巧用反证法 让数学解题“柳暗花明”

陈 辰

(安徽省六安第一中学 237009)

一、利用反证法，解决数列问题

高中数学的知识内容比较多，并且知识复杂繁多，在解题过程中存在不少的困难，使得学生难以完成解题.数列作为高中数学的重要知识内容，题目复杂多变，涉及到的知识内容比较多.部分数列问题在解题中，从正面思考有着很大的难度，面对这样的情况，教师可以引入反证法，帮助学生解决解题中的困扰，明确题目解题思路，快速、准确地解答问题，提高学生解题能力.

例1已知等比数列{an}的公比是q，其前n项和为Sn，判断数列{Sn}是否为等比数列.

点评面对复杂的数列问题，如果从正面求解比较困难，引导学生灵活利用反证法，节约学生解题时间，提高学生解题准确性，保证学生课堂学习效果.因此，在具体的解题教学中，应当打破以往解题方式的约束，加强学生发散思维培养，对所学知识进行综合理应，在最短的时间内容找到最佳的解题方式，提高解题教学效果.

二、利用反证法，解决命题证明题

1.唯一性命题解答

数学作为一门基础性学科，涉及到的数学概念、性质、公式等内容比较多，在实际的解题中，命题证明问题是常见的问题类型.不少唯一性命题的证明问题从正面是很难得到证明的.因此，面对命题证明问题，需要对题目类型进行分析，灵活引入反证法，从反面进行证明，完成唯一性命题的解题.

例如，在圆的知识学习中，所学学生都知道一个圆只有一个圆心，那么怎样去证明呢.面对这样的问题，教师可以引导学生从反面进行思考和证明.假设一个圆有两个圆心，分别是圆心O和圆心A，在圆内作出任意一条弦CD，找出CD的中点E，将AE和OE连接起来，在这样的情况下，经过直线CD的中点E存在两条直线和CD垂直.这样的结论和“经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直”的性质相互矛盾，因此，假设不成立，则证明一个圆只有一个圆心.

2.必然性命题解题

在必然性命题证明中，可以将题目中的结论加以否定，将原来的肯定命题转变成否定命题，通过相应的论证，推断否定命题不成立，得出原命题正确的几轮，完成题目的论证.因此，面对必然性命题解题时，需要对题目内容进行分析，准确分析其原命题，做出相应的假设.在论证时，应当保证其严谨性，避免出现论证遗漏等问题.

例2已知a、b、c均为正整数，并且a2+b2=c2，a为质数，求证：b、c两个数字必然是一个偶数、一个奇数.

解析在证明时，假设b、c两个数字都是偶数或者都是奇数，根据a2+b2=c2进行转化，c2-b2=a2，所有(c-b)(c+b)=a2，根据奇偶数的性质可以得出c-b和c+b都是偶数，所以得出a2为偶数.根据已知中a为质数，所有，当a=2时，则(c-b)(c+b)=4，通过求解得出b、c的值，根据题目中a、b、c都是正整数做出判断，证明b和c两个数字为一奇一偶.

3.解答无限命题

高中数学解题中，部分题目的条件比较少，从正面很难做到求解，因此，需要引导学生掌握反证法，从反面进行思考和解题，培养学生解题能力.

点评面对命题证明问题，引导学生对命题类型做出分析，根据其结构特点，做出相应的假设，根据题目内容进行分析，灵活利用反证法完成题目求解.

三、利用反证法，解答不等式问题

不等式作为高中数学的重要内容，不等式问题也是学生解题中的难点问题，对于一般的不等式问题，学生通过分析法、综合法和比较法就能完成解题，但是，对于一些较为极端的不等式问题，通过此三种方式很难解题，甚至不能完成解题.此时可考虑引导学生利用反证法解题，培养学生多种解题方式，强化学生解题能力.

例3已知a、b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2.

解题时，利用反证法进行解题，先假设不等式不成立.则有

a3+b30,所以a2-ab+b

点评高中数学不等式解题中，题目类型丰富多样，形式各不相同，虽然综合法、比较法等解题方式是常见的解题方式，解题更加准确、快速，但是，反证法有着其自己的优势，丰富学生解题方式，加强学生思维能力锻炼.

高中数学解题中，反证法是一种有效的解题方式，帮助学生解答疑难问题，明确解题关键点，找到最佳的解题思路.通过反证法的利用，加强学生逻辑思维能力培养，提高学生创新能力.因此，作为高中数学教师，应当根据题目类型，做出相应的分析，灵活利用反证法，有效解决数学难题，提高学生数学解题能力.