巧用数学史厘清数学概念——以“小数的初步认识”为例

广州市白云区三元里小学 崔婉婷

一、追根溯源，解答疑惑

三年级学生对小数是初步感知，小数意义学习教材出现在四年级下册，这里学生只是对小数有个初步认识。教材说，像3.45、0.85、2.60、36.6、1.2 和1.5这样的数叫作小数。学生对此有疑惑，为什么不可以叫作点数？圆数呢？利用三年级学生喜欢听故事的特点，笔者从讲数学家刘徽的故事引入。刘徽在《九章算式注》提出整数个位以下无法标注出名称的部分就叫作微数。宋代的数学家秦九韶在《数学九章》还记录了小数的计算；到了公元13世纪，元代数学家朱世杰提出了小数这个名称；同年代数学家刘瑾用减低一行的方法表示小数部分。中国最早提出小数表示方法，故事的引入能让学生感受小数的产生和发展是经过漫长时间的，同时能感受到数学家的艰辛和伟大。

让学生阅读课本，操作并思考：1）.摆一摆学具：像古代时候那样摆小棒表示出小数“3.12”。2.在本子上用图形画出“3.12”。3）.小数3.12跟古代用小棒表示相比较，它们之间有什么联系吗？4）.用小数点表示“3.12”优势在哪里？

让学生在思考中阅读。第一个要求：让学生用小棒摆出“3.12”，在摆的过程中，学生会很刻意地把小数部分“0.12”下移，突出体现了整数部分和小数部分的不同。第二个要求：让学生画出“3.12”，学习能力中等或以下的学生基本是按照古代表示方法那样画出小棒。学习能力强的学生或者预习过课本内容的学生会用正方形和长方形来表示。在学生画“3.12”的过程中，可以让学生初步体验十进制计数法。第三个要求：在找出古代和现在表示小数方法的联系中激活学生相关经验和知识基础，让学生感悟小数的含义。第四个要求：用小数点来表示“3.12”的优势，学生都善于发现更简洁也更能表示出数位之间的关系，体验到数学的发展，从而明白：小数点是随着数学的发展而出现的。

二、博古通今，明晰概念

教师结合义务教育教科书三年级下册第92 页例1 的教学进行分析，设计“量身高”情境帮助学生学习小数。前面学生对小数已经有了初步感知，那么怎样把1米3分米改写为以米为单位的数呢？

学生展示的结果如下：13 米、1.3 米、1.03 米、13米（把3下沉一行，仿照古人写法）、1，3米、1 3米，还有的学生用图画出来等。显然学生会把米和分米间隔开，1.3米和13米（把3下沉一行，仿照古人写法）的表示方法能够明显体现数位之间的关系。

观察并思考：1）.同学们表示1米3分米的这些结果，哪些是合理的，为什么？2）.合理表示出1米3分米的结果中，你认为方便书写和理解的是哪一个？3）.根据米和分米的关系来说一说写出的小数的含义。

思考的第一个问题，“1.03”的“0”很难找出合理的解释来说明这种写法的含义，13米显然是错误的，这两种都被公认地剔除。在思考第二个问题中，学生认为各自的书写都很方便，此时恰当地穿插数学史。1530年德国数学家鲁道夫（Christoff Rudolff）表示小数是用一竖间隔开，按照他的表示方法来写例1的小数就是13，跟我们班同学1 3米表示方法只是实线和虚线的区别，趁机表扬学生善于思考。

1585 年荷兰的斯提文（Simon Steuin）提出了小数记法，用他的表示法来记录我们学习的例题是：13①，容易理解但是书写不够方便。最早使用小数点是克拉维斯（Chris-topher Clavius）1593 年在《星盘》中使用了，1608 年在《代数学》明确地以小数点作为整数部分与小数部分的分界。1614年英国的纳皮尔（John Napier）在算筹用逗号隔开：“1，3”，跟我们学生展示结果中不谋而合。到了19 世纪末，有很多种不同的小数记法展示给学生阅读了解，比如：1 3 、1’3、1 3、1，3、1’3、1‘3 、1 3、1，3、1.3等表示“1.3”这个小数。学生在了解历史及国内外表示小数写法中提高对小数本质的认知，感受了小数的演变和发展史。

第三个问题是让学生进一步认识小数的含义，让学生回忆“130”、“13”这两个数中“1”和“3”分别表示的含义，猜想“1.3”小数中“3”所表示的含义。同一个数字“3”，在不同的数位表示的含义是不同的，思考：“3”在个位上是表示3个一，当“3”在个位后面一个位置（数位）又表示什么呢？

为了让学生理解十进制计数法，教师穿插一个古时候的故事：据说有两支队伍打仗，胜利方清点俘虏，用1 个指头代表1个俘虏，2个指头代表2个俘虏……十个手指用完了，俘虏还没有数完，怎么办呢？于是就想到把数过的十个俘虏放在一边，用一根绳子捆起来打一个结，这个结表示10个俘虏。然后接着数，一个结一个结地打下去，就可以数有多少个俘虏了。古今中外有二进制、六十进制，沿用至今是十进制，引导学生自行查阅学习。

三、巧用数学史，渗透数学思想

本文在小数概念教学中多处渗透符号思想。教材第99页“你知道吗？”出现了古代用小棒表示小数的方法，这就是最早的用符号来记录小数的语言和要表达的思想。前面例1所述安排学生用合适的方式表示1米3分米，学生结合知识基础和学习经历思考后把他所理解的小数含义用各种符号呈现出来。比如：13 米、1.03 米、13米、1.3 米、1 3 米以及从古至今、国内国外表示小数的方法：1 3 、1’3、1.3、1’3、1‘3、13 、1，3、1.3、1.3、1，3 等，虽然符号不同，但都用特定的符号表示了小数的写法，展示了小数的历史，建立了学生的符号意识。

通过例1 认识小数体现了转化思想。在线段图中表示同一个位置可以用3分米、十分之三米，也可以用0.3米表示，在学习中感受转化思想有利于学生后期的学习。数学承载着训练学生思维的任务，我们还要认识到学科知识的学习、能力的培养固然重要，但是在学习知识中积淀数学思想方法更是不可或缺的宝贵财富。

课堂教学融入数学史，帮助学生厘清概念，能使教学形式更丰富。教师可以通过讲故事、了解数学史料、经典数学问题解决、小比赛，让学生置身于历史情境中，复原古人解决数学问题的数学思想方法，让学生体验成功的喜悦，充满自信。本文以一节概念课教学为例进行探索，旨在使课堂教学中教师备课视野可以更广、更深入些，让学生在学习知识中积淀数学思想，以获得更大的收获。与此同时，教师在备课中要寻根追源，查阅资料，阅读文献，促使学科专业知识水平得到相应的提升。