用P波初动资料确定地震震源机制教程（三）

陈运泰 刘瑞丰

1）中国北京 100049 中国科学院大学地球与行星科学学院

2）中国北京 100081 中国地震局地球物理研究所

3 震源区的应力状态

3.1 压力轴、张力轴和零轴

以上分析表明，破裂面的取向与引起破裂的应力状态有关.在岩石层内，岩石处于高围压状态.如果以p1，p2，p3轴分别表示震源区在破裂前的主（张）应力轴，那么破裂面（即断层面）与最小主（张）应力轴（最大主压应力轴，也就是p3轴）的夹角θ（图19）随内摩擦系数μi的增大而减小（Kirby，1980）.

图19 岩石破裂三轴应力实验示意图Fig.19 The diagram of triaxial stress experiment of rock fracture

地震时，沿断层面释放了一定大小(例如大小为p)的剪切应力，这相当于在与断层面成45°和135°角的方向上释放了数值上等于p的压应力(以P表示)和数值上也等于p的张应力（以T表示）（Stauder，1962；Stein and Wysession，2003）.这点可以从应力张量在不同坐标系中的坐标变换关系看出（图20）.设在基矢量为ek的直角坐标系xk（k=1，2，3）中，应力张量S的分量为σkl，即

图20 应力张量在不同坐标系中的分量(a) 坐标原点重合的两个不同的坐标系xk (k =1,2,3)与′(i =1,2,3)；(b) 在原坐标系xk中的 纯剪切应力σ13=σ31=p；(c)与纯剪切应力状态相当的张应力σ11′=p与压应力=-pFig.20 Components of stress tensor in different coordinate systems(a)Two different coordinate systems xk (k =1,2,3) and xi′(i=1,2,3) in which the coordinate origin coincides;(b)The shear stress in the original stress system σ13=σ31=p;(c)Tensile stress corresponding to pure shear stress state=p and compressive stress =p

而在基矢量为ei′的新的直角坐标系xi′（i=1，2，3）中，应力张量S可以表示为

式中，是应力张量S在新的坐标系中的分量，与σkl有以下坐标变换关系

式中，γik是轴与xk轴的方向余弦，有

这表明在原点相同的两个直角坐标系中，应力张量通过矩阵变换相联系，即

式（77）表明，在不同的坐标系中，表示同一应力状态的应力张量的分量是不同的.例如，设在坐标系xk中，介质处于以下所示的纯剪切状态，即除了

外，σkl的其余分量均等于零，并设新坐标系xi′是由原坐标系xk绕x2轴逆时针旋转θ后得到的[图20(a)]，那么

从而[参见式（77）]有

如果θ=45°，则

这就是说，在原坐标系xk中，由σ13=σ31=p表示的纯剪切应力状态[图20(b)]，相当于在由原坐标系绕x2轴逆时针旋转45°后得到的新坐标系中由表示的应力状态.也就是，在与x1轴成45°的方向上数值等于p的张应力和在与x1轴成135°的方向上数值也等于p的压应力.并且，新坐标系是主轴坐标系，′轴是最大主（张）应力轴，x2′轴是中间主应力轴，′轴是最小主（张）应力轴[图20(c)].

地震发生时，沿断层面释放了大小为p的剪切应力，即释放了σ13=σ31=p的剪切应力.根据以上分析，这就相当于：在与x1轴成45°的方向上释放了数值等于p的张应力，即T=p；在与x1轴成135°的方向上释放了数值也等于p的压应力，即P=-p.

由断层面解容易求得压应力轴（简称压力轴，pressure axis，P轴）、张应力轴（简称张力轴，tension axis，T轴）与零轴（null axis）.为了避免与表示方向的北极（N）混淆，零轴简称为B轴.P轴和T轴应当位于如图8所示的XY平面，并且分别与X轴和Y轴成45°角.B轴即XY平面的极轴，是断层面与辅助面的交线，也是中间主应力轴p2轴.P轴位于初动是膨胀（-）的象限，T轴位于初动是压缩（+）的象限.由以上分析可知，P轴和T轴反映了地震前后震源区应力状态的变化，而不是震源区构造应力本身，它们和构造应力的最小主（张）应力轴（最大主压应力轴）p3的方向以及最大主（张）应力轴（最小主压应力轴）p1的方向都分别成（45°-θ）的角度.换句话说，压力轴或张力轴指的是偏应力（deviatoric stresses），即实际的应力减去流体静应力（hydrostatic stress）之后的主应力轴.流体静应力亦称流体静压力，在当前讨论的问题中，也就是静岩压（Jeffreys，1942，1976）.

由破裂面的取向和θ角的大小，有可能推断破裂前震源区构造应力的主应力轴p1，p2，p3的方向.P轴与p3轴成（45°-θ）的角度，T轴与p1轴也成同样角度（图21）.尽管P轴与p3轴，T轴与p1轴都偏离了（45°-θ）的角度，但是如图22所示，因为有两个可能的、共轭的断层面，它们都与p3轴的方向成同样角度.一般情况下，在每一个共轭面上发生破裂的概率是相同的，所以如果对一个地区许多地震的P轴方向和T轴方向分别作统计平均，就有可能获得该地区构造应力p3轴和p1轴方向的图像（Yamakawa，1971；Yamakawa and Takahashi，1977）.

图21 地震发生时释放的应力的主轴与震源区构造应力的主轴之间的关系Fig.21 The relationship between the principal axis of the stress released during an earthquake and the principal axis of the tectonic stress in the focal area

图22 两个可能的、共轭的断层面Fig.22 Two possible and conjugate fault planes

以上分析只适用于新断层产生的情形.它表明，在岩石中产生了新的断层的情形下，由地震波初动符号的分布可以求得压力轴P和张力轴T，它们分别是地震发生时释放的应力张量的主压应力轴和主张应力轴，与构造应力主轴p3轴和p1轴有联系，但不能简单地将P轴等同于p3轴、将T轴等同于p1轴.下面将进一步说明，在已经存在断层的情形下，因为在断层附近，介质的强度可能比其他地方低，所以可能沿着已经存在的断层摩擦滑动.因此，无论是在完整的岩石中发生新的破裂，还是沿着已有断层发生摩擦滑动，虽然都可以由地震波初动求得释放的应力张量的主轴，即P轴和T轴，但是都不能简单地将P轴与p3轴、T轴与p1轴混为一谈.

3.2 岩石的破裂与摩擦

破裂的安德逊理论表明，当主应力p1＞p2＞p3时，在以主应力轴为坐标轴的坐标系（主轴坐标系）中，剪切破裂面是通过中间主应力轴并与最小主（张）应力轴（p3）轴成θ角的平面[图12(b)].若按照岩石力学习惯的规定，以压应力为正，以σ1＞σ2＞σ3依次表示最大、中间与最小主（压）应力轴，即

以σn和τ分别表示作用于法向为n的破裂平面上的正（压）应力与剪切应力，则与式（72）第一式相应的作用于法向为n的破裂平面上的剪切应力为

其作用方向是沿着-l方向，l如式（71）所示

与式（72）第三式相应的作用于该平面的正（压）应力为

正应力σn=|pnn|=-pnn和剪切应力τ=p=-pnl作为θ的函数如图23所示.现在，我们用莫尔圆（Mohr’s circle）来表示正应力和剪切应力（Jaeger，1959，1962；Jaeger and Cook，1979）.在图24中，以横坐标表示σn，以纵坐标表示τ.图中，A点的坐标为（(σ1+σ3)/2，0）.今以A点为圆心，以(σ1-σ3)/2为半径画一个圆.这个圆称为莫尔圆.若以2θ表示半径AF与σn轴上的夹角，以顺时针为正，那么莫尔圆上的F点的坐标为(σn，τ)，刚好表示了法线方向n与σ3轴方向的夹角为θ的平面上的正应力σn和剪切应力τ.

图23 作为角度θ的函数的正应力σn（上图）与剪切应力τ（下图）Fig.23 Normal stress,σn (upper panel) and shear stress,τ (lower panel) as functions of the angle θ

图24 用莫尔圆表示正应力σn与剪切应力τFig.24 The expression of normal stress σn and shear stress τ by using Mohr’s circle

按压应力为正的规定，库仑破坏准则现在应改写[参见式（45）或式（46）]为

在（σn，τ）平面上，库仑破坏准则是斜率为±μi，截距为±S的直线，称为破坏线（failure line）.破坏线有两条，在图25及以下有关破坏线的图中，只绘出τ≥0的破坏线.破坏线与σn轴的夹角φ称为内摩擦角（angle of internal friction），且φ以顺时针为正.显然

图25 库仑破坏准则Fig.25 Coulomb failure criterion

当莫尔圆与破坏线相切时便发生剪切破裂（图25，图26）.设图25中的F点是莫尔圆与破坏线相切的点，则由图可见，内摩擦角φ与θ有如下所示关系

图26 库仑破坏准则表示当莫尔圆与破坏线相交时材料便发生剪切破裂.图中表示当最小主压应力σ3不变、最大主压应力由σ1增至σ1′的情形Fig.26 The Coulomb failure criterion represents that a material fractures when Mohr’s circle intersects with the failure line.The figure shows that when the minimum principal compressive stress σ3 is constant,the maximum principal compressive stress increases from σ1 to σ1′

所以

由此可以求得：当发生剪切破裂时，θ满足下列关系

这正是前面已经得到的结果[式（60）].

库仑—霍普金斯破坏准则是库仑破坏准则的特殊情形，即无内摩擦的情形.如图27(a)所示，当μi=0时，破坏线与σn轴平行，破裂面的法向与σ3轴的夹角θ=45°.作为举例，图27(b)表示，当μi=1时，破裂面的法向更加靠近最小主压应力轴（最大主张应力轴，即σ3轴），θ=22.5°；或者说，破裂面（断层面）更加靠近最大主压应力轴（最小主张应力轴），即σ1轴，θ=22.5°.

图27 破裂的库仑—霍普金斯理论作为库仑理论的特殊情形 (a) μi =0，θ =45°；(b) 当内摩擦系数μi =1时，破裂面的法向更加靠近最小主压应力轴（σ3轴），破裂面更加靠近最大主压应力轴（σ1轴），夹角均为22.5°Fig.27 Coulomb-Hopkins fracture theory as a special case of Coulomb theory (a) μi =0，θ =45°；(b) When the coefficient of internal friction is μi=1,the normal direction of the fracture surface is closer to the minimum principal pressure stress axis (σ3 axis),the fracture surface is closer to the maximum principal pressure stress axis (σ1 axis),and the angle is 22.5°

当岩石沿着原先已存在的破裂面（断层面）滑动时，与库仑准则类似，岩石要滑动，需要克服摩擦力.摩擦力与接触面（断层面）的面积大小无关.这个定律称为阿蒙顿斯（Amontons,Guillaume，1663—1705）第一定律（Amontons，1699）.在滑动开始前，作用于断层面上的摩擦应力与正（压）应力σn=|pnn|=-pnn成正比，比例系数称为静摩擦系数（static friction coefficient）.只有当作用于断层面上的剪切应力τ达到最大静摩擦应力μsσn时，断层才开始滑动，也就是

式中，μs是最大静摩擦系数.上式称为阿蒙顿斯第二定律.断层一旦开始滑动，摩擦系数变小，此时的摩擦系数称为动摩擦系数（dynamic friction coefficient或kinetic friction coefficient）.

按照近代的摩擦理论（Bowden and Tabor，1950，1964）——摩擦的黏合理论（adhesion theory of friction），可对阿蒙顿斯定律作如下物理解释.

所有材料的表面实际上都是高低起伏、凹凸不平的（图28）.如图28所示，当两个面合在一起时，这两个面只在一些散斑状突出物的小面积上才真正相互接触.这些突出物称为凹凸体（asperity）.所有这些相互接触的凹凸体的接触面积的总和Ar，要比接触面的表观面积（apparent area）即几何面积（geometric area）A小得多，也就是：Ar/A＜＜1.显而易见，真正对摩擦起作用的是Ar.

图28 接触面示意图(a)截面图；(b)平面图。平面图中带点的小面积表示凹凸体，其接触面面积的总和即真正相互接触的总面积ArFig.28 The diagram of contact surface(a) Section figure;(b) plan figure.The small area with points in the plan represents the asperity,and the total area of its contact surface is the real total area Ar

当相互接触的凹凸体的接触面总面积Ar再也不能支撑法向荷载N时发生屈服，即

式中，p是穿透硬度（penetration hardness）.穿透硬度是表征材料强度的一个物理量，它表示单位面积的凹凸体接触面承受法向荷载的能力.在凹凸体的这些接触面上，在高压应力作用下，发生黏合作用，两个面便在这些接合部上连结在一起.若要使这两个面沿着剪切方向滑动，沿剪切方向的作用力就得大到足以切断这些接合部.所以摩擦力F应当等于所有接合部的剪切阻抗的总和，即

式中，s是材料的剪切强度（shear strength），它表示单位面积的凹凸体接触面抗剪切滑动的能力.将式（94）除以式（93），便可得到摩擦系数

由式（94）可知，摩擦力F与Ar成正比；而由式（93）可知，Ar受控于凹凸体对法向荷载的响应，与N成正比.两个方程结合在一起，不但合理解释了摩擦力与接触面的表观面积无关（阿蒙顿斯第一定律），而且合理解释了摩擦应力与正（压）应力成正比（阿蒙顿斯第二定律）.

摩擦系数是同一种材料的两种不同强度（剪切强度与穿透强度）之比.如果相互接触的是两种不同的材料，那么摩擦系数便应当是较软弱的那种材料的剪切强度与穿透强度之比.因此，在一级近似下，μs应与材料、温度以及滑动速度无关.因为s和p虽然都强烈依赖于这些参量，但它们之间的差别却不大.

孔隙中流体的存在导致摩擦的有效应力定律.若是两个表面受到压应力σn的作用相互接触，接触面的总面积为Ar，接触面的表观面积为A，在两个表面之间没有接触的孔隙内流体的压强为|pf|，那么，与式（93）不同，此情形下的法向荷载为

式中，pAr是在凹凸体接合部上的平均应力，p即穿透硬度.由式（94）与式（95）可知，Ar=F/s，从而pAr=pF/s=F/μs. 将式（95）两边均除以A，注意到F/A=τ，N/A=σn，这里σn表示有效正应力，所以

在大多数情形下，Ar/A＜＜1，故上式可近似为简单的有效应力定律[参见式（46）与式（92）]，即

在表示剪切应力τ和正应力σn的关系图中（图29，假定|pf|=0），表示阿蒙顿斯第二定律的直线称为摩擦滑动线（frictional sliding line），摩擦滑动线与σn轴的夹角α称为滑动摩擦角（angle of sliding friction），α以逆时针为正.显然

图29 在岩石原先已存在断层上滑动的莫尔圆Fig.29 Mohr’s circle for sliding on a rock’s preexisting faults

如果μs=μi，那么在τ-σn图中，摩擦滑动线是位于破坏线下方、与破坏线平行的直线（图30）.

图30 在岩石原先已存在断层上滑动的莫尔圆Fig.30 Mohr’s circle for sliding on a rock’s preexisting faults

假定岩石中的应力足够高，以至莫尔圆恰与破坏线相切，切点为F，其辐角为2θf，此时岩石中的应力便高到足以发生新鲜的破裂.在已存在断层的情形下，莫尔圆与摩擦滑动线相交于S1与S2两点，其辐角分别为2θs1与2θ（s2图30）.这表明，在已有断层存在的情况下，岩石可以以多种方式破裂或滑动：假设原先已存在断层，其断层面与σ1轴的夹角介于θs1与θs2之间，就有可能在这些断层面上发生摩擦滑动，而不是在与σ1轴夹角为θf的面上产生新的破裂.因为相应于θf角的新的破裂在较高的剪切应力下才能发生，所以可能性较大的是沿着原先已存在的断层发生滑动，而不是产生新的破裂.如果应力是逐渐地升高到这一水平，将有可能是沿预先存在的断层滑动占优势.

综上所述，由地震波资料得到的震源机制解可以推断构造应力的取向，但这是在假定地震发生在新产生断层面的前提下得到的.一旦岩石发生了破裂，以后再发生地震就有可能发生在原先已存在的断层上.如果原先已存在断层的断层面与最大主压应力轴（σ1轴）的夹角介于θs1与θs2之间，在这些断层上就可能发生摩擦滑动而不是产生新的破裂.这样，按地震是发生在新产生的断层面上的假定来推断构造应力的取向就不准确了.在一些地区可以看到，震源机制解显示出断层面的取向随着山脉或构造的走向发生变化，例如在喜马拉雅山前、东安底斯山的前陆地区，由震源机制解得出的P轴，以及在东非裂谷带，由震源机制解得出的T轴，均显示出其断层面的取向的确受控于原先已存在的断层（Stein and Wysession，2003）.但是，一般而言，由一个地区的许多断层面解统计或综合分析推出的应力轴取向常常比较一致.这是因为，在地壳中含有各种取向的、预先存在的断层，所以由震源机制推出的平均应力轴的取向没有因上述原因而被严重地畸变.

3.3 地壳中的应力

由破裂的安德逊理论，可以得到剪切破裂发生时的最大主压应力p3，最小主压应力p1与内摩擦系数μi和剪切应力强度S之间的关系（Jaeger，1962；Jaeger and Cook，1979；Turcotte and Schubert，1982，2001；Stein and Wysession，2003）.由式（49）和式（73）可得

将表示cos2θ和sin2θ关系的式（63）代入式（100），即得以下三个等价的表示式.

由拜尔理定律可知，当正应力|pnn|＜ 200 MPa时，S=0，μi=0.85，因此，由以上三式中任何一式均可得到

当|pnn|＞ 200 MPa时，S=50 MPa，μi=0.6，所以，从而

地壳中存在许多断层和节理.在构造应力作用下，将沿着这些原先已存在的断层、节理或者说软弱地带发生摩擦滑动.通常把地壳中岩石所能承受的水平方向的压应力 (|pH|=-pH)和竖直方向的压应力(|pV|=-pV)之差的最大值称为地壳的强度（strength）（Chinnery，1964），即

当断层沿原先已存在的断裂面发生滑动时，可令式（101）中的S=0，μi=μs，从而

在竖直方向的压应力是由静岩压和孔隙压pf引起的，所以

式中，ρ是岩石的密度，ρf是流体的密度，g是重力加速度，h是岩石所处的深度.地壳岩石的平均密度ρ=2 700 kg/m3，重力加速度g=9.8 m/s2，所以地壳岩石的静岩应力梯度（lithostatic stress gradient）ρg=26.5 MPa/km.

（1）逆断层情形.对于逆断层，有

将式（106）与式（107）代入式（102），得

对于逆断层，当μs=0.85时，，所以

（2）正断层情形.对于正断层，有

对于正断层，当μs=0.85时，

注意到，在这里地壳的强度Δp的定义是以压应力为正［参见式(106)］，由式（112），式（116）或式（113），式（117）诸式，可以清楚地看到：对于逆断层情形，Δp是正的，即是压应力；对于正断层情形，Δp是负的，即是张应力；在深度h相同时，逆断层情形的Δp数值比正断层的大（约为4/0.8=5倍）.这说明：在同一深度，地壳中的岩石承受压（性）差应力的能力（强度）要比承受张（性）差应力的能力（强度）大得多.图31给出地壳中岩石的强度与最大静摩擦系数μs的关系图[式（112）和式（116）].图中，纵坐标表示Δp，横坐标表示μs，取ρ=2 700 kg/m3，ρf=1 000 kg/m3，g=10 m/s2，h=5 km.由图31与（二）图14可见，当μi=μs=0.85时，对于逆冲断层，断层面的倾角δ=24.8°，Δp=340 MPa；对于正断层，断层面的倾角δ=65.2°，Δp=-68 MPa.

图31 在逆断层和正断层情形下地壳中岩石的强度（偏应力）Δp与最大静摩擦系数μs的关系图中，纵坐标表示Δp，横坐标表示μs，h =5 km，孔隙压pf =-ρfgh，ρf =1 000 kg/m3，ρ =2 700 kg/m3，g =10 m/s2Fig.31 The relationship between the strength (deviatoric stress) Δp and the maximum static friction coefficient μs of rocks in the crust in the case of reverse and normal faults In the figure,the ordinate represents Δp,the abscissa represents μs ,h =5 km,and the porosity pressure pf =-ρf gh，ρf =1 000 kg/m3，ρ =2 700 kg/m3，g =10 m/s2

参考文献（教程三）

Bowden F P and Tabor D.The Friction and Lubrication of Solids.Part I[D].Oxford:Clarendon,1950:1-372.

Bowden F P and Tabor D.The Friction and Lubrication of Solids.Part II[D].Oxford:Clarendon,1964:1-544.

Chinnery M A.The strength of the earth’s crust under horizontal shear stress[J].J Geophys Res,1964,69:2 085-2 089.

Jaeger J C and Cook N G W.Fundamentals of Rock Mechanics[M].3rd edition.London:Chapman and Hall,1979:1-593.

Jaeger J C.Elasticity,Fracture and Flow,with Engineering and Geological Applications[M].2nd edition.London:Methuen,1962:1-212.

Jeffreys H.On the mechanics of faulting[J].Geol Mag,1942,79:291-295.

Jeffreys H.The Earth:Its Origin,History,and Physical Constitution[M].6th edition.Cambridge:Cambridge University Press,1976:1-574.H.杰弗里斯.地球：它的起源、历史和物理组成[M].张焕志，李致森译.北京：科学出版社，1985：1-437.

Kirby S H.Tectonic stresses in the lithosphere:Constraints provided by the experimental deformation of rocks[J].J Geophys Res,1980,85:6 353-6 363.

Stauder S J W.The focal mechanism of earthquakes.In:Landsberg H E and Mieghem J V (eds.).Advances in Geophysics,9[M].New York:Academic Press,1962:1-76.

Stein S and Wysession M.An Introduction to Seismology,Earthquakes,and Earth Structure[M].Malden,MA:Blackwell Publishing,2003:1-498.

Turcotte D L and Schubert G.Geodynamics[M].1th edition.Cambridge:Cambridge University Press,1982:1-450.

Turcotte D L and Schubert G.Geodynamics[M].4th edition.Cambridge:Cambridge University Press,2001:1-456.

Yamakawa N and Takahashi M.Stress field in focal regions with reference to the Matsushiro earthquake swarm[J].Papers Meteor.Geophys,1977,28:125-138.

Yamakawa N.Stress field in focal region[J].J Phys Earth,1971,19:347-355.