Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构轨迹综合的代数求解

李学刚，张丽娟，魏世民，李河清

(1.北京邮电大学自动化学院，北京100876；2.华北理工大学机械工程学院，河北唐山063210)

平面六杆机构可以实现丰富的连杆轨迹，与四杆机构相比，其具有运动所占空间小、便于实现停歇运动、易于取得有利传动角、可实现多重运动等优势[1]，但其尺寸参数较多，运动要求多样而复杂，尺度综合设计较为困难。目前，求解该问题的方法主要有图谱法[2-3]、优化法[4-7]、精确点法[8-11]等。其中：图谱法、优化法虽然能够完成平面六杆机构轨迹综合问题，但由于平面六杆机构尺寸参数较多，解域空间大，建立完备的数值图谱库和给定合理优化初值难度较大，使用这些方法进行机构综合有时难以得到精确的最优结果；精确点法通过建立约束方程，求解得到机构尺度参数，虽然可以得到较为精确的综合结果，但受机构未知参数个数的限制，无法实现多点位连续轨迹综合。

作者针对Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构，提出一种基于傅氏级数的连续轨迹综合的代数求解方法。与原有方法相比，该方法通过方程求解得到机构设计参数，其解的精度高，完备性强，且不需要提供优化的初值，也无需事先建立图谱库。有效扩大了代数法的适用范围，提高了连杆机构近似运动综合的求解精度和速度。

1 连杆曲线的傅氏级数表示

图1为Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构示意图。机构各杆长尺寸分别为l1、l2、l3、l4、l5、l6，机架AD与x轴的夹角为 β，A点到原点o的距离为r，旋转角度为 μ，α1为机架上的角∠GAD， α2、 α3分别为浮动杆Ⅰ、Ⅱ上的角∠EBC、∠PEF， θ1为连杆BC与机架AD之间的夹角，θ2为连杆EF的辐角，φ、φ0分别为机构的输入杆转角、初始位置转角，浮动杆Ⅰ、Ⅱ上E点、P点分别为连杆轨迹生成点。

Stephenson-Ⅲ平面六杆机构为多环组合机构，其可以看作在四杆机构ABCD上串联了一个二杆组EFG。其浮动杆Ⅰ上的E点产生轨迹曲线即为四杆机构ABCD的连杆曲线，浮动杆Ⅱ上的P点可以产生更为复杂的连杆曲线。

由文献[3]可知：当曲柄AB以 ω匀速转动时，角度φ、 θ1、 θ2、 ρ均为以时间t为变量的周期性函数，且有φ=ωt；E点和P点产生的连杆曲线为周期性封闭曲线，可以表示为以φ为变量的傅氏级数之和：

图1 Stephenson-Ⅲ六杆机构轨迹生成图Fig.1 Illustration of a planner Stephenson-Ⅲsix-bar linkage

2 平面六杆机构综合设计方程建立

由图1可以发现，完成Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构的轨迹综合，需要确定包括初始相位角在内的15个独立设计变量：r、l1、l2、l21、l3、l4、l5、l6、l61、φ0、β、α1、α2、α3、μ，为使所建立的综合设计方程求解方便，能够获取方程解析解，将该机构拆分成1个四杆机构和1个二杆组，分两部分求解机构的设计变量。

2.1 左侧四杆机构设计变量求解

如果以E点轨迹为综合目标，机构左侧四杆机构ABCD的综合过程可以完全等效为1个平面四杆机构轨迹综合问题。作者在文献[12-14]中已建立了基于傅氏级数的平面四杆机构轨迹综合的代数方法，提出了该机构轨迹综合设计变量计算的通用公式。应用该通式可以计算得到左侧四杆机构的10个设计变量，r、μ、l1、l2、l21、l4、l61、φ0、α2、β变量的计算公式如下：

2.2 右侧二杆组设计变量求解

由文献[14]可知，左侧四杆机构的设计参数可以得到12组解，将其与右侧二杆组的设计参数得到的4组解进行组合，最终可以得到48组Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构轨迹综合设计参数。将综合所得机构代入仿真程序，进行运动分析，检验是否存在曲柄，有无分支、顺序问题，并依据综合误差，最终可得到最优综合结果。

3 综合步骤

依据前面分析，可以建立Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构轨迹综合的代数求解方法，具体步骤如下：

1）将Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构拆分为四杆机构和二级杆组，根据E点的轨迹生成任务，利用式（5）得到连杆曲线的谐波参数cn，将其代入平面四杆机构轨迹综合的设计参数计算通用公式，得到左侧四杆机构的设计参数r、μ、l1、l2、l21、l4、l61、φ0、α2、β。

3）对所得48组综合结果进行运动仿真，检验其是否存在曲柄，有无分支问题、顺序问题，并依据综合误差，最终得到满足设计要求的Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构。

4 综合实例

实例：综合Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构，使其E点和P点实现的两条面包形轨迹，目标轨迹的具体坐标值列于表1中。

表1 E、P点轨迹采样点的坐标值Tab.1 Coordinatesof prescribed pointsof E and P

图2 生成轨迹与目标轨迹点的比较Fig.2 Comparison between prescribed points and the corresponding generated path

表2 目标轨迹点的傅式级数展开的谐波参数Tab.2 Fourier coefficients of coordinates of prescribed points

图2(a)、(b)分别为E、P两点目标轨迹与机构生成轨迹的比较。从图2中可以发现，该方法综合的机构能够较好地再现目标轨迹。

5 结 论

建立了一种基于傅氏级数的Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构轨迹综合的代数求解新方法。与已有的综合方法相比，该方法克服了精确点数目的限制，无需给定初值和建立数值图谱库，不需要进行查找和迭代运算，具有计算速度快、求解精度高、可重复性强的优点；该方法可以同时提供多种综合结果，为设计者提供更多的选择。如果该方法所得结果的精度不能满足设计要求，可将其作为初值进行优化综合，进一步得到满足设计要求的结果。