优化数学训练系统 强化作业育人功能

周远方

数学训练系统，即对数学教材的例题、练习题、思考题、习题和复习参考题等的统称。数学训练系统作为作业设计和数学教学的重要组成部分，既有复习巩固、综合运用、拓广探索数学知识和思想方法的作用，更有训练思维、示范引领、诊断反馈和提升数学学科核心素养等育人功能。对学生而言，无论是数学概念的形成、数学知识的理解和数学方法的掌握，还是数学思想的领悟与获得、数学理性思维的培养与发展和数学核心素养的习得与养成，都必须借助训练系统来实现。因此，数学训练系统设计的好坏，将直接影响学生数学学业质量的高低。

基于数学训练系统既是实施数学作业设计的主要来源，也是落实数学核心素养的重要载体，本文依据“双减”政策背景下的作业设计指南，以《普通高中教科书·数学》（人教A版）中“数列”单元训练系统和作业设计为例，对如何优化数学训练系统、落实数学核心素养、强化作业育人功能的具体做法进行说明，以期对单元训练系统与单元作业设计有所启发和帮助。

科学规划训练蓝图，确立单元训练系统的功能定位

所谓训练蓝图，主要是以数学训练系统的质量指标为依据，以数学训练系统和数学核心素养的层次结构为两轴，按照横纵两个方向，关联训练目标、训练内容和訓练难度，并编制相应的多维细目表，分成多个维度说明各项训练指标的达成度和核心素养的落实度。

科学规划训练蓝图，有助于理清单元内容、作业要求和训练目标之间的关系，有效发挥训练系统对学生数学核心素养的诊断功能;有助于依据主题学业要求，精心设计单元作业，细化落实发展学生数学核心素养的训练功能;有助于多个维度设计训练计划，促进“教、学、练、评”活动的一体化实施，充分体现训练系统对发展学生数学核心素养的育人功能。

构建数学训练系统质量评价指标。研究表明，影响数学训练系统质量的宏观指标和微观指标较多，但配置度、难易度、层次度是影响数学训练系统结构层次的三个主要因素，而情境、内容和过程则是落实数学核心素养的三个操作要素，将它们作为评价数学训练系统的质量指标是比较合理的。

编制数学训练系统多维细目表。编制数学训练系统的多维细目表，首先要遵循如图所示的宏观设计思路。

其次要兼顾如下具体编制步骤：一是从结构层次和数学素养两个轴向设计数学训练系统的结构框架;二是从复习巩固、综合运用和拓广探索三个层次划分数学训练系统的训练类别;三是从数量、类型和层次三个维度规划数学训练系统的实施品质;四是从情境、内容和过程三个维度评价数学核心素养的落实程度。

核心素养立意的数学训练系统，必须体现“知识为基、能力为重、素养导向、价值引领”的设计理念。因此，在编制数学训练系统的多维细目表时，既要深刻理解数学核心素养的具体表现，又要整体把握数学核心素养之间的相互关联。这种关联反映在题目上就表现为一道题有多个数学核心素养的要求，或者多个题组合体现一个数学核心素养。基于此，多维细目表的内容指标可分为三个子维度：核心知识（即该题所涉及的数学知识中最突出的一个）、思想方法（即该题所涉及的数学思想方法中最突出的一个）、关键能力（即该题所涉及的数学能力中最突出的一个）。以编制“数列”单元复习参考题的多维细目表为例（详见表1）。

可以看出，该表既给出了本单元复习参考题的整体布局，又细化了本单元需要重点提升的数学运算、逻辑推理和数学建模素养的落实要求;既能看出单元复习训练目标的安排是否合理，是否突出了以数学知识为基础、以问题情境为载体、以思想方法为引领、以关键能力为宗旨和以核心素养为导向的综合特征，又能使数学训练系统设计更加贴近教材内容、贴近教学需求和贴近学生实际，使复习参考题发挥更大的训练价值，凸显更好的训练品质。

当然，实际编制过程需要经过多次循环，在这个循环过程中，既要有教材编写者的反复推敲，又要有一线教师的广泛参与，还要有教学实验的实际检测和学生练后的个案访谈，只有依靠集体的智慧和力量，经得起实践的检验和反馈，才能使数学训练系统的质量得到保证。

分类细化作业设计，提升单元训练系统的整体质量

尽管多维细目表规划和明确了数学训练系统发展学生数学核心素养的整体布局，但对如何利用数学训练系统设计单元作业尚未给出具体要求，还需要对“怎么做”给予分类细化解析，给出落实单元作业的操作指南。为此，可以通过“四化”策略，进一步阐释单元作业要求，以利于落实单元数学核心素养，提升单元训练系统的整体质量。

数学单元作业设计的“四化”策略。细化单元作业结构。可采取基础性作业与拓展性作业、必做题与选做题、长作业与短作业、实践性与跨学科、线上作业与线下作业等相结合的设计方式，提供不同层次的作业菜单，细化作业结构的多样性、层次性和差异性。强化单元作业设计。可采用“导、联、串、变”的设计方式，从立足于教材导学、联通、串题和变式出发，突出举一反三和反三归一，达到解一题、会一类、通一片的功效，强化作业设计的整体性、典型性和示范性。优化单元作业质量。可采取开放式、实践式和探究式的设计方式，通过征题、选题和组题构建单元作业题库，突出单元作业目标一致、内容科学、表述规范，便于选取，优化作业设计的情境性、开放性和有效性。深化单元作业评价。可采取真实性原则、公平性原则、简洁性原则和一致性原则，建立单元作业质量评价体系，对作业进行“控量提质”，避免教学、作业与评价的脱节，深化作业评价的系统性、专业性和实践性。

数学核心素养落实的具体举措。针对“数列”单元需要重点提升的三个数学核心素养：数学运算、逻辑推理和数学建模，需要按照复习巩固、综合运用和拓广探索三个层次要求进行分层落实。在整体谋篇布局上，既要十分注重复习巩固侧重于基础知识和基本技能的落实，综合运用侧重于基本数学思想方法的渗透，拓广探索侧重于基本数学活动经验的积累;又要特别讲究复习巩固、综合运用和拓广探索的训练要求能相互照应、彼此融通，以满足不同层次学生的需求。为此，可将落实策略的重心锁定在以下四种具体做法上：一是依托基本量，突出数学运算素养;二是借助类比法，突出逻辑推理素养;三是赋予时代感，突出数学建模素养;四是融入数学史，弘扬传统数学文化。

合理制定评价细则，发挥单元训练系统的测评功能

目前国内外教育测量中常用评价方法主要有以下几种：分析评价法;等级描述型评价法;基本要素分析型评价法;多重计分评价法;SOLO分类评价法。这五种评价方法各具特点，有的侧重于对解题环节的评价，有的侧重于对学生认知水平的评价，有的侧重于对学生思维过程的评价，有的侧重于对解题策略和解答方法的评价，有的则是既注重解题结果又兼顾解答过程的评价，其主要特点和适用范围详见表2。

在实际评价单元训练系统时，可以根据不同类型题目对知识内容、训练要求、思想方法和关键能力等方面的不同侧重要求，来选取相应的评价方法和制订对应的评价细则。以基于结论引申推广的开放型评价题为例，根据推广结论的不同，评价的侧重点就会不同。由于学生可以采用的推广方法多种多样，因此制订评价细则主要依据是：①推广的结论是否正确？②推广的程度如何？③证明的过程是否正確？事实上，推广的程度反映了学生的思维程度，但在评价中推广抽象的过程是隐形的，因此评价包含着推广的结论和一般化程度两个基本要素，其所占的权重也不一样。其中推广的一般化程度，既能充分体现学生的逻辑思维过程，又能完整地展示学生的数学抽象素养，因此在评价时，所占的比重就更大。这类开放型评价题将学生置于抽象推理的环境中，在推广的程度、结论、证明的过程中展示其知识与技能、过程与方法和数学学科核心素养。因此评价不应只是简单地按答题结论评定等级或给分，而应根据题目所要测评的基本要素，依据所写的命题推广程度和证明过程，采用满意原则和加分原则给予评价，以求全面、客观地评价学生的数学素养。

数学训练系统是配合教材评价教学的一种标尺，也是单元作业设计和日常教学顺利实施的重要保证，其本身设置是否科学、合理、有效关系到对日常教学评价是否客观、公正、落实。通过优化数学训练系统，一是有助于提高数学训练系统的质量，扭转目前脱离教材、依托资料、机械刷题的教学训练现状，引导中学数学教学回归到以教材为本的正常训练轨道上;二是有助于单元作业的整体设计;三是有助于学生数学核心素养的达成。构建数学训练系统质量评价体系，不仅明确了数学教学为什么练、练什么和怎么练等问题，而且改变了传统单一的训练模式，形成了一种“以数学核心知识为载体、以数学思想方法为引领、以数学关键能力为主线”的立体化训练系统，因此，在教学实践过程中，还需要广大一线教师结合实际，不断探索和完善现有数学训练系统，进一步优化数学作业的设计质量和评价细则，强化数学作业的育人功能。

责任编辑/杨万军