如何突破中考二次函数综合题

文 王 艳

函数是很重要的数学知识，它让我们体会到由算术到代数、由常量到变量、由有限到无穷的数学学习乐趣。函数与方程思想更是解决数学问题的重要思想方法之一。二次函数在中考中的地位更为特殊，通常以压轴题呈现。那么，我们该如何提高解二次函数综合题的能力呢？这里以2018年宿迁市中考题为例，做一些探讨。

例题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0＜a＜3）的图像与x 轴交于点A、B（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC。

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）若△AOD 与△BPC 相 似，求a的值；

（3）点D、O、C、B 能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由。

【分析】（1）注意到点A、B、D 均为抛物线与坐标轴的交点，求其坐标不难，准确求解的关键点是如何“确定”坐标。

（2）考虑∠DOA=∠BPC=90°为相等的定角，故△AOD 与△BPC 相似需分类讨论

（3）共圆问题重在确定圆心和半径（或直径）。观察四点D、O、C、B 可发现∠DOB=90°，故四点若能在同一个圆上，直径当为BD，之后只需考虑点C 也在该圆上即可。

解：（1）（略解）点A、B、D 的坐标分别为（a，0）、（3，0）、（0，3a）。

解得a=0或a=±3。

因为0＜a＜3，

所以a=0和a=±3皆舍去。

因为0＜a＜3，所以a=3，a=0舍去。

（3）若四点D、O、C、B 在同一个圆上，因为∠DOB=90°，所以连接BD，线段BD 即为直径。

取BD 的中点H，连接OH、CH，则OH=CH，且可得点H的坐标为

化 简 得a4-14a2+45=0，所 以（a2-5）（a2-9）=9，解得或a=±3，因为0＜a＜3，所以

【点评】本题作为中考压轴题，体现了这样的特色：

1.注重基础知识、基本方法、基本技能的综合考查。本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，相似三角形、圆与二次函数知识的综合应用，看似很难，若我们把问题分解开再看，发现其实都是应该掌握的基础知识、基本方法和基本技能。如解决函数图像与坐标轴的交点坐标问题必然要考虑设x=0 或y=0 建立方程。相似问题、共圆问题只要我们按部就班，细心运算，都不难解决。该题淡化技巧，更多关注了“通法”的考查。

2.渗透了数形结合、分类讨论、函数与方程等重要的数学思想。不论是相似三角形问题还是四点共圆问题，都要求我们对图形有很好的感知，不仅要眼中有图，还要心中有图，更要能恰当构图。本题中的三个问题最终的本质都是求值问题，所以必须归结到如何构建方程上，可见如何建立方程、求解方程是多么重要。因此，解好综合题必须练就扎实的基本功。

3.突出了对思维严密性的考查。三个问题都突出了一个不起眼的条件0＜a＜3。这一点要用心体会，稍不留神就容易出错。所以我们要养成细心这一重要习惯，全力避免会而不对、对而不全的丢分现象。

总之，要解决好压轴题，必须深入领会基本知识、熟练掌握基本技能、灵活运用基本数学思想，多思考，淡化技巧追求，练就扎实的通法基本功才是我们真正的“解题利器”。