1）=R·R·…·R（z0）n=Rn（z0）.

定义 设R（z）为有理函数，点z称为R（z）的不动点，如果R（z）=z.

引理 若R（z）是度为d的有理函数，则R（z）在C∪{∞}中只有d+1个不动点.

对于Mbius变换R（z）=az+bcz+d（ad-bc≠0）而言，由于它是一次有理函数，所以由上述引理知它在整个Riemann球面就只有2个不动点，接下来，我们从不动点出发来看Mbius变换的n次迭代表达式.

情形1 若Mbius变换R（z）在C∪{∞}中有且仅有一个二重不动点ζ，如果该不动点为∞，即ζ=∞，则R（z）必定为一次多项式，且R（z）=z+β（β≠0），这时，Rn（z）=z+nβ（n=1，2，3，…）.如果ζ≠∞，则令g（z）=1z-ζ，使得g（ζ）=∞，此时，g-1（z）=1z+ζ，不妨设S（z）=g·R·g-1（z），

那么S（z）也是Mbius变换且它与R（z）共轭，它仅以∞为其不动点，即S（∞）=∞，从而可以定出β ～，使得S（z）=z+β ～.

所以Sn（z）=z+nβ ～（n=1，2，3，…）.

因为Sn（z）=g·Rn·g-1（z），

所以g·Rn·g-1（z）=z+nβ ～，

所以g·Rn（z）=g（z）+nβ ～，

Rn（z）=g-1（g（z）+nβ ～）=1g（z）+nβ ～+ζ

=11z-ζ+nβ ～+ζ.

上述情形中，我们首先处理了较为简单的情况，即不动点ζ=∞的情况，此时，Rn（z）=z+nβ（n=1，2，3，…）;若ζ≠∞，则做了分式线性变换g（z）=1z-ζ，并让S（z）与R（z）共轭，从而转化为以∞为不动点的情形.

情形2 若Mbius变换R（z）在C∪{∞}中有且仅有两个判别的不动点ζ1和ζ2.先考查一种特殊情况，若ζ1=0，ζ2=∞，这时，R（z）=kz（k≠0，k≠1），于是，Rn（z）=knz（n=1，2，3，…）.对于一般情形的ζ1和ζ2，做分式线性变换h（z）=z-ζ1z-ζ2，使得h（ζ1）=0，h（ζ2）=∞，继续令S（z）=h·R·h-1（z），则S（z）是Mbius变换，且0和∞均为其不动点，S（z）不恒等于z，所以存在A∈C，使得S（z）=Az（A≠0，A≠1），于是，Sn（z）=Anz，所以

Rn（z）=h-1·Sn·h（z）.

由于h-1（z）=ζ1-zζ21-z，所以

Rn（z）=h-1·Sn·h（z）=h-1·Snz-ζ1z-ζ2

=h-1Anz-ζ1z-ζ2

=ζ1-Anz-ζ1z-ζ2·ζ21-Anz-ζ1z-ζ2.

同樣地，在该情形中，我们也用了转化的思想，首先考虑简单的情形，即以ζ1=0，ζ2=∞为不动点的迭代，接下来，当ζ1≠0，ζ2≠∞时，则做分式线性变换h（z）=z-ζ1z-ζ2，使得h（ζ1）=0，h（ζ2）=∞，从而转化为我们已经熟知的情形.

2 Mbius变换的迭代与分式线性递推数列的通项公式

上述情形1中，若R（z）在C∪{∞}中有且仅有一个不动点ζ且ζ=∞，则R（z）=z+β（β≠0），Rn（z）=z+nβ（n∈N），此时，该迭代序列是我们的公差为β的等差数列.情形2中，若R（z）在C∪{∞}中有且仅有两个判别的不动点ζ1和ζ2，且ζ1=0，ζ2=∞，则R（z）=kz（k≠0，k≠1），此时，Rn（z）=knz（n=1，2，3，…），该迭代序列则是我们的公比为k的等比数列.

接下来，我们通过具体例子来看对于一般的分式线性递推数列，如何求出它的通项公式.上述讨论的Mbius变换是定义在整个Riemann球面的，而我们的数列则只是定义在正整数域上的，为了计算方便，在计算过程中不妨把复变量z换为实变量x.

例1 已知a1=5，an+1=an-4an-3（n≥1），求通项公式an.

解 取R（x）=x-4x-3，令R（x）=x，得不动点为x1=x2=2，所以

g（x）=1x-2，g-1（x）=1x+2，

S（x）=g·R·g-1（x）=g·R1x+2=g1-2x1-x=x-1，

Sn（x）=x-n.

因为Sn（x）=g·Rn·g-1（x）

所以Rn（x）=g-1·Sn·g（x）

=g-1·Sn1x-2=g-11x-2-n

=g-1-nx+（2n+1）x-2

=x-2-nx+（2n+1）+2

=（1-2n）x+4n-nx+（2n+1）.

因為x0=a1=5，所以数列的通项

an=xn-1=Rn-1（x0）=Rn-1（5）

=[1-2（n-1）]·5+4（n-1）-（n-1）·5+[2（n-1）+1]=-6n+11-3n+4=6n-113n-4.

事实上，我们也可以直接用情形1中的公式，因为该函数只有一个二重的不动点.由于ζ=2，β～=-1，所以

Rn-1（x）=11x-2-（n-1）+2=x-2（n-1）（x-2）1-（n-1）（x-2），

an=Rn-1（5）=-6n+11-3n+4.

例2 已知a1=3，an+1=2anan+1，求数列通项an.

解 取R（x）=2xx+1，令R（x）=x，得不动点为x1=0，x2=1，做变换g（x）=xx-1，则g-1（x）=xx-1，从而

S（x）=g·R·g-1（x）=g·Rxx-1=g2x2x-1=2x，

所以Sn（x）=2nx.

由于Sn（x）=g·Rn·g-1（x），

所以Rn（x）=g-1·Sn·g（x）=g-1·Snxx-1

=g-12nxx-1=2nx（2n-1）x+1.

因为x0=a1=3，所以

an=xn-1=Rn-1（x0）=Rn-1（3）=2n-1·3（2n-1-1）·3+1

=3·2n-13·2n-1-2.

我们也可以用情形2中的公式，此时ζ1=0，ζ2=1，A=2，所以

Rn-1（x）=-2n-1xx-11-2n-1xx-1，

an=Rn-1（3）=-2n-1·321-2n-1·32=-3·2n-12-3·2n-1=3·2n-13·2n-1-2.

对于次数为1的有理函数，其迭代后平凡，可以具体写出迭代的表达式，也就是文中所述的Mbius变换的迭代.而对于次数大于或等于2的有理函数的迭代，其状况就要复杂得多.从复解析动力系统的角度来看，分式线性递推数列其实来源于分式线性变换的迭代，它只是一次有理函数迭代中变量取正整数的情形，所以可以写出具体的表达式.

【参考文献】

[1]赵嘉璐.用不动点法求分式型递推数列的通项[J].数学学习与研究，2018（09）：107.

[2]林国夫.利用函数不动点求数列的通项公式[J].数学通报，2008（12）：44-45，47.

[3]史济怀，刘太顺.复变函数[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1998.

[4]吕以辇.复解析动力系统[M].北京：科学出版社，1997.

[5]任福尧.复解析动力系统[M].上海：复旦大学出版社，1997.

[6]Alan F.Beardon.Iteration of Rational Functions[M].Berlin：Springer Verlag，1991.