基于Euler-Bernoulli梁理论的无缝内衣机织针编织过程固有频率特性研究

戴 宁，彭来湖，胡旭东，崔 英，钟垚森，王越锋

(浙江理工大学 浙江省现代纺织装备技术重点实验室, 浙江 杭州 310018)

无缝内衣机织针内嵌于针槽内壁随针筒转动，在撞击三角后沿三角弧面做受迫升降运动进而完成垫纱、成圈等工艺动作[1-3]。织针作为无缝内衣机重要的编织机构，研究其编织过程中的固有频率特性对提高无缝内衣机编织性能的稳定性具有一定意义。文献[4-5]运用牛顿经典力学理论对编织过程中的织针进行了数学建模，但二者的模型对织针横向固有频率特性均无法体现。文献[6-8]对悬臂梁的固有频率进行欧拉伯努利梁理论的建模及ANSYS分析，获得其振动方程并进行实验验证，但该实验测试方法无法适用于结构尺寸细小、伸出长度随三角位置动态变化的织针。采用高速相机、机器视觉等技术对织针展开的研究也在逐年增多：李涛[9]采用机器视觉技术对织针进行自动化检测；徐英莲[10]采用高速相机对SM8-TOP2型无缝内衣机织针的运动参数进行分析，获取了织针的位移、速度及加速度曲线，但其测试方法主要在刚体运动层面，对测试织针的振动特性无法适用。织针在编织过程中的固有频率特性研究作为织针在振动层面上研究的基础，具有一定意义。

本文针对织针在针槽内实际的约束进行分析，将织针沿三角弧面运动的过程转换为悬臂梁长度动态变化过程，并采用Euler-Bernoulli梁理论对织针沿针筒切向方向的振动方程进行求解，获取织针各阶固有频率及其振型。采用ANSYS仿真软件对织针沿第2退圈三角上等间距的6个位置进行模态分析，并采用德国PCO公司DIMAX系列高速相机捕获织针沿三角弧面做受迫运动时的横向振动特性。

1 织针固有频率及模态振型数值计算

本文针对意大利圣东尼SM8-TOP2型无缝内衣机进行研究，图1示出无缝内衣机针筒展开示意图。

图1 无缝内衣机针筒展开示意图Fig.1 Plane sketch of seamless underwear machine cylinder

由图1可知，织针依次经过集圈三角、第1退圈三角、第1收针三角、第2退圈三角、第2收针三角、第3退圈三角、第3收针三角、成圈三角所在的位置后，完成当前路织针的编织工艺。织针参与编织的过程是织针与三角相互撞击的过程。无缝内衣机织针内嵌于针槽内左右两侧壁，织针在针槽内部主要受到针槽两侧夹紧作用力、弹簧圈压力、摩擦力、针织油粘性阻力的作用，当针筒静止时织针仍可静止于针筒内左右两侧壁，不产生向下滑动的趋势。以直径为33 cm、总针数为1 152的机型号为例，织针装入针槽前后，织针的结构示意图如图2所示。

注：单位为mm。图2 织针在针筒内的约束示意图及其悬臂梁模型Fig.2 Constraint of needle in cylinder (a) and its cantilever (b) model

由图2(a)可知，织针针筒内部与针槽内侧左右二壁接触，实际接触面积几乎覆盖织针左右二面，弹簧圈区域长度为19.5 mm,针槽左右两壁区域较其他区域低了0.5 mm，故弹簧圈在此区域对针筒内织针增加了沿针筒径向方向的压力，织针出针口与弹簧圈中间区域、织针与针槽两侧有5～7 mm的间隙，针槽两壁对织针几乎无约束。图中为织针伸出沉降片罩的长度，实际针筒出针口上8 mm针织部分被沉降片罩包围，实际视野内可见伸出长度为Lc。结合织针针筒内的实际约束情况，将织针等效为单端固定的悬臂梁结构进行理论分析。为方便对织针振动特性的检测以及针织的实际编织工艺，在织针可见伸出长度范围10～15 mm内进行数值计算，该伸出长度范围正好处于第2退圈三角的高低位间，故此时等效悬臂梁的长度范围为27～32 mm。

由图2(b)可知，Lz为织针的长度,mm；m(x,t)为单位长度上的外力矩，N·mm；f(x,t)为单位长度上的外力，N；O代表坐标原点；x为微元距坐标原点的距离，mm。取织针YOZ截面，建立力学平衡方程：

(1)

式中：x为织针截面距原点O的横向距离，mm；t为力的作用时间，s；y(x,t)为织针截面距原点O的纵向距离，mm；A为织针截面面积，mm2；ρ为织针密度，kg/mm3；I为织针截面惯性矩，mm4；E为织针的弹性模量,Pa；M(x,t)为织针截面弯矩,N·mm。

假设织针内部匀质分布，施加在织针处的外力及外力矩大小为0，并令y(x,t)=y(x)q(t)，实现织针上振动点时间与空间的解耦，可得：

ρAy(x)q″(t)+[EIy″(x)]″q(t)=0

(2)

对式(2)分别进行空间以及时间域上的求解，可得：

(3)

式中:λ为辅助变量；q(t)为时域振动函数；y(x)为织针相对点O距离为x处点的振幅值，mm。

(4)

由单端固定悬臂梁的边界条件可知，其固定端的挠度和截面转角为0，其自由端的弯矩和截面剪力为0，则边界条件为

(5)

将式(5)代入式(3)，求得频率方程为

cosλlcoshλl+1=0

(6)

故织针在针槽内的各阶频率的表达式为

(7)

式中，i为正整数变量。

织针的材料为碳素工具钢(T8),其横截面高度h为0.43 mm，长度l取27～32 mm中等间隔的6个点，密度ρ为7 840 kg/m3,弹性模量E为2.23×1011Pa，将4个变量代入式(7)中，得到织针出针长度为27～32 mm 时，各位置处的第1阶固有频率理论值如表1所示。

表1 织针6个出针位置第1阶固有频率理论值Tab.1 Theoretical value of first order natural frequency of 6 needle positions

由式(4)、(6)可知，其振型函数为

yi(x)=cosλix-coshλix+ki(sinλix-sinhλix)

(8)

其中：

(9)

采用MatLab绘制织针伸出长度为30 mm，织针前3阶振型曲线如图3所示。可知，织针固定端y向弯曲为0,第1阶到第3阶的节点个数分别为0～2个。其余5组织针前3阶振型挠度曲线与图3趋势一致。

图3 织针前三阶振型曲线Fig.3 First third-order mode curves of needle

2 织针固有频率及模态振型仿真计算

编织过程中，织针出针长度随其与三角表面相对位置的变化而实时改变，不同出针长度下对应着不同的边界条件，故当织针三维模型导入ANSYS仿真软件后，通过在印记面施加载荷和约束来对织针在针槽内左右两侧壁的模态进行分析。织针处于针筒之中，因针槽内壁的距离远小于针踵与织针沿Y轴的高度差，当织针内嵌于针筒内左右两侧壁时，织针针踵挤压变形，其接触面受针筒内左右两侧壁紧密夹持，故针踵沿垂直Y轴的两侧面部分等效为完全约束，且针杆两侧部分范围也为完全约束。织针在弹簧圈区域，其背面一侧因弹性力紧贴着针筒，将受弹性力的部分面添加弹性约束，弹性约束力为2 N/mm3，弹簧圈的长度为19.5 mm。将弹簧圈上端设置为自由端，结合织针在第2退圈三角的实际伸出高度，将自由端的长度范围设置为27～32 mm，并在此区域范围内每间隔0.5 mm进行仿真计算，具体约束情况如图4所示。

图4 织针仿真约束示意图Fig.4 Diagram of knitting needle simulation constraint. (a) Constraint from needle groove inner wall left side; (b) Constraint from needle groove inner wall right side; (c) Spring coil constraint; (d) Constraint from needle groove inner wall back side

完成织针针槽内左右两侧壁以及弹簧圈等各部位的约束后，在ANSYS仿真软件内的Analysis Settings模块中设置模态阶数为3，对织针伸出针筒长度分别为27、28、29、30、31、32 mm的6组数据进行模态分析，仿真结果显示6组数据前3阶振型一致，其中1组数据织针沿Y轴方向前3阶的振型仿真结果如图5所示。由于其余5组数据前3阶振型与图5完全一致，故本文不再单独示出。由图5可知，6组实验各阶模态的结果显示织针针舌部位振动幅值最大，故在编织过程中，作用于织针的激励频率达到织针固有频率时，织针针舌产生较大的挠度，将会引起织物疵点。由图5仿真振型结果可知，其3阶振型趋势符合单端固定细支悬臂梁的模态响应，仿真结果显示的3阶振型与上节织针的理论建模结果相近。将织针在6个位置的第1阶固有频率进行统计整理，结果如表2所示。

图5 织针仿真振型结果图Fig.5 Diagram of knitting needle simulation mode result. (a) First-order mode; (b) Second-order mode; (c) Third-order mode

表2 仿真与数值分析计算结果比较Tab.2 Comparison of calculation results between simulation and numerical analysis

由表2可知，织针伸出针筒部分越长，其1阶共振频率越低，其频率与伸出长度的变化规律符合悬臂梁固有频率与其长度的频率特性。仿真结果显示，不同出针长度下的模态频率与数值分析结果接近,最大误差为2.3%。

3 高速相机检测织针振动特性

无缝内衣机织针在编织过程中除沿三角曲面的升降运动外，还伴随着随针筒运转的圆周运动。织针整体处于刚体运动状态，并非如常见悬臂梁单纯的摆幅振动，且织针尺寸较小，织针伸出针筒高度不定，故针对织针振动特性的测量难度较一般物体要大。本文取针织针杆竖直表面2点，通过研究2点的相对运动对织针针舌处的振动特性进行研究。织针全身呈现暗淡金属色，且织针表面伴有油污，故无法直接在针杆处标记。本文首先对针杆表面所要标记区域采用丙酮进行清洗，并采用白色油漆笔均匀打底，待白底油漆自然风干后采用直径为0.1 mm的细直径黑色记号笔进行点缀，要求黑色标记点位于针杆中间，且与两边缘均有间隙，如图6所示。

为尽量不改变织针原有固有属性，只在图6(a)所示的2个不与针槽内左右两侧壁摩擦区域进行标记，标记区域不影响织针的正常编织。标记区域上黑点直径尽量小，不与针杆两边沿接触，且黑点与四周白色对比明显。完成示踪织针的标记后，将织针装入针槽，完成高速相机平台搭建，高速相机测量编织过程织针振动特性的测试平台(见图6(b))。

如图6(b)所示，测试平台主要由安装有图像采集软件及图像处理软件的计算机、高速相机、可调光源、标签纸等组成。通过光源的亮度调节以及高速相机的焦距调整，使得织针被测范围内清晰成像。图像采集软件Visart触发高速相机，对织针运动过程进行采集，并转换为图像采集软件TEMA可处理的视频文件，TEMA将示踪织针上标记点的运动数据转换成位移及时间数据，并由MatLab进行运动特性分析。

织物编织过程中，织针与三角相互作用，织针相对针槽做竖直升降运动，由于织针针筒上端安装有生克罩以及其他辅助成圈装置，视野范围内织针伸出高度不高。综合考虑高速相机的测量原理以及织针与三角相互作用，取视野内织针伸出11～15 mm的高度为测量范围。为更好地对拍摄视频中的织针进行定位查找，人工拆除了示踪织针前1枚织针。无缝内衣机与织针直接作用的三角主要有集圈三角、退圈三角、收针三角、成圈三角4类，本质上各类三角只是在三角的坡度以及坡长方面存在差异。选取织针在第2退圈三角高低位间的运动轨迹进行分析，如图7(a)所示。

图7 高速相机拍摄画面Fig.7 Shooting screen of high-speed camera. (a) Movement track of knitting needle; (b) Free attenuation oscillation process of knitting needle

由图7(a)可看出，织针从右往左随针筒运转，于第2退圈三角低位撞击后，沿其三角轨道面运转到第2退圈三角高位。由织针的理论及仿真结果可知，织针固有频率与其出针高度有关。分别在织针高位及低位采用弹性绳使其产生初始挠度，当织针弯曲静止时释放弹性绳，此时织针将做衰减振动，此过程与撞击三角瞬间后的衰减振动频率一致，只与织针固有频率有关。采用图像采集软件Visart 5.6，设置PC0.dimax HS高速相机的帧率为8 000 帧/s，焦距为100 mm,分辨率为1 280像素×720像素，进行织针自由衰减振荡过程的拍摄，如图7(b)所示。TEMA运动分析软件对点a、b所在织针自由振荡过程进行追迹，并存储2点的位置信息。本文采用MatLab对2点随时间的位置数据进行处理，以针杆处标记点b为基准点，对点a沿针筒切向方向的振动进行时域分析，并采用快速傅里叶变换(FFT变换)对此过程进行频谱分析。为验证实验的可重复性，分别对织针高位、低位处进行3组测试，织针在高位处的时域及频域图如图8所示。

图8 织针在高低位处振动特性Fig.8 Vibration characteristics of knitting needles at high and low positions. (a) Time domain plot at high position; (b) Frequency domain plot at high position; (c) Frequency domain plot at low position

由图8可知，织针的高位处织针做自由衰减振荡运动，在第5～6个振荡周期内实现快速衰减；3组实验所得的织针高位处的振动频率差别不大，其频率值在376～385 Hz之间小幅波动，实验结果重复性高。织针的低位处织针伸出针筒长度不同，织针的振动频率与其伸出针筒的长度相关，同理，采用MatLab软件对织针低位处的3组位置数据进行FFT变换，织针低位处的频域图如图8(c)所示。织针低位处频率在540～547 Hz范围内小幅度波动，低位处织针伸出针筒长度较高位处短了5 cm。实验结果与织针在针筒内固有频率的理论建模及仿真结果一致，2个位置所测固有频率与仿真结果相比，其误差低于10%。

织针的工作过程可简化为在低位撞击三角并沿三角弧面往高位上升的过程。织针处于针筒针槽内左右两侧壁，并与三角轨道面接触，三角的振动以及无缝内衣机机械本体自身的振动导致织针在多种频率激励下的混频振动。为防止被测织针前后其余织针撞击三角，进而间接影响织针撞击三角的振动特性，本文实验使被测织针之外的织针处于埋针状态(织针针锺被压入针槽，避免了织针与三角的撞击)，确保只有被测织针与三角弧面接触，排除了其他织针撞击三角对被测织针的干扰。织针沿三角弧面的运动为刚体运动状态，采用与织针高低位时一样的数据处理方式，可有效分离织针针舌处的刚体运动数据，获取织针撞击三角时引起的织针衰减振荡。

对织针在第2退圈三角高低位间运动数据进行MatLab处理。织针撞击第2退圈三角低位后，沿三角轨道面爬升，图9(a)示出三角的曲面形状，图9(b) 示出织针撞击三角低位后沿三角曲面做受迫运动时织针的振动时域图。为检测织针振动的可重复性，每间隔2 h对织针运动数据进行拍摄，取6组如图9(b)所示的振动时域数据，并采用MatLab进行FFT变换，结果如图9(c)所示。

图9 织针沿三角轨道面运动时的振动特性Fig.9 Vibration characteristics of knitting needles moving along cam track surface. (a) Displacement curve; (b) Vibration time domain curve; (c) Vibration frequency domain curve

由图9(c)可知，织针的6组振动频率在465～499 Hz范围内波动，织针沿三角轨道面做受迫运动时，其伸出针筒的高度处于低位与高位之间，故其振动频率也位于织针在高低位间所测得范围之内。无缝内衣机织针激励主要来自于编织过程中与织针直接作用三角的撞击，当作用于织针的激励频率达到织针固有频率时，将会导致共振，引起织针无法正常编织，进而引起织物疵点，织针的激励频率等效于编织过程中其与三角的撞击频率，其激励频率如下表示。

(10)

式中：f0为织针激励频率，Hz；n为针筒转速，r/min；Ls为编织路数；Lup为织针撞击三角上升沿次数；Ldn为织针撞击三角下降沿次数。

本文研究的RFSM20型内衣机，其编织路数共有8路，其针筒正常编织的最高转速为80 r/min,Lup+Ldn最大值为8。由式(10)可知，织针最高激励频率为85.33 Hz,小于图8、9中所得织针编织过程中的第1阶固有频率，故织针在编织过程中不会发生共振现象，织针可正常参与编织。同时随着内衣机的高速化，以及编织路数的逐渐增加，织针激励频率将逐渐增大，此时应保证织针编织过程的最大激励频率小于其固有频率。

织针在编织过程中的振动特性直接影响织物的品质，本文实验采用高速相机捕获了织针沿三角轨道面运行时织针的振动频率特性，其值大小与仿真及理论建模结果一致。6组数据所测得的织针频率波动范围不大,反映了起振时织针与三角相对位置基本一致，织针沿三角轨道面的振动，主要来源于织针与三角轨道的撞击，故通过研究三角对织针的激励，对提高织针正常编织具有重要意义。

4 结束语

织针作为无缝内衣机编织过程中重要的执行器，其沿三角表面做受迫运动时的振动特性，将直接影响织物的质量。通过研究无缝内衣机的编织工艺，确定了织针在针筒内各部位的主要约束，建立了织针变长度的等效悬臂梁模型，并采用Euler-Bernoulli梁理论对其等效悬臂梁的振动方程进行求解，同时采用ANSYS仿真软件对织针进行模态分析，以及运用高速相机测振实验来验证理论计算结果。

对比理论计算以及仿真分析结果可知，仿真计算所得固有频率与数值分析结果接近,最大误差为2.3%，且织针沿Y轴方向前三阶的振型仿真结果与数值分析结果一致。本文设计的高速相机测振实验成功捕获了织针沿三角做受迫运动时沿Y轴的振动特性，实验结果与织针在针筒内固有频率的理论建模及仿真结果一致。织针在第2退圈三角高、低位固有频率的测试值与仿真结果相比，其误差低于10%，证明本文理论建模以及仿真分析结果的正确性。本文提出的理论建模以及实验测试方法对无缝内衣机以及其他纬编针织机织针振动特性的研究具有一定借鉴意义。