“瑞利球”趣味实验的动力学分析

周丽婷 熊举峰

(湖南师范大学物理与电子科学学院，长沙410000)

在“怪坡”上，越是质量大的物体越是容易发生“反重力式”的自行上坡的现象，如车低爬、水倒流。如此“怪坡”效应，使游客、探验家和科学工作者产生了浓厚兴趣，先后提出了多种解释，其实它是利用观察者的“视觉错觉”，即人们对高低的认识是根据参考系来判断的，于是对参考系做一些改变就可以影响人们对 “高低”的判断。一种称为 “双轨怪坡”的玩具备受关注，它源于学者们设计的一个 “瑞利球”趣味物理实验，其中也构建了一个 “怪坡”，使均质圆球看起来像在“爬坡”，但是对其实验原理只进行了定性分析。本文则定量分析了实验的动力学过程，计算了系统的受力和运动，并对均质圆球“爬坡”的最大高度作理论分析。

1 实验介绍

1.1 实验仪器与装置

可控制宽度的倾斜导轨一套、均质圆球一个。实验装置如图1所示。

图1 “瑞利球”实验装置

1.2 实验步骤与现象[1]

(1)令两导轨杆平行，则均质圆球会自动滚到最低处。

(2)将手柄打开，使两根导轨杆成一定角度，则圆球会沿导轨向上滚。

(3)滚球达到一定速度时，实验者突然合拢手柄，圆球的质心突然升高，圆球继续向上滚。

(4)均质圆球静止，即能够滚动到最高处时，打开两导轨杆，圆球下落。

2 实验动力学分析

在“瑞利球”实验的动力学过程分析中，我们忽略空气阻力和摩擦力来构建理想模型，即均质球体在导轨上滚动是圆球自身重力和导轨对圆球支持力共同作用的结果。球在水平平行导轨上时，小球处于平衡状态(重力与支持力平衡)；球在倾斜平行导轨上时，圆球向较低一边滚动(重力与支持力不平衡)；球在水平而不平行导轨上时，圆球向较宽一边滚动(重力与支持力不平衡)[1]。可见，导轨的倾斜与宽窄变化都会影响圆球滚动，若控制好，圆球可以向较宽但较高的一端滚动。

设圆球半径为R、重力为G=mg，圆球与导轨两个接触点处圆球所受支持力分别为FN和，导轨平行距离为d，导轨与水平面的倾角为β，同时构建如图2和图3所示的坐标系(以接触点为原点)。

图2 “瑞利球”实验水平面OXY坐标图

图3 “瑞利球”实验三维OXY Z坐标图

如图3所示，接触点与球心的连线与Z轴的夹角为θ，设初始时夹角θ=θ0，可知d=2Rsinθ0。

设FN1，FN2，FN3分别为支持力FN在X，Y，Z轴上的分力，由图3中受力分析可知

由图4中受力分析可知

同时由图2和图4可知几何关系

第一阶段，从张开导轨两杆成角度α(恒定)到圆球刚好不能掉下去为止(θ0＜θ＜π/2)。

图4 “瑞利球”所受支持力分解示意图

从“瑞利球”受力分析图3和图4可知，支持力和重力对过球心X轴方向直径的合力矩在X轴方向上M=MFN2+MF′N2=2RcosθFN2，第一阶段FN3=G/2。刚体转动动能定理(X轴方向)：如果

则

刚体平动动能定理(Y轴方向)：如果

则

在第一阶段中，θ角度不能大于等于π/2，因此当θ≈π/2时合拢手柄可以使均质圆球在第一阶段后具有最大动能，即可以使均质圆球达到最大高度。且由图5可知

图5 “瑞利球”实验侧视图

第二阶段，突然合拢手柄使导轨两杆成角度α′(0≤α′＜α)。分析瞬时支持力的作用，由冲量定理可知：

在Z轴方向上

在Y轴方向上

为了便于分析，可认为圆球在竖直方向(Z轴方向)动能转化为势能，即又由图6可知

当α′=0时

冲量用平均力计算，由式(5)～式(7)，可得出第二阶段后圆球的平动动能

图6 第二阶段导轨两杆夹角变化示意图

由于支持力作用时间很短，则转动动能增加很小可忽略，则第二阶段后转动动能不变，其中α′=0时，冲量增加最大，即可使均质圆球达到最大高度。

第三阶段，圆球沿导轨向上运动到平动动能为0(达到最大高度h和最远距离l)。由机械能守恒，有且转动动能不变，即

3 圆球“爬坡”最大高度理论分析

3.1 角度θ

在动力学分析的第一阶段中，由式 (3)可知刚体初始平动动能只与θ角度有关，同时我们已知0＜θ＜π/2，则当θ0≈0，θ1≈π/2时，圆球在第一阶段后具有最大动能，即第一阶段后的最大动能是均质圆球达到最大高度的条件。

3.2 角度α

在动力学分析的第一阶段中，当θ0≈0，θ1≈π/2时，由图 2和式 (1)可知：l1tan(α/2)=R，由式(4)可知：l1tanβ=R。因此可知第一阶段中两导轨杆的夹角α与导轨倾斜角β的关系满足：α=2β，即α=2β是均质圆球达到最大高度的条件。

3.3 角度α′

在动力学分析的第二阶段中，已知导轨两杆的角度α′的范围为0≤α′＜α，只有当α′=0时，冲力提供给均质圆球的能量最大，即v2，h1和h2最大。若α′＞0，则相应的而这情况下的第三阶段类似第一阶段，即所以α′=0(两导轨杆平行)是均质圆球达到最大高度的条件。

3.4 最大高度h

4 结论

本文定量分析了“瑞利球”实验的动力学过程。“瑞利球”实验中构建了一个 “怪坡”，通过对两导轨的控制，使均质圆球看起来像在 “爬坡”。据刚体运动原理构建了物理模型，并分析系统的受力情况和运动过程，导出了均质圆球 “爬坡”的最大高度的公式。在忽略空气阻力与摩擦力情况下，当两导轨杆初始距离远小于圆球半径 (θ0≈0)、小球刚好不能掉落 (θ1≈π/2)时突然合拢两导轨使其平行 (α′=0)、两导轨初始夹角α等于两倍导轨倾斜角β时，均质圆球可以达到最大高度 (h=和最远距离l。