依据课标，回归知识本质 立足育人，引领数学教学

赵桂芳 庄宇

一、指导思想

2020 年辽宁省初中学业水平考试数学试题以《中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》和《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》为指导，遵循《辽宁省教育厅关于进一步推进高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》的具体要求，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，从有利于培养德、智、体、美、劳全面发展的社会主义建设者和接班人，有利于维护教育公平，有利于中考、高考改革的衔接出发，以引领辽宁省初中数学教学方式和学生学习方式为导向，为培养适应辽宁经济社会发展的各类人才提供有力保障。

二、命题依据与思路

命题依据：“课程标准”是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求，是教材编写、教学、评估和考试命题的依据。辽宁省初中学业水平考试数学试题以《义务教育数学课程标准（2011版）》为唯一依据，既不人为拔高标准，也不任意降低要求。

命题思路：紧扣“课程标准”要求的知识与技能、过程与方法和情感态度价值观，全面考查“课程标准”要求的初中生应具备的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，加强新时代下对学生数学核心素养和学习能力的考查，着眼于培养“全面发展的人”。试题要考查学生能否结合具体情境发现问题并提出数学问题、能否从不同角度分析问题并选择恰当的方法解决问题、能否用适当的方式来表达所解决的问题;试题素材要符合学生认知水平和生活经验，体现公平性和适切性;试题设计要考虑到整张试卷阅读量的适宜性，要注意语言、图形、文字的准确性和规范性;试题要有利于学生思考与探索、理解与体验，尽可能让不同层次的学生个性地展示自己的学业水平;试题要蕴含方程、函数、建模、转化、分类讨论、数形结合等多种思想方法，考查学生对基础知识和基本技能的理解与掌握情况;试题要考虑学业水平考试的“两考合一”性质，兼顾结业与选拔，要有较好的效度、信度和区分度;试题力争做到：立意高远、导向正确、科学规范、师生满意、专业引领。

三、试卷结构

试卷分为选择题、填空题和解答题三种类型。选择题为四选一的单项选择题;填空题要求直接填写结果，不必写出计算过程或者推理过程;解答题包括计算题、作图题、证明题、应用题等，解答题应写出文字说明、演算步骤、推证过程或按题目要求正确作图。

试卷共25道试题，满分150分，其中选择题10道题，满分为30分;填空题6道题，满分为18分;解答题9道题，满分为102分。“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个领域内容的总体分值比约为 4∶4∶2，“综合与实践”的考查融合在以上三部分内容中，所占的分值不超过试卷满分的10%。试题按难易程度分为低、中、高三档， 三档试题的分值比例约为7∶2∶1。试题知识结构比例如表1所示。

四、试卷亮点及典型题分析

（一）依据课程标准，确保双基落实

学业水平考试不仅要考查学生对初中数学基础知识的掌握情况，也要考查学生以这些知识为载体，在综合运用这些知识的过程中所反映出来的基本的数学能力。本套试卷全面覆盖初中数学“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”的主要内容（“课程标准”中的一、二级目标100% 覆盖，三级目标94% 覆盖），对学生的抽象思维、空间观念、统计观念、合情推理与演繹推理等数学目标的达成进行了考查。题目避免了繁、难、 偏、怪，体现了九年义务教育阶段数学课程的基础性与普及性。如选择题的第 1～9 小题，填空题的第 11～14 小题，解答题的第17，18，19，20（1），21，22（1），23（1），24（1），25（1）题都属于考查数学基础知识的题型。起点较低，考查的知识相对单一，内容大都来源于教材，将教材中的例题、习题通过简单地类比、加工改造而得出，学生很容易上手并能正确解答。加强了知识的有效整合，增加了试卷的概括性和综合性。

（二）尊重学生差异，展示学业水平

本套试卷既面向全体学生，让每个学生都有成功的体验，又有较好的区分度，为学有余力的学生留有展示自我的空间。试题设置从最基本的知识开始，由浅入深，由易到难，符合学生的解题习惯和思维特点。综合题各小题的难度呈缓慢上升的变化趋势，入口浅、重逻辑、思维深，且每个小题都有三种或三种以上的解答方法，合理区分了不同层次的考生，具有较高的信度、效度和必要的区分度。

第21题，如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表。

请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度。（结果精确到0.1米。参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（选择一种方法解答即可）

分析：本题是以学生所熟悉的生活情境为背景，从综合与实践的角度出发设计的方案设计类原创试题，呈现了用不同的测量方案解决实际问题的方式。亮点是学生可以自主选择方案，具有较大的思考空间和创造性，让不同层次的学生都有“用武”之地，较好地避免了学生因机械记忆而产生的测量误差，实现了要求学生经历能用数学思维分析现实情境，利用数学知识解决问题的过程，考查学生运用“问题情境—数学模型—解释应用”的问题解决模式解决问题的能力。根据解答的结果，能较好地推断学生解决同类测量问题的能力和水平，可以提高试题的信度，而且通过数学问题的生活化，可以彰显数学的价值。

（三）立足学科素养，促进全面发展

本套试卷通过数字信息作出解释和推断，考查数据分析观念（第7，8，19题）;通过经历图形变换过程，考查空间观念（第10，16，24题）;通过理解算理、运用运算法则进行准确计算，考查数学运算素养（第3，4，17题）;通过设置经过合理推断或猜测类的问题，考查直观想象和逻辑推理素养（第15，16，22，24，25题）;通过设计综合与实践类问题，考查数学抽象和数学建模素养（第8，21，23题）;在问题解决中重视对学习过程和形成的经验的考查，对初中数学的日常教学起到了积极的导向作用。

第15题，如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=45°，分别以点A和点B为圆心，大于[12] AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为 。

分析：本题作为原创试题，将基本尺规作图融于以菱形为背景的图形性质与判定的推理与计算之中。综合考查学生对菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式化简等主干知识的掌握情况。尺规作图，不仅要求学生能依据作法准确作出图形，还要求学生利用已掌握的数学原理解释尺规作图的作图原理。这一过程中体现了学生的不同思维水平，使得本题具有较好的效度。

第16题，如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E和点F分别为AD，CD上的点，将△DEF沿EF翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH[?]AB交BC于点H，过点F作FG[?]BC交AB于点G. 若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为 。

分析：本题作为原创试题，涉及矩形的性质、轴对称的性质、辅助线的构造方法、三角形相似的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法等相关知识，能较好地考查学生通过观察、分析、联想、迁移解决问题的能力，发展学生的空间观念和应用意识，提升学生的空间想象、几何直观、运算能力、推理能力及综合运用所学知识解决问题的能力。本题关注学生的个性化思维，有多种思维策略和解题方法（至少有4种解法），为通过多种途径正确解答本题提供了较好的基础。这样做较好地解决了不同解法的等价性，提高了试题的信度。

（四）重视思维过程，凸显思想方法

数学是思维的体操，数学思维是学生数学素养的重要体现。本套试卷以考查数学思维为核心，注重知识整体性与知识之间内在联系的考查，突出对数学知识形成与发展过程及灵活运用的考查，体现思维深度。数学思想方法是数学的灵魂，是数学的本质，也是学生数学能力高低的主要体现。本套试卷的第 4，10，14，20，25 题考查了数形结合思想;第 15，16，21 题考查了化归思想;第 6，7，19题考查了概率统计思想;第 8，16，22，23，24题考查了函数和方程思想;第10，14，20，24，25 题考查了数学建模思想、分类讨论思想和化归思想。

第10题，如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A、点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF=AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG。设AE=x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）

分析：本题是借助点在射线上移动与不定线段旋转的复合运动类原创试题。正确解答需要深刻了解点E在不同路段的运动过程中相应的函数关系，在一定程度上能有效考查学生确定运动变化过程中的函数关系的能力。本题将代数与几何自然地结合在一起，考查了空间想象能力、逻辑推理能力与计算能力，体现了数形结合思想，而面积的表示和图象的画法体现了数学建模思想、分类讨论思想和化归思想。因为答案的迷惑性，使得本题具有很好的区分度，有益于难度分布的均衡性，具有较好的效度和可推广性。

（五）强调数学应用，回归知识本质

本套试卷以核心概念为抓手，以培养数学能力为目标，强调了数学与生活的联系，让学生的学习回归知识本质。第6，7，8，18，19，21，23题都取材于生活，提供了“问题情境—建立模型—求解—迁移与应用”的学习过程，让学生通过自己的主动探究与思考，体验数学与生活的密切联系，获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力和创新意识，体现了“用数学”的基本理念。

第19题，某服装厂生产A品牌服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装[x]件时，批发单价为[y]元，[y]与[x]之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数[x]为10的正整数倍。

（1）当100≤[x]≤300时，[y]与[x]的函数关系式为;

（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？

（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装[x]（100≤[x]≤400）件，服装厂的利润为[w]元，问：[x]为何值时，[w]最大？最大值是多少？

分析：此题是一道以实际生活为背景函数综合应用问题，以教材的例题、习题为基础，将两个不同的函数呈现在同一实际问题中，要通过用函数表示出问题中的等量关系，再借助函数的性质来获得对实际问题的解决。正确解答本题需要通过“问题情境—建立模型—转化为数学问题—解决数学问题—解决现实问题”的过程，可以培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决的能力，让学生体会学习数学的实际价值，较好地体现了对函数应用的考查。本题各问的设置由浅入深、紧密相连，有利于学生正常水平的发挥，能有效区分不同学生的认识水平，考试结果具有较好的效度、信度和可推广性。第（3）问需要分情况讨论（分段函数）并对结果进行比较判断，使得本题具有较好的区分度。

第7题，在市运会射击比赛选拔赛中，某校射击队甲、乙、丙、丁四名队员的10次射击成绩如图所示，他们的平均成绩均是9.0环。若选一名射击成绩稳定的队员参加比赛，最合适的人选是（）

A.甲 B.乙

C.丙 D.丁

分析：本題是以实际背景为依托的统计问题，考查对统计量的正确理解，根据离散图中情境的内在联系挖掘隐含的信息、作出预测推断的能力。使学生加深理解统计量在分析数据分布情况中的作用与意义，形成用数学的意识。本题设计的主旨不是套用方差公式进行机械地计算，而是考查学生通过数形结合的思想体会刻画数据离散程度的意义。统计观念较弱的学生也可能会将数据直接代入方差公式进行计算，这样虽然计算量不大，但相对而言会耽误一些时间，一定程度上使得本题具有较好的区分度。

（六）增强考查效度，提升试卷质量

本套试卷力求运用有限的题目更多地覆盖初中阶段的核心知识和思想方法，增强试题的考查效度。

第24题，如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG。

（1）当点F在线段AD上时，

① 求证：BE=DG;

② 求证：CD-FD=[2]BE;

（2）设正方形ABCD的面积为[S1]，正方形CGFE的面积为[S2]，以C，G，D，F为顶点的四边形面积为[S3]，当[S2S1=1325]时，请直接写出[S3S1]的值。

分析：本题是以点的运动为前提，以正方形为依托的“旋转+放缩”类原创试题，考生通过观察、操作、猜测、归纳、类比、合理推断等数学活动，探索动态变化过程中存在的恒等量关系，再用演绎推理证明结论成立，然后借助已有经验创造性地解决新的问题。

本题通过设置两个不同要求层级的小题，实现难度的梯次分布：第一问学生很好上手，为相当一部分学生顺利寻找解题入口提供了一般性思路，也为解答第二问提供了一定的支持;第二问中，三条线段之间的数量关系是确定的，但这种确定性需要考生深入探究后才能获得。本问解法多样，可以考查考生的思维层次，有利于保证整张试卷的信度;第三问是第二问结论的延伸和拓展，需要学生主动对前面解决问题的过程进行反思和提升。

第25题，如图1，直线y=x-4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线[y=-12x2+bx+c]经过点B和点C（0，4），△ABO从点A开始沿射线AB方向以每秒[2]个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0

（1）求抛物线的解析式;（2）当tan∠EMF=[43]时，请直接写出t的值;（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的[12]，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP=FP时，求t的值。

分析：本题是以平面直角坐标系为背景的代数与几何综合应用类原创试题，是由三角形的平移引发点、线、角的变化，借助函数知识来研究图形运动变化过程中的数量关系的问题。第（1）问是基础题，考生能轻松解决;第（2）问难度不大，但个别考生会因为考虑不周而丢解，从而增加本题的区分度;第（3）问有一定的难度，寻找等量关系列方程求解是考生能想到的思路，但上手较慢，属于拉分题。

本套试卷仅仅通过第24，25两道压轴题就覆盖了“课程标准”要求的初中学生应该掌握的“正方形的性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、三角形相似的性质、平面直角坐标系、用点的坐标表示线段长、等腰三角形的性质与判定、线段中点的性质、三角函数、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质、一元二次方程的解法”等核心知识。整个解题过程涉及知识的综合运用和空间想象、数形结合、数学建模、类比化归、分类讨论等数学思想方法，考查学生从特殊到一般、从直观到抽象、从感性到理性的思维过程。这样设计，既可考查学生解决问题的策略，也可考查学生迁移知识、解决问题的整体能力，从而在整体上确保了试题具有较好的效度。

（七）关注育人功能，体现导学导教

本套试卷通过选取合适的素材，将社会主义核心价值观自然融入到试题中，发挥试题的育人功能。如第8题，以《九章算术》中的一道有趣的“水深葭长”问题为背景，引领学生关注数学文化，增强建模意识（方程模型），体会数学的应用价值。第11题，以“全国保护修复湿地”为背景，考查了科学记数法，让学生在解决问题的同时增强环保意识。第21题，以“数学活动小组要测量某建筑物的高度”为情境，让学生自己选择方案并做出解答，考查学生表达解决问题的能力，增强应用意识和创新意识。

另外，本套试卷超过90%的试题是原创题，保证测量公平性的同时，减少了因机械训练、押题、猜题等对考试产生的负面影响，形成了积极的教学导向。

五、教育教学建议

每一次考试，对学生来说都是阶段学习效果的检测，对教师来说都是阶段教学效果的评估。2020年辽宁省初中学业水平考试的相关数据统计结果，让我们发现了新的问题，看到了日常教学中存在的不足，为了让日后的课堂教学更有针对性和实效性，特提出如下建议：

（一）落实学科育人，提升学科素养

学生对知识的掌握、经验的积累、乃至解题能力的提高，都必须建立在学生的身体力行之上，要让学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程。注重培养学生收集处理信息的能力、语言文字的表达能力，让学生在参与数学思维活动、经历知识产生发展过程中逐步提高创新意识和实践能力。引导学生用数学的眼光分析生产、生活及其他学科中的一些具体问题，培养数学应用意识和建模能力。引导学生在问题解决中，体会数学与人类社会的密切关系，培育并发展学生用数学知识和数学方法处理解决生活中实际问题的能力。

（二）强化课堂阵地，加强学法指导

在平时教学中，不能脱离“课标”、教材而大搞“题海战术”，应重视新旧知识之间的连接点和由旧知到新知的生长点，跨越學科界限、章节界限、甚至是学段界限，强化整体设计，让学生经历数学知识的发生、发展过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法，并构建起初中数学学科的基础知识网络。在复习教学阶段，教师不能随意扩大知识范围，任意提高复习题的难度，要毫不吝啬地剔除某些复习资料中的偏题、难题和怪题，抓住基础，让学生掌握其精髓。要注意给学生更多的空间与自由支配的时间，积极指导学生制定自己的学习计划，鼓励学生自主探索和合作交流，促使学生形成有效的学习策略，帮助学生认识自我，树立信心，使全体学生在情感态度、价值观等方面得到健康的发展。

（三）重视思想方法，回归数学本质

数学思想方法是数学学科的重要特点，是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的桥梁，是培养学生良好数学观念和创新思维的重要载体。在教学中可引导学生学会阅读、审题、获取信息、解决问题，将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用。应重视将数学思想方法渗透入教学的全过程中，并通过不断积累经验，形成解决问题的意识和能力。要善于将学生从思维定势中解脱出来，使其养成多角度、多元化分析问题的习惯，培养其思维的广阔性、缜密性和创新性。对例题、习题的学习，不能就题论题，要以题论法，充分挖掘其中所蕴含的数学思想方法。

（四）立足教材本身，开展综合实践

“综合与实践”是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，其教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养应用意识和创新意识。可以说，“综合与实践”所涉及的内容是宽泛的，如北师大版《义务教育教科书·数学》中的“制作视力表”“设计遮阳棚”等，人教版《义务教育教科书·数学》中的“体质健康测试中的数据分析”“制作立体模型”等。基于该领域内容本身具有的探索性、实践性和应用性，建议教师要多研究课程标准，选择合适的课题开展“综合与实践”活动，注意活动内容的适切性和活动形式的多样性。让学生在设计方案、合作探究、交流分享、反思改进、撰写报告的过程中，提高观察能力、动手能力、思维能力、质疑能力、表达能力和写作能力。

（五）关注数学阅读，助力思维深化

数学阅读是从书面数学语言中获得意义的心理过程和智力过程，初中阶段是学生数学阅读能力发展的关键时期，因此应当引起我们的高度重视。在数学课堂教学中，可以创设适当的问题情境来激发和保持学生的数学阅读兴趣;可以发挥教材的示范作用，选择课题学习类题材做阅读示范，培养学生数学阅读的习惯;可以加强数学语言转换的训练，让学生会运用自然语言来解释较抽象的数学内容，帮助学生更好地理解和内化，等等。

（六）營造教研氛围，带动深度学习

有效教研是引领教师成长、带动学校发展、助力学生成才的重要手段之一。建议利用网络环境的跨时空特点，进行线上线下融合教研，打造学习型、研究型的教研队伍，形成专业化系统化的教研体系。建议开展主题式教研，让碎片的知识系统化、逻辑化，让争议的问题明朗化、清晰化，让基于经验的教学变成理性的思考、深入的钻研、高端的设计、精彩的生成。通过务实、接地气的教研活动，引领广大教师更新教育理念、扎实业务功底、提升教学水平、厚植教育情怀。只有教师沉下心来深度思考，才能带动学生的自主探究和深度学习。

（责任编辑：杨强）