对《万有引力定律》的教学思考：地球质量等于太阳质量吗？

林晓青

摘要：本文针对人教版高中物理必修2万有引力定律的教学中，学生由于“参考系的不同选择而算出太阳与地球质量相等”的错误观点从最初的“两体运动”规律出发，一步步推导，最后得出最准确的结果，即无论是以地球还是太阳为参考系，最后算出来的都是太阳与地球的质量之和（），并非说地球与太阳的质量相等。紧接着以所得到的结论，解释了开普勒第三定律的成立条件，并针对中学生教学，提出简单而又能让学生容易接受理解的例子，即“双星系统”来阐述本课题的结论！

关键词：参考系 ; 两体系统 ; 折合质量

在高中物理必修2万有引力定律的教学中，有学生提出这样的问题：如果知道地球绕太阳转动的周期T和引力常量G时，即可知道太阳的质量（设太阳质量为M，地球质量为m，并假设地球绕太阳做匀速圆周运动）;现在以地球为参考系，则由物体的相对运动规律，可知此时变成太阳绕地球做匀速圆周运动，且运动周期仍然为T（忽略其它星球对此系统的影响）。则此时由万有引力定律，可算出地球的质量m，且地球与太阳的质量相等！！试问，这样的思维过程，错在哪里？

解答：当地球绕太阳做匀速圆周运动时，由万有引力定律，有，可得出 （1）

反过来，当以地球为中心时，变成太阳绕地球做匀速圆周运动，则也有，可得出 （2）

这样一来，得到;显然，对于实际结果而言，这个结论是错误的。下面针对这样的错误作一个具体分析：

首先介绍一下大学物理中关于“两体运动”的一些基本情况。

令，则可得，这样就具有与牛顿第二定律相同的表达式子;物理上，把称为两质点系统（两体系统）的折合质量或约化质量。

这里简单说明一下引入“折合质量”的原因。牛顿第二定律是在惯性参考系中由实验现象及数据总结出来的规律，但它只能适用于惯性参考系中;而对于非惯性参考系，牛二定律将不再适用。这里引入“折合质量”的原因，正是为了在非惯性参考系中，两质点的相对运动在最后也能满足牛顿第二定律这样的形式，从而方便我们讨论。

现在再回到太阳与地球的两体问题。在实际的天体问题中，由于两物体之间的内力作用（已假设忽略其它星球对此系统的影响），太阳也不是静止不动的。则由前面的介绍，可得若以太阳为参考系，地球与太阳之间的相互作用力为，从而地球相对太阳的加速度大小

到这里，其实我们也可知道对于地球绕太阳运动时，地球的合外力

如果反过来以地球为参考系，则看成太阳绕地球做匀速圆周运动，算出的仍为。

总结：对于一开始所提出的问题，无论是以地球还是太阳为参考系，最后算出来的都是太阳与地球的质量之和，并非说地球与太阳的质量相等。

但是这里又会有另外一个疑问：开普勒第三定律中（其中M为中心天体，k表示常量），为什么只是除以中心天体的质量而不是除以呢？

这是因为开普勒在总结出开普勒第三定律的时候，是假设了中心天体是静止不动的;而对于这样的假设，其实是需要附加一个条件，即，即中心天体的质量要远远大于行星的质量。当然，在中学物理上，一般都是默许了这一条件。

所以，再次回到最初的问题上，如果，则无论以太阳为参考系或者地球为参考系，最后算出来的都是太阳的质量。

前面的推导过程是以大学物理的非惯性参考系中的物理规律为基础而算出结果的，但对于中学实际教学，又该如何向学生讲解，才能使学生较為容易接受呢？如果部分学生对于上面的解答过程的理解较为困难，也可考虑用中学生较为熟悉的“双星系统”来稍作讲解。当然，从本质上讲，“双星系统”问题也只是“两体系统”中的一部分。

行星运动中的“双星系统”指的是两颗恒星仅在彼此之间的引力作用下而绕着中心连线上的某个点做圆周运动。其实这个点正是该系统的质心所在的点！那么由双星系统，能够算出的也仅仅是两颗恒星的质量之和。

解答：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为、。根据题意有 ①

由这个例子也可看出，当时，，即可近似看成作为中心天体，是几乎静止不动的。这样一来，算出的近似为的质量的大小了。（完）

参考文献

[1]赵凯华、罗蔚茵. 新概念物理教程——力学. 高等教育出版社，2011.

[2]漆安慎. 力学. 高等教育出版社，2007.