对与流体压强相关的一些问题的梳理分析

蒋炜波 赵 坚

(1. 清华大学附属中学,北京 100084; 2. 昆明市五华区基础教育发展研究院,云南 昆明 650031)

1 引言

压强是中学物理中的一个重要经典概念,在初中阶段主要学习固体压强和液体压强,而在高中阶段则从微观上阐述了气体压强的产生原因,并详细学习了理想气体状态方程．长期以来,压强这个概念都是困扰师生的一大难点,究其原因,主要是对压强产生的微观机制认识不够清楚．比如压强与分子间作用力和分子热运动有什么关系?液体压强真的是因为液体受到重力产生的吗?失重状态下还有压强吗?为什么流体的压强与流速有关系?气体压强完全是气体分子连续碰撞容器壁产生的吗?鉴于此,为了帮助师生真正理解压强概念,因此有必要对与压强相关的问题做一些梳理分析．考虑到固体压强的已有分析已经很清晰,故本文着重探讨与气体压强和液体压强这两种流体压强相关的问题．

2 气体压强的产生机制

众所周知,压强的产生,既有分子热运动的贡献,也有分子间相互作用力的贡献,在固体压强中以分子间作用力贡献为主,在气体压强中以分子热运动为主,在液体压强中二者的贡献差异不是很大．此处先从比较容易理解的气体压强的产生机制进行探讨．

2.1 气体压强

对于理想气体,需要满足3个假设条件:气体分子间的作用力可以忽略不计,气体分子的体积与气体分子平均所占体积相比可以忽略不计(即气体分子的直径与气体分子的间距相比可以忽略不计),气体分子间的碰撞属于弹性碰撞．[1]

理想气体压强公式可以表示为

(1)

其中n为气体分子摩尔数，R为普适气体恒量.

对于实际气体,由于要考虑气体分子体积和气体分子之间的相互作用力,因此问题相对于理想气体较为复杂．其中对于气体分子体积的影响,需要将气体分子的体积从(1)式中的体积V中剔除即可,假设1 mol气体分子的体积为b,那么对于nmol气体,剔除分子体积以后的体积V′=V-nb,于是可以将气体压强公式修正为

(2)

显然这一压强与气体的温度有关,是由分子无规则热运动碰撞产生的压强．

(3)

其中a和b均是与气体种类有关的参数,可以通过实验进行测量．(3)式就是常称的范德瓦尔斯方程.该方程不仅仅对实际气体适用,也能够对液体压强进行定性分析．

需要说明的是,对于气体而言,分子间的相互作用力实在太小,气体分子间引力导致的负压只是一个极小的修正项．比如对于N2,其参数a=1.361 atm·(L/mol)2,b=0.0385 L/mol,可以计算出标准大气压下修正项负压约为-0.00271 atm,远小于1 atm．再比如水蒸气,其参数a=5.507 atm·(L/mol)2,b=0.0304 L/mol,可以计算出标准大气压下修正项负压约为-0.01098 atm,仍然远小于1 atm．因此,我们可以认为气体压强几乎就是由于分子无规则热运动碰撞产生的．

2.2 大气压强

大气压强本质仍然是气体压强,因此仍然是气体分子频繁撞击地面物体表面产生的,与大气是否受到重力并无直接关系．只不过在地球大气的环境下,地表的气体受到重力的作用,会对底部的气体产生大小与自身重力相等的压力,因此底部的气体分子彼此撞击时需要产生能够与上方气体重力相平衡的支持力,即产生气体压强,这正是大气压强的由来．[2]

理论上看,如果气体所处空间没有任何束缚(比如引力束缚、容器壁束缚),气体分子呈现完全自由的状态,将会不断散开,导致气体压强不断减小,若体积V趋于无穷大,则气体压强也就趋于0了．可见正是因为地球的重力把大气吸引束缚在一起, 才形成了大气层, 产生了压强,但受到重力作用并不是气体压强产生的直接原因,重力只是提供了一种束缚作用罢了．

3 液体压强的产生机制

对于液体而言,由于分子间相互作用的引力和斥力远超过气体,因此液体压强是分子热运动和分子间相互作用力共同作用的结果．虽然范德瓦尔斯方程不是直接通过对液体分析得到的,但是由于气态和液态之间是可以相互转换的,因此可以通过分析气态与液态的临界情况,将液体看作是极为稠密的实际气体,也能够得到一些关于液体压强的定性结果．

3.1 液体压强的微观机制

对于液体,前述(3)式右侧第一项V-nb将很接近0,因此这一项对应的压强将会很大,即由于液体分子无规则热运动产生的压强会很大．而且由于分子间的引力和斥力很强,因此(3)式右侧第2项的数值也会很大．这两项的大小关系与所处温度T直接相关,当温度足够高的时候,第2项的影响将相对不够明显,毕竟分子热运动受温度的影响,而分子间作用力大小则与温度无关．

我们知道,任何气体如果想要通过压缩体积完成液化,都需要到某一临界温度才能够进行,即在这一临界温度,可以通过等温压缩的方式,将气体液化为液体．于是便找到了一条通过气体逐渐逼近液体的途径,即在临界温度时,通过不断压缩体积到某一恰好能够液化的临界体积,那么此时气态与液态就已经没有分界线了,这时候的压强既是气体的压强,也是液体的压强．

以1 mol O2为例,其临界温度是154.78 K,临界体积为0.078 L,临界压强为50.14 atm.再比如1 mol的水蒸气,其临界温度为674.14 K,临界体积为0.056 L,临界压强为217.6 atm．前文已经用到水蒸气的参数a=5.507 atm·(L/mol)2,b=0.0304 L/mol,我们不妨将1 mol水蒸气的这些数据代入范德瓦尔斯方程右侧的两项[气体常量R=8.314 J/(mol·K)],便可以据此定性得到水蒸气在临界情况下的分子热运动压强pv和分子间作用力压强pF的大致数量级:

2.2×108(Pa)，

(4)

-1.8×109(Pa).

(5)

显然这时候按照范德瓦尔斯方程计算得到的压强之和为负值,并不符合临界压强为正值217.6 atm的结果,与实验测量值偏差很大.这也表明此时范德瓦尔斯方程的确已经不再适用了,但我们还是大致得到了分子热运动压强和分子间作用力压强的数量级,即应该为103atm以上,约为此时外部临界压强的10倍左右．如果我们将这一观点进行延伸,那么在标准状况下,水内部的分子热运动压强和分子间作用力压强也应该为外界气压的10倍左右,即约为10 atm数量级,但二者的总和只有1 atm数量级．

对于远离临界状态的液体而言,其分子间距较为稳定,液体体积较为固定,这时候液体压强的主要影响因素应该是液体的温度．此处不妨探讨一下液体等容变化过程．

假设有一个装满水的不可形变的可密闭导热容器,不计重力作用．在密闭之前,显然水的压强与外界标准大气压强相等．密闭以后,将容器和水的温度升高到超过水在标准大气压下的沸点,水并不沸腾,因为水的沸点升高了(与高压锅内压强增大,水的沸点升高类似)．这时候容器内的水完全不能汽化(因为没有多余的空间),分子间距也不可能发生变化,但是水的压强的确增大了(从沸点升高可判断压强增大),这一压强的增大正是由于温度升高后水分子无规则热运动加剧导致的．

3.2 被压缩液体的压强

前面关于温度影响液体压强的探讨是建立在直接固定分子间距的情形之下,那么如果固定温度,而改变液体分子间距又会怎样呢?下面继续探讨液体的等温变化过程．

仍假设有一个装满水的可形变的可密闭导热容器,不计重力作用．在密闭之前,水的压强与外界标准大气压强仍相等．密闭以后,保持环境温度不变,缓慢压缩容器的体积,显然这时候液体的温度始终与环境温度相同,分子热运动剧烈程度并没有变化,所以,压缩液体时压强的增大完全是由于分子间距变化造成的．此时,一方面因为液体体积减小导致分子数密度增大,从而使分子热运动碰撞频率增加,从而增大压强;另一方面则是分子间距减小,分子间相互作用的引力和斥力增加,导致分子间作用力引起的压强增大,从而增大压强．

但由于液体自身的可压缩性并不强,因此分子间距减小程度有限,进而所引起的分子热运动碰撞频率增加程度也实为有限,因此压缩液体时压强增加的主要原因乃是分子间距缩小引起的分子间作用力的变化．如果分子间间距缩小1/10,则压强将增加到104atm数量级．[3]

3.3 重力场下液体的压强

重力场下的液体压强,与液体种类和所在位置到液面的距离有关,并且在同种液体同一深度向各个方向的液体压强都相等．

图1 液体内部压强

首先,关于同一液体同一深度向各个方向压强相等,可以通过理论计算予以证明．假设在液体中有一个竖立的横截面为直角三角形的三棱柱,俯视图如图1所示,取两个直角边建立x和y坐标轴,与x轴垂直的侧面受到的压强为px,与y轴垂直的侧面受到的压强为py,而斜边侧面受到的压强为p,直角边与斜边的夹角为θ,设三棱柱的三边长度分别为a、b、c,三棱柱的厚度为d,则沿着x、y方向,由受力平衡可知:

图2 液体压强与深度的关系

pxad-pcd·sinθ=0,

(6)

pybd-pcd·cosθ=0.

(7)

显然,csinθ=a,ccosθ=b,于是得到px=p,py=p,用类似的方法便可证明在某一深度液体向各个方向压强均相等．

然后,对于液体压强与深度有关,可以取不同深度的同一竖直线上的C、D两点进行分析.以C、D为底作面积S很小的圆柱体,如图2所示,此时圆柱体竖直方向的受力关系为

pDS-pCS-mg=0.

(8)

于是便可得到

pD=pC+ρgh.

(9)

不难发现,液体压强与深度的这一关系,完全是因为液体受到重力作用导致的,如果不受重力(类似于g=0 N/kg),那么液体压强将不受深度的影响．

3.4 失重时液体的压强

我们经常说液体压强的产生是因为液体受到重力并具有流动性,那么如果在失重的情况下,液体内部还会有压强吗?现实教学中我们经常忽略液体上方的大气压强对液面的压力作用,这导致师生很容易认为失重环境下液体内部就没有压强了．

图3 托里拆利实验

这种对大气压强的忽略处理是不正确的．比如在地球上水面下1 m的位置,我们总是认为液体压强是104Pa,但是在标准大气压之下,该位置的压强其实是1.1×105Pa,需要将大气压强计算在内．这其实很容易理解,在托里拆利实验中,设大气压强为p0,水银柱高出水银槽液面h0=760 mm,如图3所示,A处左侧水银的压强为ρg(h0+h),A处右侧如果不考虑大气压强,其压强值仅仅为ρgh,A处左右压强不相等,这与液体内部同一深度向各个方向压强相等是矛盾的．因此,此时A处右侧的压强应该是ρgh+p0,由A处左、右压强相等,便得到了大气压强p0=ρgh0．

初中阶段限于学生认知水平有些时候忽略大气压强的做法,只是为了帮助初中学生更好地建立起液体压强的概念,原本应该在恰当的时候进行纠正,但可惜的是这一纠正在中学阶段并没有进行,因为高中物理已经不再涉及到液体压强内容,不得不说这是目前初高中物理教学衔接中的一大缺憾．

理解了这一点,我们就不会武断地认为失重状态下液体内部压强为0了．

需要明白的是,如果液体表面没有外界压强,那么液体将会迅速汽化,用蒸汽填充液体表面的空间,直到气压大到足够维持液体以液态的方式存在为止(所以托里拆利实验中水银柱上方严格意义上说并不是真空状态,其内部水银蒸气压约为2×10-3mmHg)．即使液体表面原本就没有空余的空间,就像在前文中讨论的液体等容变化那样,那么容器也会直接对液体表面施加压强．因此,液体表面一定会有外界压强作用．

以空间站中的水为例进行分析．由于水处于失重状态,那么液体深度对压强的影响自然就消失了,因此液体内部各个位置的压强都是相等的．如果空间站中的气体压强仍然为一个标准大气压1 atm,那么很容易想到此时液体内部的压强自然也为1 atm．

图4 表面张力

这种观点并没有考虑到液体表面张力带来的压强影响,但其实表面张力的影响是微乎其微的．如图4所示,如果在液体表面存在表面张力,那么对于假想的一条线元ΔL,其受到左右两侧的液体表面张力的大小ΔF应该与线元长度ΔL成正比,即ΔF=γΔL,比例系数γ称为表面张力系数．

图5 液滴内外压强

如图5所示是一个不考虑重力作用的标准水球,其半径为R,从中间水平将水球分为上下两半球.对下半球而言,其下表面受到外界压强p外,上半球对下半球在接触面处施加向下的压强p内.因为整个液体球面存在表面张力,因此在两个半球面的分界线处,下半球还会受到向上的表面张力2πRγ的作用,于是由受力平衡可得到关系

2πRγ+p外πR2=p内πR2,

(10)

即

p内-p外=2γ/R.

(11)

可见,表面张力会导致液体内部压强大于液体外部,且这一压强差反比于半径R．[4]常温下水的表面张力系数为γ=7.28×10-2N/m,对于半径为1 cm的水球,其内部压强比外部压强高出仅约15 Pa,与液体所处环境的气压相比的确可以忽略不计．但是如果球状液滴半径减小为0.1 mm,这一内外压强差将增大为1500 Pa,就不能再忽略不计了．

4 关于流体产生的作用力

4.1 对浮力的理解

我们知道,浮力是由于浸在流体中的物体受到的上下表面的压力差而产生的竖直向上托的合力,其大小等于物体排开流体的重力,此即为阿基米德原理．对于一部分或全部浸没在流体中的物体来说,物体表面必将与流体接触,而流体不同深度产生的压强不同,这样物体受到流体的压力必然不同,因此浮力的产生与研究物体的不同部分在流体中不同位置受到的压强不同有着直接关系．

(1) 阿基米德原理的论证.

图6 流体浮力与自身重力

如图6所示,不规则物体浸在流体中的体积为V,它自然要挤占原来该位置的体积也为V的流体(图6中的虚线部分)．对原来在该位置的体积为V的流体进行受力分析,其受到竖直向下的重力G流,以及周围流体施加给它的总的流体压力F(即受到的浮力F浮),如果流体原来并未流动,那么显然F浮=G液,而且方向相反,即浮力竖直向上．

现在的物体因为挤占了原本体积为V的流体的位置,周围流体对它自然会产生压力(即浮力)F浮′,显然由于周围流体并未发生任何其它变化,因此F浮′=F浮=G液,于是得到浸在流体中的物体受到的浮力与排开流体所受重力大小相等,二者方向始终相反．

(2) 阿基米德原理适用条件.

通常所说的浮力,主要是指在流体静力学范畴内的概念,并不包含流体阻力和流速差引起的压强差(压力差)．比如飞机在静止的时候,也会受到向上的浮力作用,称为静升力(即浮力)．当飞机飞行时,围绕机翼形成的环流,使机翼上下表面存在流速差,从而获得压力差,导致产生垂直气流方向的升力帮助飞机上升,为了区别于静升力(即浮力),有时也将之称为动升力．

因此,阿基米德原理适用的条件主要是流体处于静止状态或者匀速直线运动状态,至于物体自身的运动状态则不做任何要求,只不过要视情况考虑是否对物体添加流体阻力作用．比如飞机在飞行过程中,若空气静止,则飞机所受浮力大小仍然能够用阿基米德原理计算,只是此时飞机还受到动升力和流体阻力的共同作用．

4.2 对流体阻力的理解

(1) 流体阻力.

理想的流体,不存在粘滞作用,这时候物体在流体中匀速运动的时候不会受到流体阻力的作用,但是现实中的流体都是存在粘滞作用的,自然就需要考虑流体阻力了．

物体受到的流体阻力,与物体形状、粘滞系数、相对运动速度等很多因素都有关系．阻力的计算可使用公式[4]

F=0.5Cρv2S,

(12)

其中ρ为流体密度,v为相对流速,S为物体截面积,参数C称为曳引力系数,C的取值与流体中经常使用的雷诺数Re有着直接的关系．对于半径为r的球体,其雷诺数的表达式为

Re=2ρvr/η.

(13)

实验测量出的曳引力系数与雷诺数Re的关系,当Re较小(不超过10)的时候,C与Re近似成反比,此时的流体阻力计算公式,由斯托克斯在1851年给出,以球体为例,其在流体中运动时受到的流体阻力为式[4]

F=6πηrv，

(14)

称为斯托克斯公式,其中η为流体的粘滞系数,r为小球的半径,v为小球相对流体的运动速度.这就是某一物体所受的流体阻力与相对运动速度成正比的由来．

而当雷诺数较大的时候,C的取值趋于固定,约为0.4,此时球体受到的流体阻力的计算公式为

F=0.2πρr2v2，

(15)

其中ρ为流体密度,r为球体半径,v为相对运动速度.这就是某一物体所受的流体阻力与相对运动速度平方成正比的由来．

(2) 流体中的阻力与浮力.

以水为例,密度ρ为103kg/m3,粘滞系数η约为1×10-3Pa·s,对于一个相对运动速度1 m/s、半径0.1 m的初中物理常见球体而言,其雷诺数为105数量级,因此物体在水中受到的流体阻力通常用(15)式计算．估算可得流体阻力约为6 N,水产生的浮力约为40 N,此时这两个力差异并不是很大,都需要分析考虑．从这个角度看,初中物理中涉及到物体在水中运动的力学问题,命题时都应该向学生明确不考虑流体阻力,否则命题就存在科学性错误．

以空气为例,密度ρ约为1.29 kg/m3,粘滞系数η约为1.8×10-5Pa·s,对于一个相对运动速度1 m/s数量级、半径尺寸1 m的物体而言,其雷诺数达到了105数量级,因此物体在空气受到的流体阻力通常也用(15)式计算．比如下落的雨滴,假设半径为0.005 m,其最终趋于匀速运动,此时的流体阻力等于雨滴的重力.不难发现,这时候雨滴的流体阻力约为5×10-3N,而雨滴受到的空气浮力仅约为6×10-6N,浮力因为太小故而就没有必要考虑了．

5 结束语

流体压强的产生比较复杂,在中学阶段的物理教学中一定要考虑到学生的认知能力水平,既要不失概念的科学性,又要顾全到学生初学物理时概念建构的需要．因此教学中要有所取舍,比如对初中学生而言,气体压强的微观机制可以酌情使用,而表面张力、范德瓦尔斯方程等等则完全不需要提及,而对于高中学生,视情况可以适当补充表面张力等内容．

与此同时,教师还是应该给学生创设情境并带领学生做出力所能及的探讨,比如失重情形下是否还存在浮力、大气压强和气体压强的区别与联系等等,让学生能够对流体压强有更本质的了解,也为学生将来的物理学习留下适当的拓展接口．

最后,对于一些错误的认识在教学中则一定要摒弃．比如地面上液体内部的压强,其实应该将液体表面的大气压强计算在内,这一点一定要在托里拆利实验的分析中进行补充纠正．再比如设计到浮力的命题,一定要明确是否考虑流体阻力,否则会出现科学性错误．