基于灰色关联改进TOPSIS法的既有建筑抗震加固方案优选

李慧民，熊 雄，董美美，熊 登，周崇刚

（西安建筑科技大学 土木工程学院，西安 710055）

随着建筑业的快速发展，我国的一些既有建筑由于建设年代较早，已经不符合现行抗震设计规范的要求。当建筑物达到或超过设计使用年限时，结构抗震性能呈下降趋势，不宜继续服役，因此需对其进行检测鉴定和加固。对于一些有使用价值但不满足现行抗震规范要求的既有建筑进行抗震加固处理，延长使用寿命和提升性能意义重大。

目前，国内相关专家学者对既有结构加固方案优选进行了深入的研究，并取得了一定的成果。王宇赞［1］采用模糊综合评判法结合多属性目标决策的知识构建了混凝土结构加固方案优选模型；李杰［2］利用层次分析法对加固方案评价指标体系进行了层次划分，构建判断矩阵和评价矩阵优选出了最佳方案；靳辉［3］以价值工程为理论基础，建立了混凝土框架结构加固方案的优选模型；姜禹等［4］将基于赋权关联度法应用于桥梁加固方案优选相关问题的研究中；李家骏［5］建立了火灾后受损混凝土框架加固方案优选模型，以加权广义马氏距离改进的TOPSIS法决策出了最佳方案；李义广［6］提出了组合主客观权值信息的赋权法，并利用TOPSIS模型对既有砖混结构抗震加固方案进行了优选。

通过文献对比研究发现，当前关于结构加固方案优选研究存在以下问题：①指标赋权常采用单一化的主观或客观赋权法；②决策方法及理论缺乏创新。针对上述问题，本研究在总结现有研究和决策方法的基础上，采用群决策相对熵集结法和改进熵权法组合方式进行指标赋权，以灰色关联改进TOPSIS法构建加固方案优选模型，以一种新的相对贴近度形式决策出最佳方案，优选过程客观合理。

1 指标体系的建立

评价指标体系表现了评价对象各个方面的特性以及各特性间的相互联系，指标的选择对评价结果影响很大。在遵循指标体系构建基本原则的基础上，查阅相关文献和结合实际工程，在此将结构可靠性、经济合理性、技术可行性和整体效益性作为既有建筑抗震加固方案评价的4个主要指标，并依据既有建筑抗震加固目的及其结构状态和受力情况等建立抗震加固方案综合评价指标体系，如图1所示。

2 组合赋权灰色关联改进的TOPSIS模型

2.1 评价指标处理

假设有m个抗震加固备选方案，每个抗震加固备选方案包括n个评价指标，建立决策矩阵X＝（xij）m×n（xij为第i个加固备选方案第j项指标下的初始值，i＝1，2，…，m，i＝1，2，…，n），ωj为指标权重，0≤ωj≤1且

由于方案优选指标体系中各指标的含义、计量单位和量纲不同，为弱化指标间因数量级差异及量纲不同对综合评价结果造成的影响，需对评价指标进行归一化处理。

1）效益型指标［7］，即属性值越大越好的指标，其归一化值为

2）成本型指标［7］，即属性值越小越好的指标，其归一化值为

3）定性指标，采用七级因素等级集E＝｛很差，差，较差，中，较好，好，很好｝，在其论域［0，1］上，对评价集E赋值为E＝｛0.05，0.2，0.35，0.5，0.65，0.8，0.95｝。

由式（1）（2）对定量化指标进行规范化处理及采用七级因素等级集对定性指标进行量化赋值处理可得到规范化决策矩阵Y＝（yij）m×n（yij为第i个备选抗震加固方案第项指标下的规范化数据）。

2.2 确定组合权重

1）群决策相对熵集结法计算指标主观权重

群决策相对熵集结模型［8］是对多目标进行评判决策的主观权重赋权法，此法克服了群决策特征根法的不足且操作简单，具体计算步骤如下：

步骤1：构造群决策矩阵H＝（hij）m×n（hij为第i个专家对第j个指标重要性的评分值，采用五分制，i＝1，2，…，m，j＝1，2，…，n）。

步骤2：求标准化决策矩阵K＝（kij）m×n。

步骤3：求群偏好向量 μ＝（μ1，μ2，…，μn）。

式中：δj＝1／m为专家Sj的决策权重，且专家个体间无差异进行平均赋权，求得的群偏好向量μ＝（μ1，μ2，…，μn）即为各评价指标的主观权重。

2）改进熵权法计算指标客观权重

熵权法是指标数据本身确定指标权重的客观赋值法，传统的熵权法存在如下的弊端，如rij＝0，rijln（rij）＝0的特殊约定，同时当rij＝0和rij＝1时，rijln（rij）＝0，为减小传统熵权法的局限和弊端造成的影响，在此以改进熵权法求指标客观权重，具体过程如下：

步骤1：计算第j个指标的信息熵权［9］

步骤2：计算第j个指标的差异系数

步骤3：计算第j个指标的客观权重

3）计算组合权重

组合主客观权重，当二者的权重都取最大值时，计算得到的组合权重才最大。在此将第i个备选方案第j个指标的指标权重wj定义为

2.3 灰色关联改进TOPSIS法

1）传统TOPSIS法

由标准化后的决策矩阵Y＝（yij）m×n和组合赋权确定的权重向量构造加权规范化矩阵：

步骤1：构造正理想解R+和负理想解R-。正理想解设为负理想解设为效益型和成本型指标集的正负理想解为

步骤2：计算各备选方案到正负理想解的距离：通常所计算的为欧式距离，与正、负理想解的距离分别为其中：

步骤3：计算贴近度并进行排序：贴近度Ci值越大，备选方案的排名则越靠前，反之亦然。

2）改进TOPSIS法

由上述可知，TOPSIS法作为一种常用的多属性决策方法，具有计算简单和结果可靠等优点，但也有缺陷［10］，当2个评价对象位于正负理想解的中垂线上时，对于正理想解的欧式距离可能对于负理想解的欧式距离相等，导致无法判断评价对象的优劣性，如图2所示。基于此提出采用灰色关联理论对传统TOPSIS法进行改进，构造一种新的相对贴近度形式决策出最佳方案，基本步骤如下：

步骤1：将上述组合赋权求得的评价指标集的权重向量W＝（w1，w2，…，wn）与规范化决策矩阵Y＝（yij）m×n的每一列相乘得到加权规范化矩阵Z。

步骤2：确定正理想解，并将其作为灰色关联改进TOPSIS法中的参考序列：

其中，Zi（j）为各备选方案的Zij值。

步骤3：计算各备选方案与正理想解Sij的灰色关联系数［11］

式中，ξ为分辨系数，0≤ξ≤1，通常取 ξ＝0.5。

步骤4：根据求得的灰色关联系数sij可得灰色关联系数矩阵S＝（sij）m×n，确定矩阵S＝（sij）m×n的正理想解和负理想解，计算公式为

式中si（j）为各备选加固方案的sij值。

步骤5：与传统的TOPSIS模型相比，改进的TOPSIS模型主要是对待评价对象与最优解和最劣解的评价值公式进行了改进［12］，分别计算第i个备选抗震加固方案到正理想解和负理想解的欧式距离：

步骤6：计算各备选抗震加固方案的灰色关联相对贴近度：

根据灰色关联相对贴近度Di的大小，对其进行排序并进行优选，Di最大者为最佳加固方案。

3 实证分析

为验证模型的有效性和可行性，在此选用本团队实际参与的工程项目——某宿舍楼为例［13］。该建筑物建于20世纪90年代，为4层砖混结构，建筑面积约为113 2 m2。楼板和屋面板形式均采用混凝土现浇板，墙体由普通烧结砖和水泥砂浆砌筑而成，东西向长为36.3 m，南北向宽为7.8 m，标准层层高为3.3 m，其结构平面布置如图3所示。

现场调查与检测发现墙体存在裂缝，用PKPM软件构建模型（如图4所示）进行分析与校核，发现抗震不满足现行国家规范的相关要求，为保证后续安全居住，需对其进行抗震加固处理。

相关研究中关于既有建筑结构抗震加固的方法有很多，现场通过对该既有砖混结构现状检查和受力情况的综合分析，提出了3种可供选择的抗震加固方案：A钢筋网水泥砂浆面层；B钢筋混凝土面板；C钢绞线-聚合物砂浆面层。

3.1 评价指标赋值

由图1可知：既有建筑抗震加固方案优选过程中涉及的评价指标因素较多，且各指标间因含义、计量单位和量纲的不同会对评价结果造成影响，因此需将评价体系中的指标进行简化处理，在此将评价指标以定性指标进行计算，借助模糊理论按其性质分为若干等级，在定性目标的论域［0，1］上给出评定值。本研究采用上述提及的七级因素等级集对各评价指标进行赋值，从而得到既有砖混结构抗震加固方案中各评价指标的原始值，见表1。

表1 抗震加固方案综合评价指标原始值

由于定性指标已经是规范化形式，无需再进行归一化处理，故得到规范化决策矩阵Y。

3.2 计算组合权重

1）计算主观权重

邀请7个专家，专家个体间无差异，采用五分制对评价指标彼此间的重要性进行综合评分，得到群组决策矩阵H。

由群决策相对熵集结法公式（3）和（4）求得各评价指标的主观权重 μ＝（0.113 1，0.088 0，0.088 0，0.084 4，0.073 4，0.098 6，0.081 0，0.084 4，0.062 7，0.043 3，0.098 6，0.084 4）。

2）计算客观权重

由改进熵权法式（5）～（7）求得客观权重ν＝（0.012 9，0.043 9，0.043 9，0.099 3，0.016 7，0.063 3，0.018 1，0.260 7，0.179 3，0.040 3，0.043 9，0.177 7）。

3）计算组合权重

由式（8）将主观权重和客观权重进行组合，求得组合权重W＝（0.018 0，0.047 8，0.047 8，0.103 8，0.015 1，0.077 3，0.018 1，0.272 3，0.139 2，0.021 6，0.053 5，0.185 6）。

3.3 灰色关联改进TOPSIS法确定最佳方案

由式（15）求得加权规范化矩阵Z为

由式（17）求得灰色关联系数矩阵S为

根据式（20）和（21）分别计算备选抗震加固方案A、B和C到正理想解和负理想解的欧式距离

根据式（22）求得备选抗震加固方案A、B和C的灰色关联相对贴近度DA＝0.519 2，DB＝0.568 4，DC＝0.368 5，由于DB＞DA＞DC，故B＞A＞C。由式（9）～（14）求得传统TOPSIS法下的各备选加固方案的贴近度CA＝0.732 8，CB＝0.850 4，CC＝0.155 7，故B＞A＞C。对比可知，2种计算方法结果一致，即采用单面钢筋混凝土板墙加固。以上结果充分说明基于灰色关联改进TOPSIS法建立的加固方案优选模型是有效的，并且计算结果可信度高。

4 结论

1）既有建筑抗震加固中涉及到的经济和技术指标颇多，要综合考虑指标因素间的关联性，因此有必要对评价指标体系进行修改完善。同时不同结构类型加固时的侧重点不同，加固时结合具体工程建立合适的评价指标体系对于准确、合理优选加固方案具有重要意义。

2）采用群决策相对熵集结法和改进熵权法组合的方式进行指标赋权，避免了单一赋权主客观性对赋权结果造成的不良影响，使评价结果更加科学准确。

3）采用灰色关联理论对传统TOPSIS法进行改进，构造一种新的贴近度形式以决策出最佳抗震加固方案，更具理论实践性和操作性。