基于易感-感染-恢复（SIR）模型的2019冠状病毒病早期传播分析及政府防控措施研究*

■ 应毅 黄慧 任凯 刘定一

1.三江学院计算机科学与工程学院 南京 210012

2.南京大学金陵学院 南京 210089

0 引言

从20世纪末开始，在全球多个地区已发现约30 种新发传染病[1]。2019～2020年流感季，美国估计已有至少2900 万例流感病例，其中1.6 万人死于流感相关疾病[2]。2019年底，湖北省武汉市陆续发现了多例原因不明的病毒性肺炎患者，国内学者经研究发现这是一种由新型冠状病毒引起的肺炎[3]。2020年2月7日国卫医函〔2020〕42 号文件将新型冠状病毒感染的肺炎暂命名为新型冠状病毒肺炎，简称新冠肺炎（Novel Coronavirus Pneumo‐nia, NCP）。高通量测序揭示该肺炎由一种新型的β 冠状病毒引起，2020年1月12日，世界卫生组织将该病毒临时命名为2019 新型冠状病毒（2019 Novel Coronavi‐rus,2019-nCoV）[4]。2020年2月11日国际病毒分类学委员会将此次流行的新型冠状病毒命名为严重急性呼吸综合征冠状病毒2（Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus,SARS-CoV-2）[5]。同日，世界卫生组织将此次暴发的肺部相关疾病正式命名为2019 冠状病毒病（Coronavirus Disease 2019,COVID-19）。

图1 SIR传播动力学模型

COVID-19 疫情的暴发引起世界各国的关注。2020年1月20日中国国家卫生健康委员会发布2020年第1号公告，经国务院批准，将新型冠状病毒感染的肺炎纳入《中华人民共和国传染病防治法》规定的乙类传染病，并采取甲类传染病的预防和控制措施。2020年1月30日，世界卫生组织宣布新型冠状病毒肺炎疫情为国际公共卫生紧急事件[6]。2020年2月28日，世界卫生组织将新型冠状病毒肺炎全球风险级别由“高”提高至“非常高”。

由于COVID-19具有传播快、扩散广的特点，短时间内很容易造成大面积感染，因此对于COVID-19 的预防和控制工作非常重要。目前，针对COVID-19 的疫情防控相关研究主要集中在3 个方面：一是在临床医学[7]、药理学[8]、疫苗研发等方面的研究；二是疫情防控管理制度、管理手段方面的研究[9]；三是对病毒传播模式的研究。文献[10]利用离散变量随机概率方法对湖北省疫情的发展进行模拟和预测；文献[11]基于SEIR 模型对CO‐VID-19 的基本再生数进行了估计；文献[12]建立SEIAR模型计算陕西省COVID-19 疫情的基本再生指数为2.95。但以上研究仅讨论了某个区域的病毒传播情况[10,12]，而且都没有考虑城市间人口流动因素对疫情发展的影响。针对此问题，本文根据实际情况，建立有效距离修正的SIR 模型，并引入干预项参数模拟政府所采取的防控措施，对COVID-19的早期传播进行数据分析，根据结果对政府所采取的干预手段进行客观评价，讨论防控隔离和集中收治等措施对疫情发展的影响。

1 SIR传播模型

对传染病疫情传播的分析可分为统计学方法与动力学方法。统计学模型在信息不全的情况下通过某一小样本的情况对总体进行预测。动力学模型基于病毒寄生宿主后各个状态间的因果关系，利用对该病毒已知的信息与各个状态下人群的历史数据，构建用于描述传播机理的微分方程，从而得出对基本再生数、确诊人数、死亡病例等指标的预测评估值。SIR 模型是传染病研究中一种经典的动力学模型，最早由Kermack 与McKend‐rick在1927年提出[13]。该模型能给出较为清晰的逻辑关系和准确的趋势预测，其预测结果也与历史上许多传染病传播的实际数据相互印证，因此至今仍被广泛使用并不断发展。

SIR 模型将处于疫情暴发群体中的个体分为3 类：未感染疾病且对于疾病缺乏免疫能力的人群被称作易感人群（Susceptible，记为S）；已经感染疾病且具有传播能力的人群被称作感染人群（Infected，记为I）；病愈（具有免疫能力）和死亡等不再参与疾病传播过程的人群被称作移除人群（Removed，记为R）。任何个体均是上述3种状态之一。SIR 模型的建立依赖如下假设：(1)总人口始终保持在一个固定水平上；(2)一个病患一旦与易感者接触就必然形成一定的传染力；(3)被传染后，病患经过一定时间会康复，并且获得对该传染病的免疫能力，即在疫情结束前不发生二次感染；(4)没有对已感染病患进行隔离管控等措施。

基于以上4个基本假设条件，3类人群在病毒发展规律下以一定概率向其他状态转移，形成“易感态—感染态—移除态”的动力学模型，3 种状态的变化过程如图1所示。其中，传染速率IR（Infection Rate）与人口总数、感染比例、接触速率有关；康复速率RR（Rehabilitation Rate）与平均患病时间有关。

另一方面，本次COVID-19 疫情发生于2019年年底，非常接近中国农历新年，作为全国城市网络中的重要节点，武汉具有非常强的交通辐射能力。因此，人群的迁徙行为对于COVID-19的传播影响也不能忽视。有研究表明，疫情的传播与城市间的地理距离关系较小，与城市间的有效距离关系密切[14]。有效距离是指根据城市间交通流量数据折合之后的距离。原因在于交通流量越大的两个城市，病毒携带者来往概率也越大。

根据上述讨论，本文考虑了城市间的交通流量因素，修正了经典的SIR 模型。记in是n 城市的感染比例；sn是n 城市的疑似人群比例；rn是n 城市的恢复健康或死亡的人群比例，Pmn是m 城市与n 城市之间的有效距离，用于COVID-19疫情的SIR动力学方程构建如下：

图2 SIR模型与实际确诊病例的拟合对比

图3 无干预下的病毒扩散情况

基本再生数R0是一个能够反映病毒传播速度的重要参数，它是指没有干预的情况下，在一个全部是易感人群的环境中，平均一个病患可以传染的人数。它受病毒特性、人群体质、环境、气候、温度、季节等因素的多重影响[15]，全球各地的研究团队针对COVID-19 的R0测算结果差距较大。中国疾控中心和武汉疾控中心等机构对R0的估计值为2.2[16]；中国香港中文大学赛马会公共卫生与基层医疗学院对R0的估计值为2.24[17]和2.56[18]；中国香港大学公共卫生学院对R0的估计值为2.6[19]；厦门大学公共卫生学院对R0的估计值为3.58[20]；西安交通大学数学与生命科学交叉研究中心的专家对R0的估计值为6.47[21]；本文根据数据拟合情况设R0=3.8。

式(1)中参数α 为感染率、参数β 为治愈率、参数γ 为平均迁出人口比。根据报道，病患从确诊到病情稳定（或死亡）平均为10天，故β=0.1；根据百度迁徙数据和全国城市总人口数计算得γ=0.1255；根据SIR 模型，R0=α/β，反向计算出α=0.38；根据百度迁徙公布的流量数据计算主要城市间的有效距离Pmn。

本文所采用的真实疫情数据来源于国家卫生健康委员会和各省卫生健康委员会公开发布的疫情通报数据，选择2020年1月10日作为数据研究的起始点。模型计算及图形绘制采用软件Python 3.6.1。

基于式(1)所示模型和以上参数取值，本文进行了SIR 模型与各主要城市的实际确诊病例的拟合对比，如图2所示。图2横坐标为从2020年1月10日（第一个确诊病例日期）开始的时间，单位为天；纵坐标是不同城市的感染人口数据，主要挑选了武汉周边的城市和北京、上海、广州之类的一线城市。从图中可以发现，SIR 模型的计算结果与实际公布的数据吻合较好，说明本文提出的模型（包括参数取值）是合理可行的。

图4 无干预下的病患情况

图5 ξ项的变化曲线（t0=20、tm=50）

2 COVID-19的早期传播分析

利用式(1)所描述的SIR 传播模型（包括参数取值），结合本次疫情的早期数据（2020年1月10日至1月23日，武汉进入全面封城状态之前），本文计算了病毒在无任何限制条件下的扩散传播情况和病患情况，如图3、图4所示。在图3中，横坐标为时间，纵坐标为每个城市的感染人口数量，几个特别关注城市用不同颜色较清晰地绘制而出，其他城市用淡色作为背景绘制出一个带状区域，左下角的圆点表示已知的实际数据。从图中数据可知，在不采取任何措施的情况下，COVID-19 的扩散在2020年1月底还处于非常早期的阶段，真正的指数级暴发将在2月20日左右开始；在自然条件下，疾病的最终退去要等到5月底至6月初；感染人口最多的城市将是北京，而非武汉，其原因在于北京人口基数更大，而且其他几个大型城市的感染人数都会比武汉多；在城市层面，病毒的扩散存在着两个高峰，第一个高峰是以武汉为首的湖北境内城市，第二个高峰以北京、广州等大城市为主，峰值的到来会比武汉推迟10天左右。

COVID-19 在短时间内的快速传播对人民群众的身体健康构成了持续的威胁，我国政府迅速采取一系列措施来对抗疫情，对病毒的传播进行了干预和控制。在基于有效距离的SIR 模型的基础上，本文引入ξ 项来模拟这种传播干预手段，重建政府干预下的SIR 模型，如式(2)所示。

其中：

ξ 是一条随时间t 逐渐从1 衰减至η 的函数，表示对疾病的控制作用的强度情况，ξ 越大，控制力度越小，反之越强，ξ 与感染率α 相乘，直接影响健康者与感染者的交互概率。图5示意了ξ 项的变化情况，曲线有两个关键拐点，一个是开始显著下降的点，这个点由参数t0刻画，表示开始对病毒传播进行干预控制的时间点；第二个拐点是曲线显著接近于0.1 的时间点，这个时间长度是最终完全将病毒传播控制住所需要花费的时间，用参数tm刻画。η 是人为控制能达到的最小值，可以根据能够达到的目标基本再生数进行估算。

图6 有干预下的病毒扩散情况

图7 有干预下的病患情况

武汉于2020年1月23日实施封城管控，相对于1月10日是13 天之后，故t0=13；假设实现干预目标需要一个月时间，故tm=30；希望通过干预手段将基本再生数降低到1以下，按照目标基本再生数R*0=R0/4计算（即管控后，每个人交互的机会减少到原来1/4），得R*0=0.95，最低感染率η=1-R*0β=0.905。

利用政府干预下的SIR 模型和以上参数取值，本文计算了病毒在有干预下的扩散传播情况和病患情况，如图6、图7所示。图6的横/纵坐标含义与图3相同，观察图6数据可知，感染人口的数量峰值大约在2月中旬达到，之后仍然会维持相当长的时间，大约在4月份病毒的扩散才会进入尾声。假设COVID-19 的平均致死率为3.1%[22]，图7计算了全国总感染人数、累积死亡人数、累积康复人数，图中数据显示累积感染人数总量将达到135000人，死亡人数将接近5600人。

3 政府防控措施的作用

从SIR传播模型在无干预和有干预两种情况下的测算结果可以看出：为了降低感染者数量和病患死亡人数，更好地控制疫情的发展，降低感染率和降低致死率是两个最主要手段。相对SARS 疫情从2002年12月底发现到2003年5月9日国务院发布第376 号令，公布施行《突发公共卫生事件应急条例》，历时约4个月[23]，在本次疫情中，从武汉报告首例病患，到1月底湖北、北京、上海、天津、重庆等众多省份、直辖市启动重大突发公共卫生事件I 级响应机制，仅不到1 个月。在COVID-19 流行的早期，政府部门就立即实施严厉的公共卫生政策，将会极大地阻止疫情的蔓延。

在个人层面：佩戴口罩、防护设备，勤洗手，卫生消毒，居家、减少外出和聚会，个体间保持1 米距离等通常做法，可有效降低感染率。在社会层面：利用媒体加强健康教育和抗“疫”宣传，交通管制，限制或停止人群聚集活动，停工、停学，也能够有效地、尽快地降低感染率。在医疗层面：对确诊患者集中治疗，对疑似患者定点隔离，对密切接触者进行集中医学观察，建设火神山、雷神山等专门医院对危重病人强化治疗和辅助生命支持，建设方舱医院对轻微症病人的“应收尽收、应治尽治”等政策，不仅能降低感染率，而且能大幅度降低致死率。

事实证明，1月23日之后，全国30 个省份的日新增感染人数在极短的时间内（3-7 天）即开始触顶下降；2月12日，绝大部分省份的日新增感染人数已经降至峰值的5%-10%以下。说明COVID-19 的基本再生数R0在迅速减小，达到目标基本再生数R*0所需时间比本文预估的30天更短，政府的干预手段对疫情的大面积发展产生了较好的抑制效果。3月18日武汉首次出现新增病例和疑似病例双清零[24]，这比本文估计的时间早了1 个月。截止本文完成时（3月30日），国内的COVID-19 累计确诊病例81518 例、累计死亡病例3305 例，都低于本文测算的数据。这说明政府采取的防控措施比本文设想的更加高效。

4 结论

COVID-19 疫情在我国暴发后，在以习近平同志为核心的党中央的坚强领导下，全国人民齐心协力，采取了最强有力的防控措施，以罕见的“中国速度、中国规模、中国效率”阻止了病毒蔓延，这场斗争已经取得了阶段性重要成果。本文对COVID-19的传播动力学模型进行研究，主要结论如下：

(1)在经典SIR 模型的基础上，结合人口迁徙因素，提出基于有效距离的SIR 传播模型，通过模型计算结果与实际确诊病例的拟合对比，证明了新模型的有效性。引入干预项参数ξ 模拟政府的防控措施，建立有干预的SIR 传播模型，根据COVID-19 疫情的早期数据，分析了疫情的发展规律。从动力学方程的解和实际数据的比较来看，有干预的SIR 传播模型能够较好地反映疫情的趋势变化，为制订未来的疫情干预决策提供理论支持。此外，已有研究鲜有考虑区域之间人群流动行为对疫情发展的影响，本文提出的基于有效距离的SIR 模型和有干预的SIR 模型拓宽了COVID-19 传播模式的研究思路，做出了创新性的学术贡献。

(2)从模型的测算结果进行分析，降低感染率和致死率是减少感染者数量和病患死亡人数的主要手段，因此，在没有疫苗和针对性药物的情况下，防控隔离和集中收治仍然是控制疫情的最有效措施，从而证明了政府的干预手段起到了非常积极的作用。

(3)针对近期COVID-19 疫情在境外各国的快速蔓延态势，根据本文研究结果，与实际情况相结合，建议干预策略应从“群防群治”转变为“精准防控”，依托社区力量关注重点人群，有效防范输入性病例引起的继发传播。