二次函数面积最值问题破解之法

文 葛卫国

二次函数作为初中数学的重要知识点，难度颇高，经常出现在中考压轴题中，而在求三角形面积的最值问题时，更是常见。今天我们就对二次函数中的面积最值问题作一个简单的总结，找出几种常见的解法。同学们如果能从中学习并熟练掌握一两种解法，再遇到类似问题，将会更快速地解决。

例 如图1，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A（3，0）、B（-1，0）两点。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线交y 轴于点C，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由。

第（1）问比较简单，同学们只需要把两点坐标分别代入，即可分别求出b、c 的值，得到函数表达式为y=-x2+2x+3。下面我们着重探讨第（2）问中的面积最大值的求法。

一、补形、割形法

几何图形中常见的处理方法有分割、补形等，此类方法的要点是把所求的图形进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

解法1：如图2，设P（x，-x2+2x+3）（0＜x＜3），过点P作PE⊥AB于点E。

若四边形OCPA的面积最大，则△APC的面积就最大。

解法2：如图2，设P（x，-x2+2x+3）（0＜x＜3），连接OP。

后面的步骤和解法1一样。

二、铅垂法

用铅垂法求三角形的面积，在求二次函数中的面积最值问题时，使用得很多。

首先设点P 的坐标，利用代数式分别表示出铅垂高度和水平宽度，然后表示出三角形的面积，进而求出面积最大值。

解法3：如图3，过点P 作PE⊥x轴于点E，交AC于点F。

三、切线法

若要使△PAC 面积最大，只需使AC 边上的高最大。作AC 的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点（即点P）时，此时△PAC的面积最大，这便是切线法。

解法4：如图4，直线AC的表达式为y=-x+3，作AC 的平行线l，交y 轴于点M，从而可设直线l的表达式为y=-x+b。

即-x2+3x+3-b=0。

由Δ=32-4×（-1）×（3-b）=0，得

四、三角函数法

本题也可直接用三角函数法来求。

解法5：如图5，作PE⊥x 轴于点E，交AC于点F，作PM⊥AC于点M。设点P（x，-x2+2x+3）（0＜x＜3），则点F（x，-x+3）。

通过以上四种解法的学习，老师相信同学们对二次函数中三角形面积的求法都有了自己的想法。一般来说，只要同学们能掌握解法1和解法2，那么在二次函数的综合题中，再出现求三角形面积最大值的问题，就能轻松面对了。