基于问题解决的中国数学教育研究七十年:价值嬗变与研究展望

马晓丹

一、引言

在世界数学发展史上,许多经典的数学问题都源于生活。我国古代就有着从社会实际中提炼出数学问题并加以解决的优秀传统。这些问题的发现与探索无不彰显出我国古代学者的智慧,为我国数学发展作出巨大贡献的同时,奠定了我国在世界数学史上的辉煌地位。可见,数学问题解决是数学发展的源动力,也是一个国家创新发展的源泉。我们在自豪于古代数学成就的同时,反思我国现当代问题解决的发展是保持数学教育生命力、激发创造潜能的有力保障。

新时期,我国提出了“立足和结合中国国情”“继承我国传统教育优势”“构建有中国特色的学生核心素养体系”等要求。鉴于此,基于问题解决的数学教育研究还需理清以下问题:在我国已有的有关数学问题解决的教育经验中,有哪些做法是值得保留的?有哪些趋势是值得延续的? 有哪些不足是需要完善的? 为此,从时间逻辑和内容逻辑梳理和反思70年来我国数学教育的发展历程与研究趋势,对弥补研究不足和明确未来方向具有重要意义。

二、数学问题解决的价值嬗变

在过去的70年里,问题解决一直是我国数学教育领域的研究热点,其研究成果不仅影响着学生高层次思维的发展,还促进了积极的学习态度。不同时期,数学问题解决的名称略有差异——从应用题到解决问题,再到问题解决,不同名称的背后,反映了不同时期的价值追求。

(一)初兴阶段:指向实用主义的“应用问题”(1949年—1978年)

新中国成立初期(1952年),教育部根据苏联数学教学大纲编译了《中学数学教学大纲(草案)》,并在大纲的“教养目的”部分从教师视角对“解决问题”提出了要求,即“培养他们应用数学基础知识来解决各种实际问题所必需的技能和熟练的技巧”[1]。这一大纲在1954年和1956年先后经历了两次修订,有关“解决问题”的部分延续了原有的阐述。这一时期解决的“问题”指的是应用问题,也常被称作应用题,本质上是对书本上静态知识的直接应用,所形成的步骤或方法呈现出程序化、可重复的特点,如“用所获得的算术知识去解决应用题并完成具有实际性的简单计算;应用代数知识解决有关物理、化学、天文学、技术方面、农业方面的简单问题;运用所学几何知识进行实地测量,测定各种建筑物的表面积和容积等;在几何、物理、技术等问题上实际应用三角知识”[2]。这一时期解决的问题与当时经济形势下的生产生活密切相关,如计划经济背景下的工程问题、农业生产背景下的农药配比问题(浓度问题)等都反映了这一时代背景下的需求。

总的来说,对解决应用问题的提倡对当时的数学教学具有重要的意义。特别是在1958年的“大跃进”运动中,其教育意义又得到进一步发展。这一时期编纂的应用题相当一部分来自新近的报刊,反映了社会主义建设飞速大跃进的形势下,振奋人心、前所未有的新事迹和新成就,“大单位”的学习与运用是这一时期应用题的主要特点之一。[3]遗憾的是,“大跃进”运动使得“实用主义”走向了极端,直到1963年5月《全日制中学数学教学大纲(草案)》的颁布,才对这一极端现象进行了纠正,但是删除“用数学解决实际问题”的做法又矫枉过正了。[4]

(二)发展阶段:适应市场经济的“解决问题”(1978年—2000年)

“文化大革命”结束后,教育战线拨乱反正的急迫任务之一就是制订新的大纲。1978年2月,教育部正式颁布《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》,有关“解决问题”的教育目的被重新提及,大纲将“逐步培养学生分析问题和解决问题的能力”作为三大能力(运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力)的归宿。[5]20世纪80年代初,我国开始探索“打破单一计划经济,与市场经济相结合”的道路,到了90年代初,更是作出要实现计划经济向社会主义市场经济转轨的重要决策。这一新的形势下,我国教育教学工作者逐渐意识到,当时的数学教材所涉及的应用题未能反映当时如火如荼的经济大潮,为了加深学生对市场经济的了解,在初中数学教材中补充了复利、单利、成本、利润计算等问题,为学生顺利地解决市场经济中的基本问题奠定了知识基础。[6]1992年,教育部颁布《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲》,这是《义务教育法》实施后颁布的首个大纲,这一版本大纲更加重视解决实际问题,并且提高了对数学应用能力的要求。大纲明确指出:“在解决实际问题中,要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,逐步培养他们分析问题和解决问题的能力,形成用数学的意识。”[7]与此同时,未纳入义务教育的高中学段开始着手将应用题纳入考试评价。1993年6月,严士健、张奠宙、苏式东在《数学通报》上发表联名文章《数学高考能否出点应用题》就是对这一问题的呼吁,同年,《中学数学问题集》问世。[8]随后的几年,从高考对应用题的重视程度可以看出,这一呼吁得到了教育研究和教育教学一线的积极响应。

(三)深化阶段:素养导向的“问题解决”(2000年至今)

20世纪末,国家提出素质教育和创新教育的方针,在教学中更加注重“思维训练”“应用能力”和“动手能力”的培养。[9]随后,国家启动了92版教学大纲的修订工作,并于2000年正式颁布。大纲首次将“创新意识”列入培养目标,再次提高了对解决问题的要求。这是一个重要的转折点,从应用意识到创新意识的转变,标志着“解决问题”在认知行为导向上迈向了更高的层次。与此同时,解决真实情境中的问题也越来越受到重视。2001年教育部发布《基础教育课程改革纲要(试行)》,规定“从小学至高中设置综合实践活动,并作为必修课程”[10]。这一规定传递了立足学生生活经验、回归学生生活世界开展教育教学的信息,提倡贴近学生生活、符合现实意义的真问题。这期间,“创新”“实践”与“解决问题”共生。但是,在解决问题的过程中,创新意识与实践能力这双重目标的达成,任重而道远。2010年我国颁布了《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》(以下简称《纲要》),巩固了“解决问题”在教育教学中的重要地位。《纲要》要求“着力提高学生勇于探索的创新精神和善于解决问题的实践能力”,更是将解决问题纳入改革与发展的战略主题之一。

2011年教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准(2011版)》首次将“解决问题”替换为“问题解决”。[11]这一变化,不单是将惯用名称与国际通用名称(ProblemSolving)进行了统一,更是赋予了它新的教育使命。新使命旨在发展学生“分析问题、解决问题”能力的同时,培养其“发现问题和提出问题”的能力,并且认识到后者才是一个真实的问题解决过程的出发点。2014年,教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》,提出要构建学生发展核心素养体系。这一体系的构建顺应了国际范围内以“知识社会”为背景的“关键能力”研究以及“21世纪型能力”研究两大潮流,[12]要求学生“善于发现和提出问题,有解决问题的兴趣和热情;能依据特定情境和具体条件,选择制定合理的解决方案;具有在复杂环境中行动的能力等”[13]。立足核心素养的背景下,问题解决应当回归到“人的全面发展”上来回答学与教的问题。

三、基于问题解决的数学教育研究变迁

新中国成立后,一线教育工作者对应用题的教学研究抱有较高的热情。这些研究以案例的形式,总结概括了应用题的教学经验,诸如《我是如何讲解某某应用题的》《我对讲解某某应用题的一点体会》《讲解某某应用题的方法探析》等文章提供的教学方法或组织形式有着很强的针对性和可操作性,对当时的教育教学实践起到了积极的促进作用。值得一提的是,已有研究关注到了“自编题”的教学。如王厚馀(1955)认为,自编应用题是创造性的作业,教学时不仅要坚持深入浅出、由具体到抽象的原则,还要注意题目是否符合实际;[14]宝应实验小学算术教研组(1960)针对低年级儿童生活经验少的特点,提出要运用实物、看图及生活中常接触的事物来指导自编应用题。[15]这是我国早期的“提出问题”,虽不成气候,且略显生硬,但其进步意义是可圈可点的,从现在的视角来看,当时对“自编题”的关注具有一定的前瞻性。与此同时,心理学领域的应用题教学研究有序展开。朱曼殊等(1961)[16]、郑祖心(1964)[17]、茅于燕等(1965)[18]、肖前瑛(1965)[19]、甘远英(1966)[20]、陈沛霖等(1965)[21]、陕西师范大学教育系心理学教研室(1979)[22]等以学生视角开展实验研究,并在《心理学报》上发表了相关成果,其研究结论通过剖析学生思维特点给出教学建议,迈出了学习视角下开展教学研究的重要一步。这些实验研究大都集中在低学段的算术教学。

20世纪80年代开始,基于问题解决的数学教育研究规模不断发展壮大,从分散式的研究转向课题研究,研究层次不断深入。问题解决已由一个相对独立的专门论题演变成了整体性数学教育的有机组成成分。[23]从用心理学的方法设计实验,到用心理学的理论指导教学,数学问题解决研究促进了数学教育与心理学的深入整合。认知结构研究、过程模型研究、策略研究以及元认知研究是基于问题解决的数学教育研究重点关注的四个方面,每一方面都呈现出较为鲜明的特点。

(一)认知结构研究:从具体化到抽象化

数学认知结构(曹才翰等,1989)是“学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度,结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构”[24],其发展呈现出从具体到抽象的变化趋势。如李士锜(2001)将数学认知结构的形式表示为由节点和联线组成的网络,节点表示数学元素或对象,联线表示元素之间存在的稳定关系。[25]喻平、单遵(2003)基于图式提出的CPFS结构理论,用概念域(ConceptField)、概念系(ConceptSystem)、命题域(PropositionField)以及命题系(PropositionSystem)来描述数学学习的认知结构。[26]随着人们对数学认知结构的认识不断深入,数学知识的相互联系逐步发展为以图式为基础的不同层次的抽象关系,这样的变化不仅表现为认知结构节点的增加与丰富,还表现为数学知识在不同水平上的抽象概括。认知结构抽象化呈现出的不同水平为数学问题解决研究提供了更为具体的研究工具。数学知识的抽象概括水平越高,越有利于学生已有知识的迁移,越有利于迅速解决那些需要结合实际情境作出分析和调整的新问题。

(二)过程模型研究:从单一化到多元化

数学问题解决模型的建构呈现出从单一到多元演化的特点。我国早期较为经典的模型结构主要反映的是以认知因素为基础的信息加工方式。如张春莉(1998)提出的数学问题解决的信息加工模式,[27]单遵、喻平(2000)提出的数学问题解决认知模式。[28]随着对数学问题解决影响因素研究的不断深入,一些外部的、非认知的因素被纳入数学问题解决的模型中。如李明振等(2006)构建的数学问题解决过程的动态系统模式,[29]庞丽娟等(2008)构建的数学问题解决的生态模式。[30]这些研究在信息加工学的基础之上得到进一步丰富,既考虑到了数学基础知识、基本技能、数学思想方法与元认知等认知要素,还考虑到动机、兴趣、态度、情绪、意志品质等情感态度要素,以及不同学校环境、家庭环境、社会环境下学生形成的不同活动经验、不同文化背景等外部要素。同时,内部要素之间、内部要素与外部要素之间存在的循环结构得到进一步诠释。过程模型研究的多元化为改进用于教学和评价的数学问题提供了借鉴。越是真实的问题越容易受到几个相互叠加的情境的限制,越需要学生挖掘自身的知识经验,越需要学生重新整合问题中的信息条件,这些条件可能隐含在背景信息中,可能受到一些信息干扰,还可能随着时间的变化而改变,需要分情况讨论。优质的数学问题应当充分调动影响问题解决的内、外部要素之间的相互作用。这一变化趋势与当前国际教育对复杂大环境中的行动能力的提倡是一致的。

(三)策略研究:从分散到分类,再到高度概括

关于策略研究,由于出发点及分类的不同,因而其提法也有所差异。[31]数学问题解决的策略研究经历了从分散到分类再到高度概括的过程。罗增儒(1997)提出的数学解题的十大策略,[32]以及朱成杰(2001)提出的十种数学思想方法[33]都是相对具体的。进一步的研究关注了“策略”和“方法”的区别与联系,将“方法”从“策略”内涵中剥离出来。喻平(2002)将“策略”界定为“方法”的上位概念,提出解题策略处于解题方法之上,在解题中起指导作用,解题策略融于解题方法之中,两者相互依存。[34]如归纳思想是上位于猜想法、枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析、观察实验、比较分类的解题策略,又如演绎思想是上位于综合法、分析法、反证法、同一法的解题策略。这既是对具体方法的分类,又是对解题策略的再认识。史宁中(2011)对常见的数学思想进行了高度概括,并指出3种数学基本思想(抽象、推理和模型)对数学学习的作用,即通过抽象,把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部,形成数学研究的对象;通过推理,得到数学的命题和计算方法,促进数学内部的发展;通过模型,创造出具有表现力的数学语言,构建了数学与外部世界的桥梁。[35]数学基本思想作为统整整个数学和数学教育的思想,它所呼吁的“抽象地、一般性地看问题,严谨地、有逻辑地思考问题,简捷地、符号化地表达问题”是学生应对未来社会发展与挑战的关键能力,是直接作用于数学基础知识和基本技能的上位指导思想。立足数学基本思想探讨数学问题解决的教学,为学生数学关键能力的培养提供了更强劲的引领作用,也间接回应了“数学教育要培养什么人”的问题。

(四)元认知研究:从内隐到外显

元认知不同于一般的能力倾向,是一种独立的认知过程。[36]元认知的内隐性是早期研究达成的普遍共识。相应地,其教学只能借助一定的载体,以渗透的方式给予学生潜移默化的影响。解题的元认知由主体的元认知结构和元认知监控组成,其中元认知结构的成分包括元认知知识和元认知体验。[37]在数学解题活动中,数学元认知知识包括主体性知识、客体性知识和策略性知识;数学元认知体验包括修正目标、改组元认知知识、激活策略等;数学元认知监控包括监控解题方向、监控解题过程和监控认知策略。[38]一些研究者对元认知在数学问题解决中的作用进行了研究,如李建才(1998)指出“数学元认知在目标认定与计划拟定、解题进程的监控和解题后的反思三个方面发挥了重要的作用”[39];朱德全(1997)认为“元认知能够修正数学问题解决的目标,能够激活和改组数学问题解决的策略,能够强化解题者在数学问题解决中的主体意识”[40]等。随着数学元认知的结构研究走向成熟,研究者尝试建立元认知与学习行为之间的关系。如章建跃(1999)编制的“数学解题自我监控能力问卷”,涉及计划、调节、检验、管理、评价五个因素,该问卷具有较高的信度。[41]元认知研究的外显化受到新的评价范式的影响。由于评价的目的不再是对学生学习结果进行审查,而是试图影响学生的学习过程,解题元认知的评价结果就应当服务于学生元认知水平的提高,服务于学生问题解决能力的发展。更为具体的做法是探明与元认知成分对应的可干预的外显行为,以可观察、可测量的行为为出发点,培养学生敢于质疑的精神,提高学生问题解决的成就感,从而提高学生问题解决的能力,提高数学问题解决教学的品质。

四、基于问题解决的数学教育研究展望

已有研究大都是以成功地解决数学问题的学习者为研究对象,或是以数学问题解决的专家和新手之间的比较研究为切入点。数学问题解决的解题过程模式能够给问题解决的新手或者多次尝试后仍不能寻求突破的学生提供一个相对规律性的解题“流程”,显然这一“流程”也是数学问题解决教学的重要参考。但是,数学问题解决的过程模式对数学问题解决教学的作用是间接的,它尚不能指导教师如何将复杂的或陌生的数学问题一步步分解为接近学习者原有认知图式、符合学生已有活动经验的数学问题。于教师而言,他们需要一个更为直接的路径来指导自己分阶段地开展教学,学生将在这一过程中实现多次认知结构的重组。

(一)关注同一情境中的不同结构,以及同一结构在不同情境间的迁移

数学问题解决研究通常具体到不同的类型。行程问题、工程问题、销售问题等是根据问题的表面特征进行分类的,这种传统的分类形式本质上是同一层次的横向区分,不能反映问题结构的梯度,忽视了不同类型数学问题解决在结构上的共性与差异,更不能清楚地呈现学生的认知结构是如何进行重组、拓展和完善的。随着心理学理论越来越多地介入数学教育研究,问题类型的划分依据逐渐从表面特征转向结构特征。在上述几类问题仍广泛存在于中小学问题解决学习素材的情况下,关注同一情境中的不同结构以及同一结构在不同情境中的迁移,能够让这些传统素材发挥更大的作用。

迁移理论倾向于用问题的相似性来描述问题与问题之间复杂的关系系统。问题的表面特征与结构特征是影响问题相似性的两个重要方面。问题的相似具有连续性,当表面特征相近时,问题的相似性存在两个极端:“在一个极端上,两个问题可能相似到完全相同;在另一个极端上,两个问题可能仅仅看作是相似,因为它们是不同的问题。”[42]举例来说,需要一次轴对称变换解决的最短路径问题,与需要一次平移变换解决的最短路径问题,即使情境相近,其结构也是不同的。再如,相遇问题、追及问题、往返运动问题虽然都归于行程问题,但解决它们所需要的图式水平是不同的,能够解决相遇问题、追及问题的学生,却不一定能解决往返运动问题,其原因在于学生从低图式水平向较高图式水平进阶的过程中存在障碍。同样,表面特征存在差异的问题,其结构特征也有可能是相同或相近的。例如,打电话模型与细胞分裂问题有着相近的结构,“接到通知的学生可以继续传递通知”相当于“分裂出的细胞还会继续分裂”。类似的,这一结构还可以迁移到浮萍生长和某些传染病传播的问题中。又如,蓄水池问题与人口模型有着相近的结构,蓄水池的进水速度和排水速度相当于人口的出生率和死亡率。类似的,这一结构还可以迁移到机场和码头的调度问题中。有学者指出:“问题解决学习的意义在于,不仅要学会解决与样例问题表面特征相同的问题,还要学会解决与样例表面特征不完全相同的问题,更要学会解决与样例问题的结构特征有很大差别的问题。”[43]而达到这一要求的前提是对教学素材的表面特征和结构特征有着清晰且深入的认识。

(二)为知识、技能向问题解决能力的转化匹配学习条件

新世纪我国参与了多次国际教育评估项目,并取得了优异的成绩。在最新公布的PISA2018测试中,我国四省市(北京、上海、江苏、浙江)学生在阅读、数学、科学三个领域的平均成绩在参测国家(地区)中均排第一。令人欣慰的是,这一测评结果并没有让我们盲目地陷入自我崇拜。“PISA 重在考查学生生活中运用知识和技能解决现实问题的能力”,参与测评的四省市在这一方面表现突出,却不能反映我国教育改革与发展的平均水平,“校际均衡”与“城乡均衡”等问题仍需要特别关注。[44]因此,在今后相当长的一段时间里,促进知识、技能向问题解决能力的转化对我国绝大部分地区来说仍然是教育改革亟须突破的难点。从我国教育发达地区汲取经验的同时,需要特别关注作为转化条件的基本活动经验、问题图式、数学思想方法、情感态度、教学策略等,基于这些条件探索行之有效的转化途径于缩小区域差异而言无疑是有益的。当然,数学问题解决在不同阶段所需要的学习条件不应一概而论。这里的“阶段”不应再局限于“方法”“步骤”,而是要与图式的发展和进阶相匹配。例如,在较低的图式发展阶段,题目信息的筛选、计算准确性的监控更为重要,教学上可以样例教学为主;而在较高的图式发展阶段,数量关系的分解与整合、模式的识别、错误的归因更为重要,教学上可以由变式练习向自主探究过渡,引导学生在更为复杂的情境提出解决方案、建立数学模型、验证调整模型、得出结论。数学问题解决涉及数学知识、技能、数学思想方法的综合运用,相对于数学概念与规则的学习而言,是更为复杂的认知过程。明确数学问题解决学习在不同阶段所需要的内、外部条件,有利于为数学学习创设有效的外部环境。

(三)加强数学问题解决的表现性评价研究

认知结构与认知行为是数学问题解决的两个重要方面。于学生而言,图式反映的是学生的认知结构,是内部的;认知过程通过外显行为来表现,是外部的。唯物辩证法认为,外因往往通过内因发挥作用。这就意味着,认知结构与认知行为之间存在着某种关联。然而,基于认知结构对问题解决进行评价是不易操作的,打通内部心理结构与认知行为的关系是建立可观察的数学问题解决评价机制的前提。因此,后续的研究迫切需要解决的是,处于不同图式水平的学生的认知行为是怎样的? 其认知行为表现出怎样的共性与差异? 从低水平图式到高水平图式的发展过程,学生的认知行为呈现出怎样的趋势? 要想回答这些问题,需要进一步的实证研究结果来解释。

随着影响数学问题的因素从学生内部的一些认知的与非认知的因素拓展到一些外部环境因素,数学问题解决的评价也逐步走出数学内部,不仅要对数学内部的推理与运算进行评价,还要对实际问题转化为数学问题的能力进行评价。实际情境中,能够解决数学问题却不能解决实际问题的学生不在少数。例如,能够解决一笔画问题,却不能解决七桥问题。可见,具备相同知识、技能、思想方法、情感态度的学生,面对不同情境时仍有可能作出不同的表现。一方面是由于学生对条件信息的分析能力存在差异,如“能否区分有用信息与无用信息,能否用图、表、符号组织和表征题目中的信息,能否意识到条件变化对数量关系的影响”等;另一方面是由于学生对实际问题的抽象概括能力存在差异,如“能否用数量关系或位置关系表示生活中的情境,已经概括出的数量关系和位置关系能否保证对所有的条件都成立”等。所以,在数学问题解决的教学与评价中强调情境化是十分必要的。情境化的问题可以是面向学生个人的,也可以是面向学生所处的群体的、甚至是社会的。诸如生活经验、文化背景等外部因素都会影响到学生将实际问题转化为数学问题的能力。数学问题解决评价的难点一方面在于表现性任务的设计,另一方面在于问题的编码,认知结构与学生行为的对应关系能够为评价编码提供依据。

总的来说,基于问题解决的数学教育研究已取得多方面的进展,但仍有待进一步深入。数学问题解决的教学研究应当成为辅助学生问题解决学习的“支架”,而不是束缚学生自主学习能力和创造力的障碍。因此,基于学生图式发展的不同水平划分数学问题解决的教学阶段,为不同阶段匹配相应的教学条件,根据问题的表面特征和结构特征重新审视传统的数学问题,以表现性评价为导向开发新的数学问题是今后数学教育研究的主要方向。