器、术、道：再谈课堂教学目标 ①

胡云飞

(江苏省溧阳市教师发展中心 213300)

1 从一道高考题说起

图1-1

图1-2

图1-3

这是填空题的压轴题.此题的解决，需要学生在“直观想象”素养的引领下，借助“基本活动经验”，抽象出基本模型(如图1-2)，确定“寻找小圆圆心”的解题思路：过点D1作平面BCC1B1的垂线，垂足就是所要寻找的小圆的圆心.这其实是一个面面垂直背景下的计算问题(如图1-3).

当前的课堂教学，教学目标低位是一个普遍存在的突出问题.教师的关注点是知识和技能，通过反复的训练来提高学生的解题能力.高考考查的不仅仅是知识和技能，而是“知识、能力和素养”的综合.解决立体几何问题的关键并不是“平行、垂直的判定与性质”这些知识，而是“空间想象能力”.立体几何的教学，不能仅仅是“平行、垂直的判定与性质”这些知识的掌握，更重要的是培养学生的空间想象能力，提升直观想象核心素养，帮助学生形成空间观念，这才是立体几何教学的高位目标.

问题出在考试，根子却在课堂.只注重传授知识的课堂，学生难有好的能力和素养发展.新的高考评价下，确立高位的课堂教学目标愈发重要.

2 追求高位的课堂教学目标

《中国高考评价体系》提出的“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层考查内容，具有内在的逻辑关系，是不可分割的整体.确定课堂教学目标和组织课堂教学时，既要重视知识的理解，也要重视方法的掌握，更要注重解决问题所蕴含的思想观念的渗透和形成，这是“四层”考查内容在课堂教学目标中具体体现.

“工欲善其事必先利其器”，知识是“器”；“臣有百胜之术”，方法是“术”；“道生一，一生二，二生三，三生万物”，思想是“道”.课堂教学要教“器”，教“术”，更要教“道”.

2.1 高位的课堂教学目标是“器、术、道”的融合

2.1.1 课堂教学要注重“器”的深刻理解

例12020年新高考Ⅰ卷第7题：

A．(-2,6) B．(-6,2)

C．(-2,4) D．(-4,6)

例1图

例2图

不少学生通过建立直角坐标系来解决本题，这不是最好的解题方法，这是对向量的数量积这个“器”理解不够的表现.如果理解了向量的数量积，能用“投影”来解决就快捷多了.有的教材对“投影”不作介绍，有教师有疑虑：“投影”要教吗？投影要教，无论是基于向量运算知识体系的完备性还是特殊化处理的方法的重要性，都应该把“投影”纳入向量的数量积的运算中去，“投影”是向量的数量积的内涵理解.这是知识内涵的理解，是“器”的深刻理解.

例22020年江苏卷第13题：

这是填空题的倒数第二题，一道重要的区分题.如果学生掌握了“等和线”的知识，此题可以快速地得到PD=6，从而得到AD=3，这样问题就转化成熟悉的解三角形问题了.教材上并没有等和线，等和线要教吗？要教，“等和线”不是突然而来的新知识，不过是向量共线定理与“三点共线”的三角形向量表达式的应用而已.

课堂教学要注重“器”的深刻理解.

2.1.2 课堂教学要注重“术”的真实掌握

例32020年全国高考Ⅲ卷(理科)第17题：

设数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n．

(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.

此题第(1)题是构造等比数列来解决问题，第(2)题是采取“错位相减法”来解决问题，这些方法都是重要的解题方法，不能仅仅依靠题型训练，应该在新授课中获得，再在训练中得以强化.比如“错位相减法”，是从“等比数列的前n项和”的教学中获得.在教学时，要充分展开等比数列的前n项和的求和公式的推导过程，让学生积极思考主动参与，不能为了课堂的“顺利”就采取“告之”的教学方式，这样的教学方式不真实，不利于学生掌握“错位相减法”.因此，“等比数列的前n项和”这一节课的教学目标，绝非仅仅是公式的熟练运用，而应该是公式推导过程中的方法理解，以及领悟支撑这种方法的转化思想：化无限为有限.这与等差数列的求和思想，以及其他一些特殊数列的求和思想是一脉相承的.

例4全国高考Ⅲ卷(文科)第21题：

(1)求C的方程；

(2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积.

第(2)题，对条件|BP|=|BQ|的处理，如果能用斜率和横坐标来表示线段长，就可以减少运算量.

设直线BP的斜率为k，

得到点P和点Q的坐标，求出面积就不困难了.

对于两点之间的距离，转化成横向距离或纵向距离来求解是重要的解决问题的方法，对简化运算意义重大.这一种“化斜为直”的方法来自于教材中推导点到直线的距离公式，因此，“点到直线的距离”这一节课的教学目标就不仅仅是距离公式这一显性知识，应该把这种“化斜为直”的方法作为重要的课堂教学目标.

课堂教学要注重“术”的真实掌握.

2.1.3 课堂教学要注重“道”的感悟生成

例5新高考Ⅰ卷第22题：

(1)求C的方程；

(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足. 证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.

为方便叙述，先把(2)简解如下：

设直线MN的方程为y=kx+t，

点M(x1，y1)，N(x2，y2)，

(1+2k2)x2+4ktx+2t2-6=0.

由条件AM⊥AN可得

x1x2-2(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+5

=0，

得(2k+3t+1)(2k+t-1)=0，

得2k+3t+1=0或2k+t-1=0，

得直线MN的方程为

直线MN斜率不存在等细节情况不再叙述.

此题是试卷的最后一题，属于难题.用代数方法解决几何问题是解析几何的精髓，而“方程的思想”是根本.无论设哪条直线(事实上，本题设直线AM或AN的斜率也是可以解决的)哪个点，都是可以解决问题的，不用担心参数多，重点是利用题目条件建立方程，关键是合理消元.解析几何的难还在于运算，往往思路很简单，运算却很复杂，简化运算就十分重要.“数形结合”是解析几何重要的数学思想，“解析”是方法，“几何”是对象，运用几何性质是重要的简化运算的策略.点D是动点，|DQ|为定值，则点D的运动轨迹是以定点Q为圆心的圆，又因为AD⊥MN，那么直线MN必然要过定点.这样从几何角度去思考，问题就转化成了判断直线MN过定点的问题了，这是“代数方法解决几何问题”不难解决的：双参数设直线MN的方程，利用AM⊥AN的关系消元，把双参数转化成单个参数，定点问题自然不难了.

运算能力是解析几何考查的重要能力，运算能力不是“死算能力”，很大程度上是一种思维能力，提高运算能力的着力点应该体现在“算理”上：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果[1].直观想象、数学运算是解析几何重点提升的素养，在解析几何的教学中，要突出方程的思想和数形结合的思想，这是解析几何的“道”，是解析几何教学的重要目标.

课堂教学要注重“道”的感悟生成.

2.2 课堂教学案例

课堂教学要有高位的教学目标，要有知识之“器”、方法之“术”和思想之“道”，切实关注“四基四能”.

下面以“函数的单调性”为课例具体说明.

问题1-1这是我市某一天24小时的气温变化图，你能描述这一天内气温变化情况吗？

学生1：从0点到4点气温下降，从4点到14点气温上升，从14点到24点气温下降.

问题1-2怎样用数学语言刻画“随着时间的增加气温逐渐升高”？

(给学生思考和交流的时间，教师巡视了解情况)

发现学生有困难，教师开始“搭梯子”：

函数y=-2x+2与y=x2+2x-3(在发现学生解决问题1-2有困难的时候在黑板上画了这两个函数的草图)是我们初中学习的两种常见函数，它们也呈现这样的上升下降的趋势：函数y=-2x+2的图象从左往右逐渐下降，函数y=x2+2x-3的图象在对称轴左侧从左往右是逐渐下降的，右侧图象是逐渐上升的.初中是怎样描述这种性质的？

学生2：函数值随自变量的增大而减小，函数值随自变量的增大而增大.

追问1：如何用符号来刻画“函数值随自变量的增大而增大”呢？

(给学生思考和交流的时间，教师巡视，参与学生间的交流，一定时间后组织全班交流)

学生3：函数图象是点构成的，用点的坐标来刻画：

点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1

(教师在黑板上写下两点的坐标及式子，以备形成规范的单调性定义)

追问2：你是否同意他的观点？有没有要补充的？

部分学生点头表示同意，提不出异议，又流露出疑虑，教师再“搭梯子”：

我们还是来看气温函数图象，取点A为t=6时的对应点，点B为t=18时的对应点，显然满足“x1

学生：不能，中间还有下降部分.

教师：看来用图象上的两个点来刻画“函数值随自变量的增大而增大”不行，那怎么办呢？

学生：要无数个点都满足这种情况.

教师：无数个点吗？

有少许学生摇头，教师让学生代表讲述.

学生4：应该是这一段上所有的点.

教师：同意吗？

学生：同意.

教师：那怎么表达“所有的”呢？

学生思考，小声交流，有学生喊出了“任意的”，教师让这个学生具体说.

学生5：还是用两个点，不过这两个点应该是动点，任意的两个点，可以表示所有的点.

教师：你具体说一下.

学生5：图象上的任意两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1

教师在黑板上之前写的基础上加上“任意两个点”.

教师：同意吗？

学生：同意.

教师：很好，用“任意的”两个点可以表示所有的点，这样就可以表示“函数值随着自变量的增加而增加”，那么，怎样表示“函数值随自变量的增加而减小”呢？

学生6：当x1y2.

教师：很好，这样我们就可以用数学语言来刻画函数图象的“上升”或“下降”了.但是，不是所有的函数图象都是上升，可能会在某一段上上升，在某一段上下降，这个怎么表达呢？

学生：加一个区间.

教师：谁来具体说说？

学生7：图象上的任意两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)在区间I上，当x1

教师：我怎么觉得有点别扭呢，区间上的应该是数，不是点吧？

学生7：……确实是的，但我不知道怎么改.

学生8：因为要用区间来定范围，我觉得不能用点了，用自变量和函数值可以表达.任意两个x1，x2∈I，当x1y2，则函数图象是下降.

教师：可以吗？

学生认可了.

教师：很好，象这种上升的，我们称为单调增函数，这个区间I称为单调增区间(边讲边完善之前的板书)，这种下降的呢？

学生：单调减函数，单调减区间.

教师完善黑板上的板书，形成规范的定义.

教师：好了，我们来小结一下(通过投影展示如下表格从数与形两个方面理解单调性).

在区间I内在区间I内图象图象特征从左至右图象上升从左至右图象下降数量特征函数值随自变量的增大而增大,当x1f(x2)

问题2画出下列函数图象，并写出单调区间：

处理：投影展示，学生试解，教师巡视了解情况，一定时间后展示学生解答并组织交流，教师追问学生解题依据并规范解题过程的书写，解题完成后进行题后小结，强化定义.此题的功能是让学生从“形”的角度理解单调性.

处理：方式同上，用定义来进行代数证明有一定的困难，教师作了引导.

此题的功能是让学生从“数”的角度理解单调性，与上一题形成从“数”和“形”两个方面来理解单调性.处理过程中要引导学生从图象直观观察、定义严格证明两个方面理解单调性，体会符号语言的重要意义，提高数学表达的能力和意识，培养理性思维的习惯.

问题4通过本节课的学习，你对函数又多了哪些认识？

这是课堂小结，学生能小结到“单调性定义”的知识，也能小结到“数形结合”的思想，教师在学生回答的基础上从知识、方法和思想层面进行提炼强调，突显数学的理性思维.课堂结束.

“函数的单调性”是“函数概念与性质”这一章的重要内容，从“图象升降的直观表现”和“函数值随自变量的增大而增大(减小)的自然语言”到“用数学符号表达出函数的单调性”，这既是思维方式的飞跃，也是语言表达的创新.教师要引导学生从几何直观发现函数的性质走向从代数角度来研究函数的性质.从形和数两个方面来理解单调性，是本节课的知识目标；掌握“观察、比较、归纳、抽象”等研究函数的一般科学方法，是本节课的方法目标；感悟数形结合、体会符号化和形式化、培养理性思维，是本节课的思想目标.“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”[1]是本节课应该关注的“道”.

高品位的课堂教学需要高位的教学目标：注重“器”的理解，注重“术”的掌握，注重“道”的生成.

3 结束语

课堂教学的设计与开展，关键是教学目标的设定和教学过程的实施，也就是“教什么”和“怎么教”的问题.[2]其中，教学目标是第一要素，决定着课堂教学的价值追求，在以“立德树人”为育人目标和“核心素养”为课程目标的课程改革新时代尤为重要.高位的课堂教学目标要基于课程目标和单元目标，在理解教学内容的基础上，既关注知识方法，又关注思想观念，构建“器、术、道”融合的高品位的课堂教学，着力提升学生的关键能力，促进学生学科素养的发展.