基于索周法的行星会合指数周期性分析

李国庆, 孙 威, 王 颖, 刘福窑, 郑晶晶

(上海工程技术大学 数理与统计学院, 上海 201620)

寻求引起全球气候及地表环境周期性变化成因的研究一直是热点.行星系运动作为重要的天文因素,对于研究全球气候及地表环境周期性变化具有重要意义.目前学术界普遍接受的观点认为,太阳活动具有多尺度的周期特征,除普遍发现的约11 a最重要的Schwabe周期波动成分外,还有约22 a的Hale周期、约210 a的Suess周期等不同尺度的周期结果[1-3],且研究逐步聚焦在太阳活动周期的观察、检测和预报.半个多世纪以来,关于太阳活动及行星运动的研究取得了颇为丰富的成果.相关研究成果表明,太阳活动的诸多表征指标与太阳黑子具有良好的相关性,太阳黑子活动具有准11 a周期性规律并且与全球气候变化存在显著响应[4-7]:一方面,利用长时空尺度的太阳黑子相对数及太阳黑子群磁极性更迭研究太阳活动及太阳运动的周期规律,不失为行之有效的得力工具[8];另一方面,借助太阳磁场22 a的磁性周期,可研究探索太阳运动轨道的周期性规律[9].刘复刚等[10]通过质心定义,充分考虑各行星质量差异对行星系统运动轨迹的影响,确立行星会合指数运动指标并给出运动学方程,将较为繁杂的天体间绕转模型进行简化,在一定程度上弥补了仅能够研究极少数行星会合或离散的现状.孙威等[11-12]考虑到仅依赖行星会合指数无法对行星系质心及太阳系质心准确定位,为解决这一问题,创建行星系日心经度,数值模拟结果显示,天体系统内互相关联的绕转系质心的运转轨迹具有11.5 a的周期性规律,太阳系质心相对于太阳本体范围内出现的概率约为34.5%.研究表明,行星系统周期性运动与太阳运动及太阳活动的变化规律存在显著一致性,太阳周期性活动势必引起全球气候及地表环境变化[13].行星系统运动的周期性规律对于表征全球气候及地表环境变化的周期性至关重要.因此,构建行星会合指数,可为研究太阳活动和太阳运动周期性规律及其引发地表环境及全球气候变化的周期性规律提供新的研究思路和途径.本文借助已构建的行星会合指数运动学方程,利用索周法对1000—2000AD的基础数据进行周期性分析,进而研究行星系统运动特征及周期性变化规律.

1 行星会合指数的建立及数值模拟

1.1 行星会合指数构建

根据静力矩平衡原理对质心的定义,设由n个质点组成的质量为M的质点系,其系统内各质点的质量分别为mp1,mp2,…,mpn.若rp1,rp2,…,rpn分别为质点P关于相对于固定点(坐标原点)的矢径,则质点系质心C的位矢rC为[14]

(1)

刘复刚等[10]根据理论力学中质心方程的定义,类比定义出行星系质心为太阳系各绕转运动的行星以各自权重质量为系数,并以其距绕转中心天体的位矢半径为矢量和.太阳系各绕转天体的天文参数数据见表1.表中数据来源于美国国家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration,NASA).

表1 太阳系行星轨道参数Table 1 Orbit parameters of planet in solar system

利用表1数据,将平均绕转半径r转换成以质量作权重系数的位矢半径ri,创建行星系质心绕日会合指数(K)的数学表达式[7]为

K=

(2)

式中:K为行星会合指数,K≥0;ωi为行星绕转的平均角速度;φi为行星初始日心经度;ri为各绕转行星以其质量为权重的位矢半径;t为时间.

1.2 行星会合指数数值模拟

通过NASA平台数据整理获得2000年1月1日12时日心经度并作数据处理,见表2.结合表1中各行星轨道天文参数处理后代入式(2),得到行星会合指数变化,如图1所示.

表2 八大行星的日心经度Table 2 Heliocentric longitude of eight planets

图1 1000—2000AD行星会合指数图Fig.1 Diagram of planet juncture index from 1000 to 2000AD

图中刻画出行星系质心距太阳质心的距离大小,显示的数值变化曲线可理解为行星系质心绕不动点的日心轨迹,亦可视为任意“两心”之间距离的动态变化.经理论计算发现,K的取值为0～7.520 2,但实际情况中均无法达到最大值和最小值.理论上当太阳系各行星日心经度近似相等时,行星会合指数达到最大值;当权重质量最大的木星(权重占比49.151 569%)与其他行星之间相差半圆周日心经度时,行星会合指数达到最小值[10].K取最大值和最小值时分别对应其高度会合和分离状态.然而,根据各行星权重半径构建的行星会合指数运动学方程,在某种意义上反映的是地外的木星、土星、天王星、海王星等4颗大质量行星会合程度[10].

2 周期性分析方法及应用

2.1 索周法

索周法是通过数据处理、分析其变化特征而获得相关数据变化规律的一种周期性分析方法.该方法处理的基本流程为:按照不同类型矩阵排列数据并对矩阵中的各列数值求和,利用各列数值之差的绝对值大小反映数据变化的显隐性.将蕴含周期性规律的数据排列在不同行数或列数的系列矩阵中,对各矩阵不同列数值求和,各求和数值之差的绝对值反映在以矩阵列数代表周期的曲线中,即曲线中的波峰或波谷坐标值[15].作为应用型周期分析方法,索周法处理连续时间序列呈现出普适性、精确性等特点,可规避典型周期处理方式涉及信号的连续性、基函数选择、分解方式选择的不确定性,较为全面准确地分析出不同长度数据所隐含的周期.陈彪等[16]借助1750年后210 a的太阳黑子相对数月平滑平均值,利用索周法推导求出太阳黑子相对数曲线的主、副周期[16],根据图像显示的周期特点成功建构出相对数曲线的近似表达式.本文借助行星会合指数模拟数据,结合索周法探求其变化的周期性韵律,考虑索周矩阵行数和列数及数据排列方式等,为使获取的周期结果更为准确,确定索周法的具体步骤如下.

1) 将行星会合指数方程数值模拟获得的基础数据,从1500年开始按照步长为1 a取K值.

2) 将会合指数数值按照相同时间间隔依次排列成列数为8列,9列,…,50列,行数为10行,11行,12行的一一对应的矩阵.行星会合指数在1500—1600AD,按照10行10列矩阵排列,即T=10,行星会合指数排列矩阵见表3.

3) 选取行数相同列数不同的矩阵,将不同矩阵的每列数值相加得最大值和最小值,称这两个最值数值差的绝对值为Δ(表3中,Δ=43.310 4-37.764 5=5.545 9).

表3 行星会合指数排列矩阵Table 3 Numerical arrangement matrix of planet juncture index

4) 以T为横坐标,Δ为纵坐标绘制曲线(正排、逆排).利用归一化数据处理方式,将不同列数矩阵所对应的Δ值反映在以矩阵列数数值代表数据隐含周期的坐标系中,即列数数值代表周期数值,其中曲线峰值(Δ值)代表周期性结果的强弱.

2.2 行星会合指数的周期性分析

太阳周期性活动在调制北大西洋涛动、响应北半球平流层温度异常和驱动地球气候等影响气候变化和地表环境研究中日益受到关注[17-19].对已研究发现的太阳轨道周期性规律与表征环境变化现象特征进行关联研究,尝试将行星运动与驱动全球气候变化的内因组建关联.通过K运动学表达式,能够巧妙地运用太阳系各行星运动的变化规律,转换为探讨系统内行星系质心绕太阳运动的周期性规律;同时,行星会合指数运动学方程的数值模拟结果显示,太阳绕太阳系质心运动由19.858 5 a的基本周期构成[10].

根据行星会合指数数值模拟时间序列,合理划分涵盖不同峰值、谷值的周期区段,如图2所示.截取3段不同区间长度的整周期片段.其中,TM6-TM5=179.21 a、TM4-TM3=180.30 a、TM2-TM1=179.35 a即平均周期为(179.21+180.30+179.35)/3=179.62 a.与此同时,该整周期片段包含9个小周期,每个小周期长度为19.957 7 a,该数值与太阳系两质心互相绕转周期19.858 5 a大致吻合[10].

图2 行星系质心运动特征及其周期Fig.2 Movement characteristics of mass center and its period of planetary system

利用表1和表2数值进行模拟,获取1000—1500AD和1500—2000AD上K值.依照索周步骤对基础数据依次处理,考虑矩阵排列方式及尾排数据对结果精准度的影响,选取行数为10行(定值)、列数不同的矩阵,采取正、逆排列数据方式进行处理.将行数均为10行、列数为8～50列的矩阵正逆排列,对各矩阵列数值求和并求最大值与最小值差值的绝对值Δ,将不同列数矩阵所得Δ数据归一化处理(Δ/Δ0),反映在以不同列数数值代表数据隐含周期的坐标系中,如图3所示.图中,曲线峰值代表周期性规律的强弱程度.依照索周法处理步骤,当排列矩阵的列数近似等于数据所蕴含的实际周期数值时,各矩阵列数据的极值同时分布在不同矩阵的同一列中并使该列中存在较大的正数或较小的负数,致使绝对值Δ较大.研究结果显示:正、逆排列曲线波峰所对应的矩阵列数即行星会合指数数值模拟数据所蕴含的19.89 a显著周期,并出现可能由蕴含最显著的19.89 a周期所叠合而成的新的39.35 a周期,同时也存在较明显的12.93和25.20 a周期性规律.

图3 1000—2000AD行星会合指数索周图Fig.3 Cycle exploring method diagrams of planet juncture index from 1000 to 2000AD

分别绘制行星会合指数在1000—1500AD和1500—2000AD期间数值模拟数据的功率谱分析图,如图4所示.对图谱进行归一化处理后不难发现:两段500 a等长时间序列内,行星会合指数模拟数值均存在f=0.050 3 Hz的最强功率谱峰值,因此行星会合指数所凸显的T=1/f=19.873 a周期最为显著,这与采用索周法求得的行星会合指数方程周期性规律相吻合.刘复刚等[10]研究认为,这一明显的周期规律是由太阳系中质量最大的土木双星运动轨道周期叠合造成的,推演的土木双星会合周期也指向19.85 a,与行星会指数最明显的19.873 a周期最为近似.对比图3和图4可以发现:功率谱图显示的较强峰值所对应的19.873、12.807 a周期与索周法处理结果中峰值所对应的19.89、12.93 a周期存在显著的一致性;同时,索周法获取的39.35 a周期可近似由两倍的19.89 a显著周期构成.

图4 1000—2000AD行星会合指数功率谱图Fig.4 Power spectra of planet juncture index from 1000 to 2000AD

3 结 语

1) 行星会合指数运动学方程的创建,很大程度上将较为复杂的太阳系内行星之间的运转模式进行简化,形象地展示出太阳系内行星系统会合和离散的动态变化,推演出太阳系行星系统复杂的绕转运动周期.

2) 索周法在周期探求过程中凸显出普适性、精确性等特点,规避了典型周期处理方式涉及信号的连续性、基函数选择、分解方式选择的不确定性,较为全面准确地分析出不同长度数据所蕴含的周期.根据周期分析原理和允许接受的误差范围,其结果精度由选取步长决定,因此索周法所得结果在可控误差范围内能很好地估算误差值.考虑到实际计算的强度及可接受的探求结果精度,选取1 a为步长,所得结果的可控误差范围≤2.5%,完全适用于行星会合指数的周期性研究;若尝试结合计算机参与索周分析过程,可将原先短周期性规律探求的优势进一步覆盖到中、长周期规律探索中,进一步弥补时间序列对于精准长周期求取的局限性.

3) 通过索周法对行星会合指数运动学方程在近千年时间尺度的周期性研究,分析出蕴含的19.89 a显著周期;同时,存在可能由两倍显著的19.89 a周期构成的39.35 a周期.这不仅为深入研究行星系统运动周期性规律开辟了新思路,也为研究行星周期性运动引发全球气候及地表环境变化提供新的途径和方法.