基于多角度数学建模方法的创新思维能力培养研究

晋守博，余秋菊，张海燕

宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000

自从2016年“新工科”战略提出以来，我国开始更加注重创新型人才的培养问题，各大高校结合自身特色推出了各式各样的创新能力提升方案，尤其是“复旦共识”“天大行动”和“北京指南”提出之后，创新型人才的培养方向有了更加明确的理论依据，发展方向更加清晰，同时，最近兴起的“互联网+”行动计划也为学生创新能力的培养提供了国家级平台。近年来，各大高校从新结构、新模式、新观念、新质量、新体系五个方面进行着各种有益的探索[1]。与传统工科探索相比，从国内整体情况来看，部分高校仍然存在着创新理念落后、个性化教育不足以及过于侧重于创新技能的培养等问题[2-3]，实践表明，仅依靠创新技能的培养，虽然能够提高学生的实践能力和学习兴趣，但是忽视创新思维和创新意识方面的培养，容易导致学生的发展后劲不足，不利于学生创新能力的全面提升。侯小兵等[4-5]分别从创新教育素养和“互联网+”方面探讨了创新能力的培养方法;冯小明等[6]围绕具有挑战性的科学问题，从原创性研究方面讨论了学生创新的培养方法;郑金洲[7]对学生的创新能力的培养问题进行了较为全面的分析，指出发现问题和学科交叉在创新思维能力的培养过程中具有重要作用。众所周知，数学建模具有高度的学科交叉性和广泛的学生参与性，利用数学建模培养学生创新思维能力具有明显的优势。本文将利用多角度建模的方法，从问题意识、知识储备和发散思维方面讨论如何培养学生创新思维能力。

1 形成问题意识，培养对问题的高度敏感性

问题意识是培养创新能力的土壤，把问题意识和创新能力联系在一起，对培养“新工科”创新型人才非常必要，按照心理学家华莱士对问题意识的理解，准备、孕育、明朗和验证是解决问题必须经过的四个过程，这些过程实际上也是培养的创新能力过程。数学建模的整个过程包括提出问题、建立模型、求解模型和模型验证。

从千里眼神话到可视电话的出现，从开水沸腾现象到蒸汽机的发明，从生物神经元结构到人工智能的广泛应用，这些成就的取得都离不开问题意识的驱动。问题意识对大学生创新能力的培养具有至关重要的作用，现实中受到过去传统文化的影响，学生的怀疑性思想和批判性观点往往不受重视，致使他们探索新问题的动力不足，这种氛围导致许多学生不知道该如何提出问题。然而，“新工科”战略的提出为学生形成良好的问题意识提供了契机，新兴专业中多数具有学科交叉的特点，既要用到传统的基础理论，又要对传统知识进行交叉融合，在融合的过程中不可避免地会出现许多的新问题，这些问题就成了培养创新能力的园地。

数学模型在现实生活中无处不在，实际上人类利用数学的历史就是数学建模的历史。最早结绳记事就是一种简单的数学模型，玛雅文明的石刻也隐含着数学模型的身影。数学建模在20世纪70年代开始作为一门正式课程，如今许多理工科学生都要学习数学建模，近年来，参加全国大学生数学建模竞赛的学生多数来自理工科专业。数学建模的第一步是提出问题，这正体现了以问题意识为核心的观点。纵观近年来数学建模中提出的常见问题，如中国未来人口的数量预测、传染病传播人数的变化规律的分析、地下储油罐剩余油量的估计、中小微企业信贷额度的决策和人脸的精准识别等，这些丰富的案例都离不开问题意识。当第七次全国人口普查结果公布,我国总人口为144 349万时，应该从数学建模的角度思考未来我国人口的发展趋势，研究开放三胎政策对人口总量的影响，进一步利用微分方程模型、差分方程模型和统计回归模型预测我国人口的变化规律。当新冠病毒在世界各国不断蔓延时，我们应该思考如何利用数学建模知识预测确诊病例的变化趋势，分析SI、SIS和SIR等一般的传染病数学模型是否适用于预测新冠病毒的病人数目变化。培养问题意识首先要求学生要敢于提出问题，而且善于提出问题，有意识地进行批判性思维训练，然后利用已有的知识思考问题的解决方案。

2 增加数学模型的知识储备，提升自身素养

利用多角度建模方法培养学生创新能力,首先就需要积累必要的知识，从全国大学生数学建模竞赛的结果来看，针对同一问题，拥有不同知识背景的学生会采用完全不同的方法建模，这正体现了知识在创新能力培养中的作用。利用多角度建模方法培养学生的创新能力，熟悉建模的基本步骤和类型是最基本的要求，更为关键的是掌握常见的数学模型，并熟悉这些模型的优缺点。从学生在数学建模竞赛的解答过程来看，较为常见的几个数学模型可以归纳为下面几种。

层次分析模型(AHP)自20世纪提出以来，被大量应用于社会的各个方面，如经济决策、文明城市评比、生态环境分析和学生综合能力评价等。该方法的核心是建立指标的分层结构，并利用综合加权的方法求出最终的权重，由于该模型具有结构清晰、简洁实用的特点，几乎每年的建模竞赛中都会有大量学生采用该方法求解。但是，层次分析模型也存在着被滥用的风险，多数学生容易忽略模型的缺点，且构造比较矩阵过于主观。一般情况下，实际问题往往考虑要素之间的影响和隶属关系，而仅有树形层级关系的层次分析模型没有考虑要素之间的相互依赖关系。

神经网络模型是与现实生活联系最为紧密的数学模型之一，如果没有该模型的相关理论作为支撑，种类多样的图像识别技术将无法实现，便捷的刷脸支付方式将会消失，高速公路的ETC收费也很难得到应用。从百年前生物学家观察到神经元结构到当今深度神经网络理论的逐渐成熟，都展现了数学模型的巨大威力。近年来，许多学生在大学生数学建模竞赛中多次使用神经网络模型求解，尤其是BP算法应用最多，该算法的优点在于能够自主学习，缺点在于容易出现局部最优。

遗传算法是求解复杂的组合优化问题时最常用的算法之一，被学生广泛用于数学建模中，该算法是根据生物遗传学机理建立起来的。目前，遗传算法主要应用于经济、通信和生物等领域，该算法的优点是运行速度快，不足之处在于编码的不规范。

决策树模型在处理数据分类问题方面优势明显，该模型的核心内容是对一组无次序、无规则的元组进行分类，目前使用较多的是ID3算法和C4.5算法，由于不需要对数据做先验假设，该模型的适用范围非常广。近年来，数学建模中经常涉及大规模数据的分类和回归问题，模式简单的决策树模型为学生提供了高效的解决方案。

除上面几种数学模型外，还有许多应用广泛的数学模型。如研究自变量与因变量关系的线性回归模型、描述种群增长规律的Logistic模型、把定性评价转化为定量评价的模糊综合评价模型等。为了能够利用多角度建模方法提高学生的创新能力，需要熟悉这些基本的数学模型，积累一定的知识储备。

以相应数学模型为关键词在中国知网数据库检索后，具体分布见图1，经过对比后可知，2020年已发表的论文中，与神经网络、层次分析法和遗传算法等相关的论文有很多，另外，决策树、线性回归、Logistic模型等也较为常见。这些模型主要应用于经济统计、生物技术以及应用数学等领域，它们的使用次数在一定程度上反映了这些数学模型在建模知识储备中的重要性。

图1 2020年中国知网相关数学模型的论文发表数量

3 多角度建模，形成发散思维意识

多角度建模方法最关键的是形成发散思维的意识，针对同一个问题，用不同的学科内容，建立多样化的数学模型，本质上是培养学生一题多解的能力。例如，“中小微企业信贷风险评估问题”一直是困扰我国金融机构发放小额贷款的首要难题，2020年该问题被选为全国大学生数学建模竞赛题目，来自全国不同高校的大学生们充分发挥自身的创新能力，涌现出了众多优秀的解决方案，从学生使用的建模方法可以看出，尽管使用的模型各有不同，但基本上都能够在一定程度上解决该问题。近年来，许多学者已经对信贷风险评估问题进行了深入分析，潘乾威等[8]利用模糊综合评价、多元回归等理论研究了中小企业的信贷问题，苏蕙等[9]探讨了如何建立合适的小企业信贷风险评价指标。

在建立中小微企业信贷风险评估模型时，从神经网络方面考虑，可以利用BP神经网络结合现金流动、进销资金、流动负债等已知数据对信用等级进行预测；从决策树方面考虑，可以选取是否违约、销项发票退票率和作废率作为决策的属性值，将相应数据作为训练集生成决策树；从线性回归方面考虑，可以利用多元线性回归模型分析信用等级与相关指标的关系；从层次分析法方面考虑，将信贷风险作为目标层，将企业实力和企业信誉作为准则层，再选取税后营业利润、收入利润、进项作废率、信用等级和违约情况作为指标层，最后计算综合权重。从模型种类的巨大差异，可以了解到建模思维的发散性。

针对中小微企业信贷风险评估问题，从2020年全国大学生数学建模竞赛C题安徽赛区的论文中随机选取83篇，发现使用最多的模型是层次分析法、聚类分析和Logistic回归模型，相关模型的使用情况见图2。

图2 中小微企业信贷风险评估模型安徽赛区部分学生采用的方法

从图2分布来看，除了上面几种方法外，也有部分学生采用神经网络、决策树、熵权法等方案解决问题。尽管有些模型并不一定完全符合，但是从创新能力培养方面考虑，学生在解决问题的过程中能够利用丰富的想象力，展开发散思维，非常有利于创新能力的提高。下面通过中小微企业信贷风险评估问题的三个建模实例，介绍利用发散思维方法的建模过程。

3.1 利用层次分析法建立信贷风险评估模型

中小微企业信贷风险评估的关键问题是选择评价指标，并利用层次分析法计算评价指标的综合权重。在建立中小微企业的层次分析模型的过程中，为了避免指标选取和成对比较矩阵过于主观的弊端，需要对该问题的研究现状进行大量调研，要在客观公正的原则下确定评价指标，当构造成对比较矩阵时，首先要确定恰当的比较尺度，再经过反复验证才能达到理想的效果。表1是一种简单的信贷风险评估层次结构。

表1 信贷评估层次结构

为了求出指标层相对于目标层的综合权重，首先构造相应的成对比较矩阵，通过一致性检验后，求出最大特征值对应的归一化特征向量。如果准则层相对于目标的权重是W1=(w11,w12)，指标层相对于准则层的权重分别为W2=(w21,w22,w23)和W3=(w31,w32,w33)，那么指标层对目标层的综合权重计算公式可表示为

最后，使用该综合权重判定相关评价指标的重要性。

3.2 利用CRITIC法建立信贷风险评估模型

通过对中小微企业信贷风险因素分析，可将生产力水平、供给稳定性和企业信誉作为三个核心因素，其中生产力水平可以通过销售总金额表示，供给稳定性可以通过进项发票额表示，企业信誉可以通过信用评级表示。CRITIC方法的核心是通过指标内的变异性和冲突性确定权重，它是一种客观赋权法，该方法主要借助于指标变异性的大小以及指标之间的相关性强弱计算权重，因此所讨论问题的原始数据要有一定的变化强度，对于变化强度非常小的情况，该方法不一定是最好的。对于数量众多的中小微企业来说，他们之间必定存在着一定的差异，为CRITIC方法的应用提供了理论基础。

3.3 利用聚类分析法建立信贷风险归类模型

4 结 语

随着“新工科”战略的全面推进，我国需要越来越多高素质的创新型人才，这就要求教育工作者充分发挥自身优势，探索新的方法培养学生的创新思维能力。多角度建模方法是培养学生创新思维能力的一种有益尝试，该方法的核心在于对同一问题采用不同的方法建模。利用多角度建模法培养发散思维能力，需要提高学生对问题的敏感性，需要增加学生的关于数学建模方面的知识储备，更需要培养学生的多角度寻求解决方案的意识。