偏振对于光纤光栅传感器工作性能影响的研究

陈 江，肖遥王戈，张继武

（国网湖北省电力有限公司 武汉供电公司，武汉 430012）

0 引言

基于布拉格衍射理论的光纤光栅传感器[1]，被广泛应用于温度、浓度、应力等参量的高精度测量，尤其是在竖井、管道一类的特殊环境，可以更大程度上发挥光纤光栅传感器的体积小、抗干扰、高精度、易阵列等优点。在光纤光栅感器中，光栅是重要的光学衍射结构，通过相位掩膜方法分布刻写在光纤中。从光栅用于衍射光学元件以来，对于光栅的研究应用也越来越多。在光纤光栅传感器波前精密测量中，光栅刻写的精度，衍射场分析都是重要环节。本文所分析的矢量光栅衍射场中，采用二维相位型光栅作为衍射光学元件，根据矢量波前衍射理论[2-4]，确定偏振波前理论模型，可为光纤光栅波长解析的研究建立正确的矢量分析模型。

图1 （a） 棋盘光栅结构示意图Fig.1(a) Schematic diagram of checkerboard grating structure

图1 （b） 棋盘光栅单元结构示意图Fig.1(b) Structure of checkerboard grating unit

1 二维相位光栅传统衍射理论分析

二维棋盘光栅的微结构与国际象棋的棋盘相同[5]，图1 为光栅示意图。

二维相位光栅的光栅面入射光复振幅函数可以表示为：

其中，tu为光栅单元面的入射光复振幅函数：

对光栅复振幅函数做傅里叶变换，可以得到衍射光复振幅函数：

因此，棋盘光栅的（n1，n2）级衍射光的衍射效率可以表示为：

图2 棋盘光栅的（±1,±1）级衍射效率随光栅槽深的变化关系曲线Fig.2 (± 1, ± 1) Order diffraction efficiency of checkerboard grating versus grating groove depth

图2 为衍射效率随光栅槽深的变化关系，因此剪切光栅的选择原则就是尽可能地使光栅1 级衍射光衍射效率高，而尽可能地抑制其他级次的衍射光，所以选择相位型棋盘光栅，它的（±1,±1）级衍射效率是最高的，可以达到16.43%。光栅的刻蚀深度等于入射波长，即为632.8nm。

2 矢量衍射场分析

通常光栅衍射场的分析与计算主要采用标量衍射理论，在光栅空间频率较低时，标量衍射理论与实际吻合地很好，但是它丢失了衍射光场中的重要偏振矢量信息。时域有限差分方法（Finite Difference Time Domain，FDTD）[6]作为一种新发展的数值计算方法，有更宽松的模拟要求和更精确的模拟结果。FDTD 方法与其他的矢量场计算方法相比具有明显的优势，可以直接在时域中求解含时间变量的Maxwell旋度方程组，避免了其他算法中不符合物理意义的解，方程含时间变量，不仅能求得稳态解，还能够求得瞬态解。

图3 (a)和(b)为棋盘型相位光栅优化设计前后的远场衍射图Fig.3 (a) and (b) are the far-field diffraction patterns of the chessboard phase grating before and after the optimization design

光波场的麦克斯韦方程：

式（5）中，E、D、H、B、J、Jm分别为电场强度、电能量密度、磁场强度、磁场能量密度、电流密度、磁流密度。空间是无源的，在直角坐标系下，式（5）可写成如下6 个标量方程：

图4 FDTD算法中电磁场分量在Yee网格中的分布Fig.4 Distribution of electromagnetic field components in Yee grid in FDTD algorithm

在有限时域差分算法（FDTD）中，可以把电场与磁场的空间节点按图4 所进行空间排布。由图可见，磁场分量与电场分量在空间交替排布，一个电场分量与4 个与之邻近的磁场分量对应，一个磁场分量与4 个与之邻近的电场分量对应。这种电磁场的分布关系，与电磁学理论完全相吻合，符合法拉第电磁感应定律与安培环路定律，而且这种电磁场的分布关系能够完全地描述电磁场的空间传播特性。

在单元结构中电场与场各分量的空间与时间取值见表1。

对式（6）和式（7）进行离散化处理。首先，在直角坐标系中，用Δx、Δy 和Δz 分别表示单元沿3 个轴向的长度，用Δt 表示时间增量。这样网格单元顶点坐标（x,y,z）可记为（I,j,k）=(iΔx, jΔy, kΔz)，如图4 所示。任意一个空间和时间的函数可表示为Fn(i,j,k)=F(iΔx, jΔy, kΔz, nΔt)，其中I，j，k，n 均为整数。另外，对于采用中心有限差分来表示函数对空间和时间的变化率，整体具有二阶精度，可以表示式为：

表1 单元结构中电场与场各分量的空间与时间取值Table 1 Space and time values of electric field and field components in unit structure

通过式（8）和式（9）的差分形式来替代式（6）和式（7）中的微分形式，可得FDTD 中电场随时间的推进计算公式：

式中的系数CA(m)和CB(m)为：

式中的m 分别为（i+1/2,j,k）、(I,j+1/2,k)、(I,j,k+1/2)。

FDTD 中磁场随时间推进的计算公式为：

式中，系数CP(m)和CQ(m)分别为：

式（15）～式（19）中的m 分别为（I,j+1/2,k+1/2）、(i+1/2,j,k+1/2)、(i+1/2,j+1/2,k)。

根据以上分析可以看出，在空间取值上，电场与磁场主要取决于3 个因素：①该点在上一时间步的电场值；②与所计算电场处于正交位置的磁场修值；③媒质的电参数σ 和ε。磁场值同理。

3 二维相位光栅矢量衍射场分析

采用刻蚀深度等于入射光波长（632.8nm），占空比为（0.5，0.5），材质为K9 玻璃（n=1.516），光栅周期等于0.5λ ～7λ 的光栅进行仿真分析研究，观察当平面波入射进，在光栅后距离光栅1mm 处的衍射场分布，得到的光场衍射分布如图5 所示。

图5 中，（a）～（i）分别为光栅周期为0.5λ，λ，1.5λ，2λ，3λ，4λ，5λ，6λ，7λ 时，光栅后1mm 处的远场衍射图。

图5 二维棋盘光场远场衍射图Fig.5 Far field diffraction pattern of two-dimensional checkerboard lightfield

通过编程仿真模拟计算，可以得到如下结论：

1）光栅周期与入射光波长近似相等的情况下，棋盘光栅的衍射场为一个近似的矩孔衍射，与单一的矩孔衍射的夫朗和费衍射图样近似一致。

2）当光栅周期在小于5 倍的入射光波长时，光栅衍射场分布不满足标量理论计算结果。在图5 中依然可以看到明显的中心零终衍射光，而且强度与1 级衍射光相当。

3）当光栅周期大于5 倍的光波长时，光栅衍射场分布与标量计算得到的分布情形一致，中心零级衍射光得到了最大程度的抑制，四周1 级衍射光得到了很好加强。

4 结束语

基于相位型光栅的光栅结构与光在光栅中的输特性及光栅矢量衍射理论，建立一种具有全矢量场分析的光栅衍射理论模型。介绍了该模型的基础理论，并进一步根据该方法建立了一种二维光栅矢量衍射场的数据模型，最终仿真分析给出不同光栅结构在矢量分析理论中的远场衍射场结果。本文建立的光栅矢量衍射场分析方法，可以应用于精密光学测量系统的矢量精度分析与分光元件的其他研究中。