金融数学课程教学中的一些思考

袁海丽

摘要金融数学课程是一门应用性较强的课程。本文主要考虑金融数学课程讲授中存在的一些问题以及如何处理这些问题。实现数学与金融的完美结合，培养既懂数学又懂金融的人才。

关键词 金融数学 启发教学 应用数学软件

中图分类号：G424文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.26.028

Reflections on the Teaching of Financial Mathematics

YUAN Haili

（School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430072）

AbstractThe course of Financial Mathematics is a course with strong application. In this paper， we mainly consider the existing problems in the teaching and solve them. The goal of this course is to educate students who are quite familiar with finance and mathematics.

KeywordsFinancial Mathematics； heuristic teaching； applied mathematics software

0引言

金融数学[1]是一门涉及金融和数学的课程。金融数学是一门理论性和应用性很强的一门学科，对学生的要求比较高。它用严格的数学理论将金融中的问题描述清楚并解决该问题。因此要求学生受到比较严格的科学思维训练，具有扎实的数学基础，需要熟悉随机过程、随机分析、时间序列分析、统计学等内容；同时具有利用金融数学知识去解决实际问题的能力，特别是运用各种金融工具和手段分析和解决金融实务问题的能力；能够较熟练地使用计算机及应用数学软件，具有编写应用程序的能力，能够解决金融中出现的一些实际问题。

1金融数学现状及解决方案

重数学轻金融：[2]传统教学中比较重视数学知识的传授，对于数学学院的本科生来讲，金融概念薄弱，数学基础较扎实，不知道或者说不太清楚如何理解金融概念及金融背景，对金融概念理解不到位。

理论与实际脱节：目前，金融数学方面的教材大致可以分成两类：一类是过于深奥，完全从数学上考虑，基本上都是深奥的数学知识。如：随机过程、鞅论、随机微分方程等知识。这类教材比较适合研究生来读。对于本科生来讲，所学的数学基础知识还不够，不能够融会贯通这些数学知识，经常学得云里雾里，打击了学生学习的动力和实际应用的积极性。一类是直接讲浅显的知识，理论证明不够严密。这两种教材对本科生来讲，学习起来都比较吃力。另外市面上的教材还都有一个弊端：现在社会发生了巨大的变化，但是很多教材都是几十年前出版的。當然，学习经典的知识是可以的，但是学习的内容和实际生活有点脱节，例子太过陈旧，不能够和现在生活挂钩，降低了学生对学习的热情。这就要求在讲授过程中要注入新的元素新鲜的血液，同时也希望市面上能够尽快出现既符合本科生的实际情况，又能够便于学生操作的教材。

学生学习主动性有待提高：由于不知道如何将理论联系实际，学生认为所学的知识无用或者过于深奥，不能够很好地调动学生学习的积极性，激发学习兴趣，变被动学习为主动学习。

实际动手能力欠缺：对于大部分学生来讲，实际动手能力欠缺，仅仅会书上的内容，不太会操作，有点纸上谈兵时的运筹帷幄，真枪实弹时不知所措。通常，大家只是在学理论，较少将书上的内容用于处理实际中的问题。比如说大家都会年金的理论计算，可是一旦将年金用到分期购车中或者如何利用年金进行做分期购车的销售策略，大家会不知如何下手。

针对以上存在的问题，笔者认为在金融数学教学中需要改进的一些地方及建议：

1.1重视金融概念的讲解

现在社会上虽然人人都了解点金融，但真正懂金融的人并不是很多。在教学中要加强对数学公式的金融解释，对背后的金融背景和金融问题要进行深入细致的了解。只有理解了金融数学背后的金融背景和问题，那么在以后的学习和工作中碰到类似的问题，才知道如何解决。如果不理解清楚一知半解或不懂装懂，那么在碰到实际问题时只能生搬硬套，往往会达不到解决问题的效果甚至可能南辕北辙。所以在教学中一定要加强金融概念的讲解，讲清楚讲透彻。以下将从金融数学中的几个概念进行详细的阐述。

无套利思想是金融数学中的一个很重要的思想。可能学生觉得这在数学上很简单，但是要能够应用到实际中去，什么时候有套利机会，有套利机会时怎么操作运行必须搞清楚。并且将数学中的内容和金融建立联系，市场是无套利的，那么在数学上的反映就是存在风险中性概率测度，进一步延伸风险中性的概念。进而我们可以自然而然地过渡到风险偏好上，既然有风险中性，那么也就有投资者偏好风险，也有投资者厌恶风险。针对这三种投资者风险中性、风险偏好和风险厌恶投资者他们的期望是什么？除了定性分析还需要定量分析，即如何在数学上体现风险偏好程度？这就要进一步引入效用函数，并且使学生理解为什么在金融中要用效用最大化来求最优投资策略。

比如说到自融资策略时，很多同学不能够正确的理解。认为从数学角度上看式子是不满足的。通过求微分式子根本不成立。但要让学生充分理解到资金就那么多，投资后既不能撤出资金也不能再追加投资，很短时间内资金的变化量只和资产的价格变化有关，和资金的数量变化无关。所以会导致这样的式子，并不是数学上严格推导出来的式子。这也明确地告诉大家金融数学中的一些公式并不是完完全全靠数学推导出来的，有些是用到了金融背景的。只有理解金融背景，才能够真正理解公式的含义。

比如说到金融数学中的复制。大家都很清楚复制一份文件就是重新拷贝一份。那么在金融中复制一种资产是什么？由于在金融市场中我们想要交易的资产或资产组合A并不是可以在市场中随意进行交易的，那么就需要用其他的一种或多种资产B，使得该资产或资产组合B与我们需要的资产或资产组合A他们的价值是相等的，那么我们可以交易资产组合B。

再比如我们讲到连续时间模型下对期权进行定价问题。首先要弄清楚证明中的每一步是如何推导的，再就是要理解其公式的含义，并且如何从金融上进行解释。最常见的标的资产不带红利的欧式看涨期权可以看作由标的资产和现金来复制，并且所需要的比例通过B-S公式已给出。通过复制可以启发学生，如果想要购买这种欧式期权，而市场上又买不到时，可以通过购买标的资产和一定量的现金得到。从金融工程的角度来看，欧式看涨期权也可以看作是由两种期权的资产组合：股票0-1期权和现金0-1期权。此时，同样可以交易这两种期权进而得到需要的欧式期权。多方位多角度的讲解加深学生对概念和公式的理解。

1.2理论联系实际

在讲解过程中，对教学内容要有所取舍，合理分配教学内容，除了讲解书上的理论部分和经典例子外，讲解时还要注意理论联系实际，比如可以拿市场中的某几只股票的数据进行分析，对学生比较熟悉的金融业务进行讲解。当前学生比较熟悉的金融业务有：微信中的零钱通，京东金融的基金理财，基金保险，各银行的理财等。[3]纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。鼓励学生多用学过的内容分析这些金融业务，体现理论联系实际，学以致用的思想，引导学生进行实践分析，多进行案例分析，分析理论和实际之间的差距。

例如学习年金知识的时候，可以将实际生活中碰到的房租、保险、养老金、分期贷款等都看作年金。那么在现实中涉及的提前还贷，养老金的发放等实际问题都可以试着处理。利用简单的案例，生动形象地告知学生。让学生既学到理论知识，又能够应用到实际，体会到成就感，带动学习兴趣，一举多得。

1.3启发式教学，提高学生学习的主动性，使学生能够自主学习

例如讲到投资组合问题时，告诉学生分散投资可以分散风险。那么怎么样做呢？是不是所有的投资都可以分散风险？这时候可以通过讲解一些具体的例子引导启发学生并不是所有的投资都是分散风险的，有些投资反而增加了风险，只有在这些资产存在着一定关系时才可以分散风险。投资组合理论模型如何刻画？在实际中如何体现？关于书本上讲的理论中的假设是否在实际市场中是成立的？如何应用到实际中？对结果如何进行分析等等，进行启发式教学，引导学生搞清楚实际和理论之间的差距，并且激发学生进一步探讨学习研究，针对实际中存在的一些问题如何研究，引导学生进一步推广模型做理论研究来解决实际问题。

搞清楚了经典意义下的欧式看涨期权的价格，那么如何考虑同样的条件下欧式看跌期权的價格？能否用推导欧式看涨期权价格的思路来推导欧式看跌期权的价格？通过欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格会得到什么结论？通过启发引入欧式看涨看跌期权的平价公式，最后得出欧式看跌期权可以通过平价公式和B-S公式得到。实际中，标的资产为了吸引投资会考虑发放红利，这时标的资产带有红利的欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格又该如何考虑？此时平价公式还是否成立？鼓励学生思考并进行查阅相关的资料，得到：如果标的资产连续发放红利时，那么此时也会有相应地欧式看涨期权的价格公式，平价公式和欧式看跌期权的价格。再一步深入展开讨论，如果标的资产的价格过程中带有跳时又该如何给期权定价？可以一步一步引导学生进行思考。

美式看跌期权由于可以提前执行，我们无法得到其具体的价格公式，是不是美式看跌期权就此停止没有办法解决呢？通过讨论很多同学想到那是不是可以用其他的方法来进行解决？在课堂上有的同学想到用求解偏微分方程的方法，有同学想到利用随机模拟。启发教学，集思广益，团队合作，这正是未来人才需要的。通过学习找到一种终身学习的方法，这就是教育教学的成功。

针对奇异期权我们只能用求解偏微分方程的解或数值解或者随机模拟找其价格。通过进行启发引导，通过比较分析，使学生明白什么样的问题用什么样的方法。实际中遇到的问题并不像教材中的问题那么简单，需要用长期训练的数学思维和金融头脑来解决实际问题。

谈到期权定价中的参数估计时，针对离散模型的参数估计和连续模型的参数估计，他们之间有没有联系？给定一组市场的数据，用离散模型还是连续模型？如何做参数估计？参数估计是不是只能用矩估计，有没有别的估计的方法？可否用统计学中学到的估计的方法？最近的Lasso估计是否可以用到处理期权定价中？老问题新方法未尝不可。在教学中多引导学生思考，多接受新的知识新的方法，与时俱进地进行学习。

通过上述的联系实际和启发式教学等，鼓励学生自主查阅学习有关的内容，多查资料多思考，教会学生学习方法和提高学生自主学习的能力，激发学生的内在驱动力和学习的主动性。基于此，我们还要重视理论学习和实践的操作性，激发学生的学习兴趣和动力，培养学生应用所学理论和方法解决实际问题的能力。只有让学生体会到成就感，才会良性循环地进一步提高学习的积极性。

1.4增强动手能力

通常，大家只是在学理论，很少利用书上的内容处理实际中的问题。比如说大家都会年金的计算，可是一旦将年金用到分期购车中或者购买保险中，大家会不知如何下手。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。因此需要在讲授课程时让学生多动手实践。由于课时有限，不可能在课上让每位学生都动手操作，那么就需要多利用课下时间让学生进行动手实践，并鼓励学生实践操作有问题时及时提问并反馈。首先通过观察分析得到的数据建立合适的数学模型，然后理论分析求解，或通过数值计算模拟进行量化的研究和分析。最后能够找到金融中的内在规律，对实际问题进行分析并指导。比如关于期权的定价方面，首先处理数据，选用合适的数学模型，对模型做参数估计，然后利用理论分析衍生产品的价格，最后再根据结果看有无套利机会，进一步对风险进行管理和监控。这就要求学生要会动手编程，会使用一些应用数学软件。通过这一套系统地学习，让学生既掌握了相关课程的知识，又能够学以致用，体会到学习的乐趣，才能更好的学习。其他金融方面的内容也是类似的。

因此，在课堂教学中能够将一些金融中的案例以及编程计算[4]（如excel表，matlab，C，Sas以及R）融入金融数学的学习中，使得熟练掌握枯燥的理论性知识能够应用到银行、保险、证券、信托等保险金融领域。这就要求学生在课下至少学会一种编程，在遇到实际问题能够进行操作，不是仅仅作为一个空想家，而是作为一个实践家。

2金融数学课程培养目标

对于金融数学方向的学生来讲，需要具备扎实的数学理论知识，同时要具备金融基础，了解金融背景，并且还需要会进行编程和统计数据分析。只有将这几方面都掌握了，才可以将所学转化为所用。只有掌握了相关课程的知识，同时又能够学以致用，体会到学习的快乐，学生才能够更好地学习。结合现代社会的特点，金融数学课程培养既懂数学又懂金融的应用型的金融人才，[5]能够胜任银行、证券、信托等金融领域金融分析、投资分析、统计建模、风险管理等方面的工作。

基金项目：武汉大学教学改革项目

参考文献

[1]J.Stampfli，V.Goodman.金融数学[M].蔡明超，译.机械工业出版社， 2004.

[2]何宾.金融数学课程教学中存在的问题与应对措施[J].大科技， 2019，8：50-51.

[3]张亚男.数学与应用数学专业金融数学课程教学改革的研究[J].国际应用数学进展，2019，1：1-3.

[4]胡素敏.案例教学在金融数学课程教学中的应用[J].金融理论与教学，2019，8：104-106.

[5]吴文青，张元元.经济新常态下金融数学课程建设思考[J].职业教育，2018，7（2）：63-66.