基于单边光学微腔中量子点自旋辅助的自避错纠缠态分析

韩雨成，罗姝彤，赵宇，刘阿鹏

山西工程技术学院，山西 阳泉 045000

量子纠缠在量子信息处理(QIP)［1］中起着决定性作用，它在量子通信中是一种重要的量子资源，例如量子隐形传送［2］、量子密钥分发［3］、量子秘密分配［4］、量子密集编码［5，6］、量子安全直接通讯［7，8］等等.为了完成一些重要的量子信息处理任务，完整地分析纠缠态是很有必要的.多体系统［9～12］的纠缠态，例如:Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)态［13］，已经被广泛地研究了.1998 年，Pan 和 Zeilinger［14］在线性光学元件的基础上提出了第一个光子 GHZ态分析［11，12］方案.1999年，利用线性光学元件，两个 Bell态分析(BSA)方案被提出.然而由于线性光学量子门的概率特性，八个三光子GHZ态中只有两个可以被区分出来［12］.这之后，利用交叉科尔非线性，Barrett［10］等人和 Guo［13］等人分别提出了 Bell态和 GHZ 态的分析方案.

基于GaAs/InAs的带电量子点(QD)内的电子自旋，是一个对固态量子计算有前景的候选者.最近的工作说明，它在量子信息处理和量子网络中有广阔的前景［15～27］.一个带电量子点的电子自旋的相干时间可以长达 3 μs［15，16］，并且电子自旋的弛豫时间会更长( ～ ms)［27，28］.此外，将一个量子点嵌入到固态腔中相对较容易，并且易操控和初始化［19～21］.基于一个囚禁在光学腔内的带电量子点，许多有趣的量子信息处理方案已被提出［22～26］.然而，在实际条件中，对于基于腔量子电动力学(腔QED)系统的量子信息处理任务来说，由于不完美的非线性相互作用，它们的保真度和成功概率会或多或少被量子点-腔系统的参数影响.尽管人们可以利用错误更正方案解决这个问题，但这会消耗更多资源［27］，所以找到一种自避错的方式来实现量子操作对于量子通信和量子计算会有重要意义.2011年，Kastorynao［28］等人提出一个方案来制备最大纠缠态，即利用腔衰退来提高保真度，这可以预告出错误.在2012年，基于一维波导内单发射子的光子散射过程，Li［29］等人提出一个高保证度的方案来实现原子-光子纠缠门，即使在弱耦合条件下，也可以实现高保证度的最大纠缠门.之后，两个相似的通过腔辅助光子散射过程的自避错量子计算方案分别被Li［30］等人和Borges［31］等人提出.2016年，利用量子点双边腔系统［32］，另外一个自避错的超纠缠Bell态制备和分析方案也被提出.之后，几个自避错量子计算方案也被提出［33～38］，在这些方案中，计算错误可以被光子损失预告出来，这是一个对于量子通信和量子计算很有意义的特性.

本文中，我们提出光子和量子点之间的受控相位反转门，对于光子的Bell态分析.由于弱耦合、原子自发辐射或者输入光子的频率不匹配所引起的物理错误，都被投影到预告性的光子探测上而不会导致计算错误.所以这些方案对于实验缺陷具有内禀的鲁棒性，同时对于未来的量子通信和量子计算很有意义.

图1 负电荷激子X-的自旋依赖跃迁示意图(a)单边光学微柱腔内的单电荷量子点，(b)量子点的相对能级和光学跃迁.Fig.1 Schematic for the spin-dependent transitions for negatively charged exciton X-.(a)A singly charged QD inside a single-sided optical micropillar cavity，(b)The relative energy levels and the optical transitions of a QD

1 一个量子点腔耦合系统的单光子输入输出过程

我们考虑一个量子系统，它由一个量子点耦合到一个单边微柱腔组成，如图(1a)所示.单电子基态有Jz=±1/2，分别表示为|↑〉和|↓〉，光激发态是由两个单态反对称电子和一个Jz=±3/2(|⇑〉和|⇓〉)组成的trion态(|↑↓⇑〉或|↓↑⇓〉).基态和trion态之间的跃迁|↑〉↔|↑↓⇑〉和|↓〉↔|↑↓⇓〉分别对应吸收一个右圆极化光子和一个左圆极化光子.在弱激发近似下，我们可以绝热地消除腔模，得到反射系数为

通过设置g=0，量子点未耦合到腔的冷腔反射系数可以写为

这里γ代表量子点衰减率，κ和κs分别描述腔衰减率和腔泄漏率.式(1)和(2)表明入射光子的反射系数不同，它们取决于量子点在空腔中的自旋态［23，24］.具体的说，假设量子点最初被制备在|↓〉态，当腔内注入左(右)圆极化单光子脉冲时，它应由量子点-腔系统反射，并成为输出脉冲|ψ〉out，L=r1(ω)|L〉(|ψ〉out，R=r0(ω)|R〉).相反，如果量子点自旋处于态 |↑〉，则输出结果为 |ψ〉out，R=r1(ω)|R〉(|ψ〉out，L=r0(ω)|L〉).

假设一个左圆极化态的光子|L〉被注入自避错单元，这个自避错单元如图2虚线框所示，其中量子点被初始化为|ψ+〉=α|↑〉+β|↓〉(|α|2+|β|2=1).如虚线框所示，光子将穿过半波片(H1)并被量子点-腔系统反射，或由于入射光子与腔模不匹配而直接被腔反射［39］.然后，由原子和光子组成的系统态演变为(没有归一化)

这里的η是输入耦合率，用于测量腔模与入射单光子脉冲之间的模式匹配［39］.光子通过H2和X后，复合系统态变为

2 一个光子和一个量子点自旋之间的自避错受控相位反转门

利用上述过程，我们现在说明怎样实现光子和电子自旋之间的自避错受控相位反转门.假设光子和电子自旋的初始态分别是:|φ〉p= αp|R〉+ βp|L〉和|ψ+〉e= αe|↑〉+ βe|↓〉，这里|αp|2+|βp|2=|αe|2+| βe|2=1.

光子被注入到极化光分束器1(PBS1)的入口，它透射右圆极化光子而反射左圆极化光子.右圆极化的波包|R〉将会直接穿过部分透射镜而左圆极化波包|L〉将会穿过如图2中虚线框所示的自避错单元.

图2 自避错相位反转门和双光子极化Bell态分析仪的原理图.虚线框中的部分是自避错单元(ERU).PBSi(i=1，2，3)是一个圆极化光分束器，它分别在右圆极化中传输光子在左圆极化中反射光子.Hi(i=1，2)是对光子的极化自由度进行Hadamard操作的半波片.X是一个对光子执行极化比特翻转操作的半波片，T是一个具有透射系数为T的部分透射镜.Fig.2 Schematic for the error-rejecting CPF gate and two-photon polarization Bell state analyzer.The part in the dashed box is an error-rejecting unit(ERU).PBSi(i=1，2，3)is a circularly polarized beam splitter which transmits the photon in the right-circular polarization|R〉and reflects the photon in the left-circular polarization|L〉，respectively.Hi(i=1，2)is a half-wave plate which performs Hadamard operationon the polarization DOF of photon.X is a halfwave plate which performs a polarization bit-flip operation σx=|R〉〈L|+|L〉|R〉on the photon.T is a partially transmitted mirror with the transmission coefficient T.

具体来看，左圆极化波包首先会通过H1并且与量子点-腔系统相互作用，然后由量子点-腔系统反射的波包会通过H2和X，这个复合系统的态变为

这里|ψ－〉e=αe|↑〉－βe|↓〉.如果右圆极化波包|R〉穿过PBS2并且被探测到(带下划线的那一项)在自避错单元内的单光子探测器响应了，这个受控相位反转门就失败了.如果对于两个光子，单光子探测器都没有响应，这个过程就继续，左圆及右圆极化的两个波包会在PBS3处重新结合到一起，最终包括光子和量子点的复合系统的态可以表述为

它本质上就是一个在量子点自旋和光子量子比特之间的两量子比特受控相位反转门.我们应该注意到，在最终的态里，反射系数rm仅仅出现在一个整体系数T里，如方程(6)所示.因此一旦此受控相位反转门成功，它的保真度是鲁棒的，并且对于实际实验条件是有抵抗性的.

3 自避错两光子Bell态分析

如图2所示，我们的两光子Bell态分析方案可以两步实现.假设两光子处于一个可因式分解的态，

这里 | α1|2+| β1|2=| α2|2+| β2|2=1.同时，辅助量子点自旋是在态下制备的.

首先，光子p1被注入到极化光分束器的入口，类似于第2部分.光子通过H2和X后，由量子点和光子组成的复合系统演化为

这里带有下划线的项将由检测器检测到.

其次，另一个光子(标签p2)被注入到极化光分束器的入口.同样，光子通过H2和X后，演化结果由下式给出

我们应该省略右极化光子的那一项，因为它们将被检测器D吸收，从而导致态变为

4 成功概率与实验可行性

在以前的基于腔量子电动力学的方案中，光子损耗、腔衰减、原子自发辐射和不完全耦合率等非预期的实验有害因素可能会降低方案的保真度并引起计算错误.因此，为了达到高的保真度，参数和 g2＞ ＞ κTγ(κT= κ+κs)是需要的［15～18］.但是在我们的方案中，由于反射系数r1和r0只出现在全局系数中，因此计算错误被映射到预示性的光子探测中.因此，方案的保真度仅与单量子比特操作有关，而由局域实验缺陷引起的错误只会降低成功概率，而不会降低保真度.利用光子与量子点之间自避错的相位反转门，我们构造了光子量子点的Bell态分析器，它可以在自避错模式下工作.

图3 实线和虚线分别是无回收程序的相位反转门的成功概率与g/κ的函数关系，当κs=0.2κ和κs=0.1κ.这里取ω =ωc= ωX－，γ =0.1κ，这些在实验上可以实现.Fig.3 The solid line and the dashed line are success probabilities of the CPF gate without recycling procedure vs g/κ for κs=0.1κ and κs=0.2κ ，respectively.γ =0.1κ，which is experimentally achievable，and ω = ωc= ωX－ are taken here.

当利用理想单光子探测器，即使在几乎真实的条件下，单光子探测器的未响应也标志着具有鲁棒保真度的相位反转门的成功，这对于光子量子比特的Bell态分析至关重要.探测器D探测到右圆偏振的一个光子的概率是

它等于无回收程序的相位反转门的成功概率.

在自避错相位反转门过程中，单光子探测器D的响应表明相位反转门失败.如公式(5)所示，当图2中的单光子探测器响应时，量子点自旋被投射到|ψ+〉状态，这与量子点自旋的初始状态完全相同.发生这种情况的概率为

我们可以输入另一个处于|φ〉p状态的光子，重复相同的步骤，直到探测器没有探测到光子.这一过程可能最终将量子点-光子系统投射到所需的态|ψ〉3，从而使相位反转门的成功概率更高.当使用一个每秒产生10 000个单光子的高效单光子源时［40］，我们可以在短时间内完成该方案.

考虑到回收过程，自避错相位反转门的总成功概率ξt为

同样地，根据方程(10)，我们得到了光子的Bell态分析成功概率为

为了简单起见，我们首先取η=1，因为它不会影响保真度，只降低我们方案的成功概率.我们在图3中绘制了不使用再循环程序的受控相位翻转门的成功概率ξs作为比率g/κ的函数.当光子与空腔共振时，g/κ=2并且γ/κ =0.1时，在共振散射的情况下，总成功概率可以分别达到ξt=0.664和ξt=0.468当κs/κ=0.1和κs/κ=0.2时.此外，在基于腔量子电动力学的方案中，单光子脉冲线宽通常会引入额外的失真度［15～18］.但是，就像利用单色光子波包那样，它不会给现有方案带来计算错误［30］.考虑到计算错误成功概率的降低，实际输入-输出耦合率η＜1［39］，我们的方案可能会比以前的方案更有效和实用.

5 总结

综上所述，利用一个量子点-单边腔单元，我们提出了一种自避错形式的光子与量子点自旋之间的相位反转门，双光子系统极化自由度的Bell态分析方案.实验缺陷会降低成功率，而不会降低保真度，这与以往的光子与量子点腔系统相互作用的方案有很大的不同，因此这些方案具有固有的鲁棒性，比以前的方案更实用.所有的优点都保证了目前的方案在实际的量子计算和未来的量子通信中的应用.