关于分数阶微积分算子的新进展

王秋爽,徐 润

(曲阜师范大学 数学科学学院,山东 曲阜 273165)

分数阶微积分是关于任意阶微分与积分及其应用的理论，是牛顿-莱布尼兹整数阶微积分的推广。1987年，Samko等建立了系统的分数阶微积分及其应用理论[1]。1993年，Miller等建立了分数阶微分方程理论[2]，对几类经典的分数阶微积分算子定义均有介绍，例如Riemann-Liouville(R-L)，Caputo，Hadamard 分数阶微积分算子定义等。许多学者随后又给出了关于分数阶微积分以及分数阶微分方程理论的推广，如文献[3-6]。近年来，随着相关分数阶积分和导数新定义的不断引入和推广，关于分数阶和分和差分以及分数阶偏微分、偏差分等几类新的分数阶算子也陆续产生，极大地推动了关于分数阶微分方程定性性质的研究，如解的振动性、稳定性、解的存在唯一性等。同时由于具有各种初值或边界条件的分数阶积分和分数阶微分方程在实际问题中的广泛应用，分数阶方程理论得到了快速发展，并为解决一些复杂现实问题提供了工具。Oliveria等介绍了自分数阶微积分出现以来的一些重要分数阶积分和导数定义[7]；Teodoro等对一些重要分数阶导数定义进行了总结，并且对其之间的一些重要性质做出比较[8]。本文主要介绍了近三年所出现的分数阶积分和微分算子新定义，并比较了各不同定义之间的关系。

1 预备知识

本文所用到的符号和定义如下：

R为实数集,C为复数集,Z为整数集,N为自然数集,R(x) = {Rex|x∈C},Z-为负整数集;N-为全体非正整数集,[x]=max{z∈Z:z≤x}。

(1)阶乘幂函数

分别为上升阶乘 (递进阶乘) 和下降阶乘 (递降阶乘)。

(2)广义Mittag-Leffler(M-L) 函数

(1)

其中,α,β,γ,τ,c∈C;R(c),R(α),R(β),R(τ),R(γ) > 0;k>0,p≥0;0

为Gamma函数；

为推广的Beta函数[9]。

(3)k-Gamma函数

其中,(x)n,k=x(x+k)(x+2k)…(x+(n-1)k)为k-阶乘幂函数[10]。

(4)区间值函数

记K={[a,b]×[c,d]|a,b,c,d∈R,a≤b,c≤d}为R上闭区间集族，设

2 分数阶微积分算子新进展

自R-L分数阶微积分算子产生以来，许多学者对分数阶微积分算子定义进行了完善和推广，例如2006年Jumarie给出了修正的R-L分数阶导数定义[12]，使其满足常数函数的导数为零等。关于分数阶微积分算子定义的推广，大部分的分数阶导数定义是由积分构成的，其中最经典的是R-L和Caputo分数阶导数，R-L分数阶积分算子是由Cauchy公式在实数域上推广得到，利用R-L分数阶积分算子与整数微分算子不同顺序的复合分别得到R-L分数阶微分和Caputo分数阶微分算子。

对于将整数阶微积分概念延拓到实数乃至复数的方法有很多种，而大多数的分数阶定义是在R-L分数阶算子定义的基础上进行推广的，分数阶微积分算子定义的产生过程大致可以分为四种形式。第一种是在R-L分数阶积分定义中利用不同的核函数得到 (实质上是对Cauchy公式的变形并推广产生) 积分算子，通过对积分算子与整数阶微分算子的复合得到微分算子，例如：Hadamard、Katugampola、Prabhakar分数阶微积分算子等。第二种是整合分数阶微积分算子的产生，首先出现的是整合分数阶微分算子，它是对整数阶导数定义的自然推广，而整合分数阶积分算子是反常积分的推广;随后Jarad 等和Khan等[13-14]通过迭代不同形式的整合分数阶积分算子得到整合算子的进一步推广。第三种是通过对Γ函数的变形得到新的分数阶微积分算子定义，例如k-和q-分数阶微积分算子等。第四种是对不同分数阶微积分算子进行组合，例如Caputo-Katugampola、Caputo-Erdélyi-Kober、ψ-Caputo、ψ-Hilfer、ψ-Atangana-Baleanu、ψ-Prabhakar、Hadamard-k、ψ-k、(k,s)-整合等分数阶微积分算子。

随着分数阶微积分算子定义的不断推广，在形式上越来越复杂，但在一些性质和应用上有了进一步的优化，并且一般可以退化回经典的分数阶微积分算子定义。

2.1 积分核含有广义M-L函数的左定和右定分数阶积分

2018年, 文献[9]提出含有个参数的广义 M-L函数 (见式(1))，并给出了核内含有该广义M-L函数的左右定新分数阶积分算子,是对核含有 M-L函数的分数阶积分的进一步推广；2020年，Farid[15]给出了这类新的分数阶积分算子更一般的形式：

设f,k分别为[a,b]→R(0

(2)

(3)

注1 若γ(x)=xτ，分数阶积分算子(2)(3)是以下算子的推广：当k(x)=x,ω=p=0时为R-L分数阶积分算子；当k(x)=x时为文献[9]中定义的分数阶积分算子；当k(x)=x,p=0时为核包含六参数M-L函数的分数阶积分[16];当k(x)=x,l=r=1时为核包含五参数M-L函数的分数阶积分[17]；当k(x)=x,p=0,l=r=1时为核包含四参数M-L函数的分数阶积分[18];当k(x)=x,p=0,l=r=q=1时为核包含三参数M-L函数的分数阶积分[19]。

2.2 区间值函数的分数阶积分

文献[20]给出左定、右定等Hadamard区间值分数阶二重积分：

设F∈IR([a,b]×[c,d])；a,c≤0；α,β>0，定义Hadamard区间值函数分数阶积分

(4)

(5)

(6)

(7)

并给出左定、右定等广义区间值分数阶二重积分:

设F∈IR([a,b]×[c,d]);α,β>0；g：[a,b]→R为(a,b]上的单增正函数，且在(a,b)上有连续导函数g′(x)；ω:[c,d]→R为(c,d]上的单增正函数，且在(c,d)上有连续导函数ω′(y)，广义区间值函数分数阶二重积分定义为

(8)

(9)

(10)

(11)

2.3 广义整合分数阶积分和导数

2014 年，Khalil等第一次给出整合分数阶微积分算子定义[21]，其中整合分数阶积分算子为Riemann反常积分的推广：

2019年Khan等通过迭代该形式的整合分数阶积分算子，得到广义整合分数阶积分[13]。

设f(x)为[p,q]⊆[0,∞)上整合可积函数，f(x)的β阶左定、右定广义整合分数阶积分定义为

(12)

(13)

其中，参数α∈(0,1],τ∈R,α+τ≠ 0。

由整合分数阶微分算子和广义分数阶积分算子的复合得到左、右定广义整合分数阶微分算子

(14)

(15)

其中，Tα为文献[21]中定义的α阶整合微分算子，参数α∈(0,1],p≥0，0<β<1。

注3 定义(12)(13)可退化为以下分数阶积分算子：当τ=0时，退化为文献[14]中定义的R-L型整合分数阶积分算子；当α→0时，将得到Hadamard分数阶积分算子[2]；当α=1时为R-L分数阶积分算子[2]；当β=1时为整合分数阶积分算子[21]。

2.4 (k,s)-分数阶整合积分

2017 年，Jarad等提出一种R-L型整合分数阶算子[14]；在此基础上，2019年，Mubeen等定义了一类广义k-分数阶积分算子(称为(k,s)-分数阶整合积分算子)[22]。

设f(x)为[0,∞)上的连续函数，α∈C且R(α)>0，参数k>0,s∈R{0},则f(x)的α阶(k,s)-分数阶整合积分定义为

(16)

(17)

注4 对于α>0，p≥1，且f满足对于任意的x>a成立

则定义的(16)(17)可退化为已有的分数阶积分算子。当k=1 时，(16)退化为文献[14] 中定义的左定整合分数阶积分；当a=0,k=1,s=1 时，(17)为左定R-L分数阶积分[2]；当a=0,α→0 时，退化为Hadamard分数阶积分[2]；当a=0时，退化为广义的Katugampola分数阶积分[5]。

2.5 ψ-(k,s)-Riemann-Liouville分数阶积分

Tunç等对文献[23]中定义的广义k-R-L分数阶积分 ((k,s)-分数阶积分)做了进一步的推广，提出与另一个函数ψ有关的(k,s)-R-L分数阶积分算子定义，记作ψ-(k,s)-R-L分数阶积分[24]。

设ψ:[a,b]→R为(a,b]上单增正函数，且ψ′(x)在(a,b)上连续，左定、右定ψ-(k,s)-R-L分数阶积分定义如下：

(18)

(19)

其中，参数λ,ρ>0;ω∈R;k>0。F的定义如下：

系数σ(m)(m∈N0=N∪{0}) 为有界正实数序列。

注5 分数阶积分算子(18)(19)可以退化为已有分数阶积分算子：当λ=α,σ(0)=1,ω=0,k=1,ψ(x)=x时，为R-L分数阶积分算子[2]；当ψ(x)=lnx，λ=α,σ(0)=1,ω=0时，为Hadamard分数阶积分算子[2]；当k=1,g(t)=t时,(18)和(19)分别退化为文献[29]、文献[30]中定义的广义分数阶积分算子；当k=1，λ=α,σ(0)=1,ω=0 时，为ψ-R- L分数阶积分算子[2]；当ψ(x)=x，λ=α,σ(0)=1,ω=0时，为文献[26]中定义的k-分数阶积分算子；当

时，为文献[23]中定义的(k,s)-分数阶积分算子；当

时，为Katugampola分数阶积分算子[5]。

2.6 广义分数阶积分

2020年，Sarikaya等给出一类更一般的分数阶积分算子[25]

(20)

(21)

其中Φ:(0,+∞)→[0,+∞)。对于A,B,C>0;θ1,θ2>0满足：

(22)

或

时,是Katugampola分数阶积分算子[5]；当Φ(θ)=θ(x-θ)α-1时，是文献[21]中定义的整合分数阶积分算子；当

或

2.7 新的广义整合分数阶积分(广义FCIO)

在文献[25]定义的广义分数阶积分的基础上，Kashuri等提出一类新的广义整合分数阶积分算子[27]：

(23)

(24)

其中Φ满足式(22)。

注7 当ζ=1 时，(23)(24)退化为上面定义的广义分数阶积分。

2.8 广义比例Hadamard分数阶积分

Rahman等定义了一类左定、右定广义比例Hadamard分数阶积分[28]：

(25)

(26)

其中，比例指数μ∈(0,1],β>0。

注8 当μ=1时，式(25)(26)退化为Hadamard分数阶积分[2]。

3 结论

对分数阶微积分近三年来新的算子定义进行了总结，并在此基础上与已有的微积分算子做了比较。新的分数阶微积分算子的产生对于分数阶变分、最优控制和复杂系统建模等问题的发展起到了一定的推动作用。相应地，分数阶不等式的已有结果可以在新的分数阶微积分算子中得以继续研究。例如文献[9,15,20-23,25,27-29，31]给出Hermite-Hadamard、Gronwall-Bellman等不等式在新分数阶积分算子上的推广；同时对于新的分数阶微分定义可以研究相应分数阶微分方程的定性性质[14，18，21]。更深一步地，对分数阶微积分算子新定义的研究可以推广到分数阶和分与差分，乃至分数阶偏微分以及偏差分的相关问题，通过对这些算子的一些性质进行研究，得到相应分数阶差分偏差分等方面方程及不等式的结果。