一种量子图像的中值滤波方案

赵 娅 郭嘉慧 李盼池

(东北石油大学计算机与信息技术学院 大庆 163318)

1 引言

1982年物理学家理冯曼首次提出了量子计算的概念[1]，这一概念为科技发展提供了新思路，然而因其对硬件的要求过高而落入低谷。直到20世纪90年代，大数质因子分解和无序数据库搜索的量子算法的相继提出[2,3]，验证了量子并行计算的强大能力，该领域理论及应用研究才得以深入展开。

1997年俄罗斯学者研究了量子图像识别问题[4]，随后，2003年文献[5]正式提出了量子图像处理的概念。量子图像处理的学科发展概貌可以参阅文献[6]。量子图像处理包括量子图像描述和量子图像处理算法[7]。在量子图像描述方面，主要包括：量子比特阵列模型[8]、实矢量模型[9]、纠缠图像模型[10]、量子图像灵活描述模型(Flexible Representation of Quantum Images, FRQI)[11]以及新颖的增强描述(Novel Enhanced Quantum Representation,NEQR)模型[12]。在量子图像处理算法方面，目前研究成果主要集中在：几何变换[13]、色彩处理[14]、图像置乱[15]、特征提取[16]、图像分割[17]、信息隐藏[18]、图像加密[19]和均值滤波[20]等。此外，量子计算与密码学的融合研究也是一个值得关注的方向[21,22]。

虽然量子图像处理的相关研究逐步深入，但整体上还处于起步阶段，且相关方向的发展呈不平衡状态，在量子图像加密和量子图像水印[23]方面，相关成果较为丰硕，而量子图像滤波方面的成果相对较少。近两年来陆续出现了一些量子图像空间滤波方法，例如，文献[24,25]提出了空间域量子图像滤波的一般框架，文献[26]采用冒泡排序计算像素中值，提出了量子图像上午中值滤波方法。

本文提出量子中值滤波方案，对于中值计算采用了不同的方法，与现有方法的区别在于该方案的量子线路使用了较少的基本模块，从而具有更低的复杂度。另外，本文验证了所提方案在图像降噪方面的应用，经典计算机上的仿真结果表明，本方案与经典方法的降噪效果差别不大，但在将来的量子计算机上，借助量子计算的并行性，本方案可以实现对经典计算的指数加速。

2 预备知识

2.1 量子图像的NEQR描述

2.2 量子比较器

2.3 量子模加法器

量子模加法器用来执行| a〉和 | b〉两个无符号整数的模加法，量子线路如图3所示。由于量子计算的幺正性，该线路是可逆的，左右逆转该线路的方向即可实现两个无符号整数的模减法。加法器和减法器的矩阵描述互为共轭转置[28]。

注意，对于模加法器，Adder符号中的黑色线条的位置在右侧，根据量子计算的可逆性，当Adder符号中的黑色线条位于左侧时，即为量子模减法器。

3 量子图像的中值滤波设计

为便于描述，本文采用模块分解的方法，将量子中值滤波线路分解为若干子模块，最后再由这些子模块组合成总线路。下面首先介绍基本模块的量子实现。

3.1 复制模块

图1 一幅2×2的灰度图像

图2 量子比较器线路

图3 量子模加法器线路

3.2 循环平移模块

该模块的操作对象是量子图像的位置比特，包括循环左移、右移、上移、下移。显然该模块可采用模加法器和模减法器实现，具体线路图如图5所示。

3.3 中值计算模块

3.4 总体线路设计

图4 复制模块的量子线路

图5 复制模块的量子线路

表1 循环比较算法

4 量复杂度分析

图6 C2, C3, C9模块的量子线路

图7 中值计算模块的量子线路

图8 中值计算模块的量子线路

5 经典计算机上的仿真

由于目前量子计算机尚未普及，因此本仿真在经典计算机上进行，其中台式机配置为Intel(R)Core(TM) i5-3470 CPU @ 3.20 GHz 4.00 GB RAM，软件环境为Win7操作系统和Matlab (2014a)，虽不能验证量子计算的并行性，但能验证方案执行后的效果。

5幅图像滤波前后的峰值信噪比对比如表2所示，其中每种方案的左边一列是降噪后的PSNR，右边一列是与降噪之前相比PSNR的提高值。

从表2可知，本文方案的降噪效果略优于经典方案，对于椒盐、高斯、泊松3种噪声，本文方案滤波后的PSNR分别比经典方案平均提高1.71 dB,0.29 dB, 0.11 dB。另外，与3种噪声图像降噪之前的PSNR比较，两种滤波方案均分别提升17 dB,10 dB, 7 dB以上。这说明中值滤波方法比较适合于椒盐噪声的降噪。关于本文方案略优于经典方案的原因，是因为对于图像的边缘区域，中值的计算方法略有不同，由于滤波罩不能移出图像之外，所以经典方法一般忽略边缘像素；而本文采用循环移位的方法完整地处理了包括边缘区域的所有像素，从而导致滤波后图像的PSNR相比经典方法略有提升。

对于量子图像处理，当量子图像在量子信道中传输时，有时会发生量子比特翻转，由此导致的信息失真称为量子比特翻转噪声。下面考察本文方法对于量子比特翻转噪声的滤除效果，具体方法是，首先使 q个灰度值比特分别按某一概率阈值翻转，翻转后的图像即为混入量子翻转噪声的图像。然后采用本文方法滤波去噪，并统计滤波前后图像的PSNR。

对于图9中的5幅图像，当概率阈值分别取0.05,0.06, 0.08和0.10时，本文方案对于量子噪声图像滤波前后的PSNR对比如表3所示，其中“滤波后”中的左边一列是滤波后的PSNR，右边一列是与“滤波前”相比PSNR的提高值。

从表3可知，随着概率阈值的提升，加入的噪声也增加，降噪效果呈下降趋势。但对于表3中给出的4种概率阈值，滤波后图像的PSNR与滤波前相比，均有16 dB以上的提高。仿真结果验证了本文方案对于量子噪声有较好的降噪能力。以图9(b)为例，在表3中的4种概率阈值下，噪声图像分别如图10(a)-图10(d)所示，降噪效果分别如图11(a)-图11(d)所示。

图9 仿真中用到的5幅灰度图像

表2 两种方案滤波前后的峰值信噪比对比(dB)

表3 量子噪声图像滤波前后的峰值信噪比对比(dB)

从图11可知，随着概率阈值的增大，提出方案的降噪效果逐渐减弱，这与表3中的数值结果是一致的。关于本文方案适合滤除量子比特翻转噪声的仿真结果，我们给出如下解释。

本文方案中，量子图像采用NEQR描述。量子比特翻转噪声，本质上是二进制像素值每个二进制位的随机翻转，这种翻转具有脉冲噪声的效果。中值滤波是一种非线性的图像平滑方法，它能够很好地滤除脉冲噪声，同时又能够保护目标图像边缘。量子中值滤波是经典中值滤波的量子版本，具有经典中值滤波的优点。因此量子图像中值滤波适合滤除量子比特翻转噪声。

6 结束语

针对量子图像处理中的中值滤波问题，本文研究了基于量子计算的设计方案。从设计若干基本模块的量子线路入手，通过组合基本模块，逐渐得出了总体线路的设计方法。与现有文献的不同之处在于，本文采用了新的中值计算方法。复杂性分析表明，本方案可以实现对经典方案的加速。仿真结果表明，本方案适合于经典椒盐噪声和量子比特翻转噪声图像的降噪处理。目前制约量子图像处理发展的问题之一是基本数值运算(中值、均值、均方差、协方差)的量子实现，如何设计这些基本运算的量子实现方法是我们下一步重点研究的问题。

图10 不同概率阈值下的量子比特翻转噪声图像

图11 不同概率阈值下量子噪声图像的滤波效果