页岩油压裂水平井变导流能力试井模型研究

叶义平，钱根葆，徐有杰 ，高 阳，覃建华

1.中国石油新疆油田分公司勘探开发研究院，新疆 克拉玛依834000

2.油气藏地质及开发工程国家重点实验室·西南石油大学，四川 成都610500

引言

近年来，在非常规油气储集层孔隙结构、非常规油气赋存状态等方面的研究取得了一些新的进展，促进了非常规油气的勘探开发进程[1-3]。随着水力压裂技术的不断进步，该技术在油气藏开发和提高单井产量方面起到了越来越重要的作用[4-5]。

在多段压裂水平井实际压裂过程中，压裂形成的裂缝宽度往往是在发生变化的，距离井筒越近，裂缝宽度越宽，距离井筒越远，裂缝宽度越小。试井分析技术是储层评价和储层、裂缝相关参数求取的重要方法。Horne 等[6]建立了多段压裂水平井试井分析数学模型，划分了多段压裂水平井渗流流动阶段，分析了多条裂缝间的干扰效应。Medeiros等[7]将源函数与边界元方法相结合，研究了矩形封闭油藏多段压裂水平井井底压力动态特征。王本成等[8]利用源函数理论、三维特征值法和正交变换等现代数学分析方法对多段压裂水平井模型求解；王镜惠等[9]建立了多段压裂水平井不对称垂直裂缝试井分析数学模型，分析了各影响因素对曲线的影响；王晓冬等[10]研究了盒状封闭油藏多段压裂水平井井底压力动态特征，给出了求解有限导流多段压裂水平井井底压力动态特征的新方法。以上学者在多段压裂水平井试井模型的建立过程中，假定每条裂缝的导流是保持不变的，对于实际压裂裂缝而言，沿裂缝方向，裂缝导流能力是在发生变化的。基于此，Luo 等[11]利用半解析的方法研究了均质油藏直井压裂井变裂缝导流能力对试井曲线的影响。对于多段压裂水平井变裂缝导流能力试井模型目前还没有太多的研究。针对储层应力敏感效应影响，欧阳伟平等[12]建立了多级压裂水平井三维数值试井模型，采用有限元方法对其进行了求解；祝浪涛等[13]建立了致密油藏直井体积压裂试井分析模型，分析了应力敏感对试井曲线的影响；赵超等[14-17]采用摄动变换的方法研究了应力敏感效应对多段压裂水平井井底压力响应特征的影响。

目前，试井分析模型未综合考虑储层应力敏感、变裂缝导流能力对裂缝性油藏多段压裂水平井试井的影响，采用定裂缝导流能力模型对低渗储层多段压裂水平井的解释结果与实际试井资料往往存在一些差异。基于此，就多段压裂水平井变裂缝导流能力试井数学模型展开研究，基于渗流力学基本原理，建立裂缝性油藏多段压裂水平井试井分析数学模型；通过Laplace 和Fourier 积分变换获得Laplace 空间无因次压力解，耦合储层模型解和压裂裂缝模型解，利用压降叠加原理求得模型在Laplace空间无因次井底压力；利用Stehfest 数值反演算法计算实空间无因次井底压力，绘制无因次压力和压力导数双对数曲线，进行流动阶段划分及曲线特征与影响因素分析，分析变裂缝导流能力与定裂缝导流能力在压力及压力导数曲线上的差异，以期为后期实测数据的拟合与分析奠定理论基础。

1 物理模型及其假设条件

裂缝性油藏多段压裂水平井物理模型示意图如图1 所示，模型基本假设条件如下。

（1）裂缝性油藏由基质和天然裂缝两部分组成，基质中的流体流入天然裂缝，然后沿天然裂缝流入压裂裂缝。

（2）天然裂缝、基质和水力裂缝中的流体流动符合达西渗流定律、等温渗流。

（3）忽略毛管力和重力的影响。

（4）多段压裂水平井以定产量qsc生产，第i条压裂裂缝的产量为qi。

（5）原始地层压力为pe，初始时刻各个系统中的压力等于原始地层压力。

（6）水平井位于顶底封闭板状油藏中心，裂缝高度等于储层厚度。

（7）考虑储层应力敏感影响，渗透率与压力的关系为[18]

根据室内压裂实验研究，裂缝导流能力沿裂缝方向的变化呈对数变化规律[19]

图1 裂缝性油藏多段压裂水平井物理模型Fig.1 Physical model of the multi-fractured horizontal well in naturally fractured shale oil reservoirs

2 数学模型的建立与求解

2.1 储层数学模型

基于渗流力学基本原理，建立三维无限大储层渗流微分方程；通过Laplace 积分变换和有限余弦Fourier 变换，求得三维无限大空间点源解；根据镜像反映原理得到顶底封闭、侧向无限大外边界连续压力点源解为[20-22]

根据式（4），对式（3）所给的点源解分别沿x和z方向积分得到顶底封闭、侧向无限大外边界条件下，第m条压裂裂缝Laplace 空间下无因次均匀流量面源解为[22]

2.2 裂缝数学模型

对于垂直裂缝而言，假定第m条压裂裂缝宽度为wfm，裂缝长度为Lfm，基于线性流模型，可以得到考虑应力敏感影响的无因次微分方程和对应的边界条件[23]

γD无因次应力敏感系数；

wfD无因次裂缝宽度。

式（6）是非线性很强的渗流微分方程，为了求解该模型，首先对该方程进行线性化处理，利用摄动变换方法

式中：pDLaplace 空间无因次压力，无因次；

mD摄动变换中间变量，无因次；

式（6）经过摄动变换并取其零阶解，得到线性化的渗流微分方程和边界条件如下

对式（8）所示的压裂裂缝方程进行积分并结合内外边界条件，得到考虑储层渗透率应力敏感影响的裂缝渗流微分方程解为

式中：

fDm0摄动变换之后第m条压裂裂缝在Laplace 空间零阶无因次压力；

whD0摄动变换之后不考虑井储和表皮Laplace 空间零阶无因次井底压力；

β—积分变量，无因次。

式（9）中等式左边第二项为考虑储层渗透率应力敏感影响储层压力解，经过摄动变换并取其零阶解储层井底压力解可以用式（5）代替。

式（9）右边为Fredholm 积分方程，直接求解较为困难，因此，将每条水力裂缝离散为N段，每段内流量均匀分布。

根据压降叠加原理，页岩油藏多段压裂水平井数学模型离散式为

式中：xmDm,n第m条压裂裂缝第n个网格中点无因次x坐标；

xDm,n?第m条压裂裂缝第n个网格端点无因次坐标；

ΔxDm?第m条压裂裂缝网格步长；

M—裂缝条数；

N—裂缝离散段数。

式（10）中，如果yDk=ywDm，可根据Ozkan 等[22]的研究结果计算贝塞尔函数积分；如果yDk≠ywDm，可通过辛普森数值积分计算贝塞尔函数积分。

式（10）组成了M×N的线性方程组，但有M×N+1 个未知数，未知数大于方程数，此时方程组存在多解，需要补充方程才能获得定解。根据质量守恒定律，M×N个裂缝离散单元总的流量等于压裂水平井生产的总流量，因此，有

根据杜哈美原理，得到考虑井储和表皮影响的页岩油藏多段压裂水平井井底压力

CD无因次井储系数；

S表皮系数，无因次。

根据摄动逆变换，得到考虑渗透率应力敏感影响的多段压裂水平井井底无因次压力

3 特征曲线与影响因素分析

利用Stehfest[24]数值反演，可得到考虑应力敏感影响的变裂缝导流能力多段压裂水平井井底压力响应特征曲线。图2 为页岩油藏多段压裂水平井变裂缝导流能力井底压力响应曲线。

图2 页岩油藏多段压裂水平井井底压力响应特征曲线Fig.2 Pressure response curve of the MFHWs for shale reservoirs

计算该特征曲线的基本参数为：无因次井储系数为5×10−6，表皮系数为0.01，裂缝条数为4，每条压裂裂缝靠近井筒无因次裂缝导流能力都为20，压裂裂缝长度都为40 m，参考长度为40 m，水平井长度为2 000 m，窜流系数为10−5，弹性储容比为0.1，无因次应力敏感系数为0.1，裂缝导流能力对数变化规律系数为1.0，储层天然裂缝渗透率为0.064 mD，储层厚度为10 m，原始地层压力为50 MPa，储层孔隙度为10%。在上述参数条件下，每条压裂裂缝平均无因次裂缝导流能力为12.5，为了变裂缝导流能力和定裂缝导流进行对比，定裂缝导流能力取变裂缝导流能力的平均值（12.5）。

根据压力导数曲线特征，页岩油藏多段压裂水平井变裂缝导流能力井底压力响应曲线可分为8 个流动阶段：第I 阶段为斜率为1 的纯井储阶段；第II阶段为压力导数曲线呈“驼峰”的表皮效应阶段；第III 阶段为斜率为1/4 的双线性流阶段；第IV 阶段为斜率为1/2 的线性流阶段；第V 阶段为围绕裂缝的拟径向流阶段，导数曲线呈值为0.5/M的水平线，当裂缝间距比较小时，该阶段压力导数曲线特征不明显；第VI 阶段呈斜率为1/2 的中期线性流阶段；第VII 阶段为窜流阶段，对于拟稳态窜流，窜流阶段压力导数曲线呈“凹子”特征；对于非稳态窜流，窜流阶段压力导数曲线呈平缓状变化；第VIII 阶段为系统拟径向流阶段，考虑储层渗透率应力敏感影响时，该阶段压力导数曲线不再是0.5 的水平线，而是呈上翘的曲线，储层应力敏感的影响也有可能影响早期径向流之后的每个阶段；如果每条压裂裂缝变裂缝导流能力的平均值等于定裂缝导流能力，变裂缝导流能力情况下早期阶段压力曲线值越高，这是因为：当裂缝导流能力沿裂缝方向变化时，裂缝末端裂缝导流能力低，流体流入井筒所消耗的压力高，早期阶段压力曲线值高。

图3 为应力敏感效应对页岩油藏多段压裂水平井试井曲线的影响。

图3 无因次应力敏感系数对页岩油藏多段压裂水平井试井曲线的影响Fig.3 Pressure response curve influenced by dimensionless stress sensitivity coefficient

无因次应力敏感系数主要影响中后期压力和压力导数曲线形态，无因次应力敏感系数越大，说明开采过程中储层渗透率降低得越快，流体流动越困难，流体从储层流入井筒所消耗的压力就越大，中后期压力和压力导数曲线上翘幅度越大。

图4 为裂缝导流能力分布对页岩油藏多段压裂水平井试井曲线的影响。为了分析裂缝导流能力分布方式对特征曲线的影响，本次分析沿井筒方向3种裂缝导流能力总和相等、不同分布对试井曲线的影响：（1）中高外低（依次为20，30，30，20）；（2）中低外高（依次为30，20，20，30）；（3）左高右低（依次为30，25，20，15）。当沿井筒压裂裂缝导流能力两端高，中部低时，早期双线性流和线性流阶段无因次压力和压力导数曲线最低（图4a）。图4b 中，随着时间的推移，裂缝流量从相等开始发生变化，在后期，井筒两端裂缝流量高于井筒中部裂缝流量，这主要是因为在多段压裂水平井生产过程中，井筒两端裂缝的泄油面积大，井筒两端裂缝流量高于井筒中间裂缝流量。这也很好地解释了不同裂缝导流能力分布下的压力曲线变化规律。在实际压裂过程中，当井筒两端裂缝导流能力高于井筒中部裂缝导流能力时，在同等条件下更有助于提高单井产量。

图4 裂缝导流能力对页岩油藏多段压裂水平井试井曲线和裂缝流量的影响Fig.4 Pressure response curve influenced by initial dimensionless fracture conductivity and rate distribution

图5 窜流系数对页岩油藏多段压裂水平井试井影响曲线。窜流系数反映基质向天然裂缝窜流的能力，窜流系数的变化只影响窜流阶段压力导数曲线“凹子”出现的时间早晚，不影响“凹子”的宽度和深度；窜流系数越大，窜流发生的时间越早，“凹子”出现的时间就越早。

图5 窜流系数对页岩油藏多段压裂水平井试井影响曲线Fig.5 Pressure response curve influenced at different inter-porosity flow coefficient

图6 为裂缝弹性储容比对页岩油藏多段压裂水平井试井的影响曲线。弹性储容比越小，天然裂缝中原油储集量越小，说明基质孔隙相对发育而天然裂缝发育较差，在基质向裂缝发生窜流前，天然裂缝供给能力越弱，生产压差越大，当基质向裂缝发生窜流时，需要较长的时间才能使基质岩块的压力与裂缝的压力同步下降，窜流阶段压力导数曲线“凹子”就越深越宽。

图6 弹性储容比对页岩油藏多段压裂水平井试井的影响曲线Fig.6 Pressure response curve influenced at different storativity ratio

图7 为裂缝导流能力变化系数对页岩油藏多段压裂水平井试井曲线的影响。

裂缝导流能力变化系数越大，裂缝导流能力沿裂缝方向递减越快，如图7a 所示。因此，裂缝导流能力变化系数越大，压裂裂缝末端裂缝导流能力越低，裂缝平均导流能力越低，储层中的流体流入井筒所消耗的压差就越大，早中期阶段无因次压力值越大（图7b）。

图8 为裂缝条数和导流能力对页岩油藏多段压裂水平井试井的影响曲线。

图7 裂缝导流能力变化系数对页岩油藏多段压裂水平井试井的影响曲线Fig.7 Pressure response curve influenced by conductivity change coefficient and hydraulic fracture numbers

图8 裂缝条数对页岩油藏多段压裂水平井试井的影响曲线Fig.8 Pressure response curve influenced at different hydraulic fracture numbers

图8 中，假定所有裂缝导流能力相等且不随裂缝方向发生变化。裂缝条数对试井曲线的影响主要在早中期，在水平井长度一定的情况下，裂缝条数越多，缝间距越小，早期围绕裂缝的拟径向流特征越不明显；在产量一定的条件下，裂缝条数越多，流体流入井筒所需要的生产压差就越小，早中期阶段无因次压力及导数曲线值越小。

4 结论

（1）页岩油藏多段压裂水平井试井特征曲线可划分为8 个流动阶段：纯井储阶段、表皮效应阶段、双线性流阶段、早期线性流阶段、早期拟径向流阶段、中期线性流、窜流阶段和晚期拟径向流阶段。

（2）所有无因次裂缝导流能力之和相等时，当井筒两端裂缝导流能力高于井筒中部裂缝导流能力时，在同等条件下更有助于提高单井产量。无因次裂缝导流能力沿裂缝方向变化梯度越大，早中期阶段无因次压力值越大，生产压差越大。

（3）无因次渗透率应力敏感系数越大，无因次压力及压力导数曲线上翘幅度越大。

（4）窜流系数越大，窜流“凹子”开始的时间越早；弹性储容比越小，窜流“凹子”越深越宽。