改进的广义Kelvin岩石蠕变模型研究

王 游，卢小雨,2*，李亚倩

(1.安徽理工大学 土木建筑学院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大学 力学与光电物理学院，安徽 淮南 232001)

岩石蠕变是指岩石在应力、水、温度等复杂条件下，岩石所呈现的与时间相关的某些力学特性，如弹性后效、松弛、破坏等，即时间效应[1]，它是岩石固有的属性之一，影响着岩体结构的长期安全性和稳定性，建立能全面模拟岩石蠕变变形的蠕变模型一直是岩石蠕变学研究的热点和难点。由于岩石本身的复杂性，其力学参数往往随加载时间不断变化，采用非线性的蠕变模型更能准确模拟岩石蠕变全过程[2]。目前建立岩石非线性蠕变模型的方法主要采用以下两种：一是设计新的非线性元件代替线性元件,如陈家瑞[3]在三参量蠕变模型的基础上引入非牛顿体，从而得到了非线性蠕变模型，该模型可以较好地模拟岩石在不同应力水平下的蠕变曲线；苏腾等[4]基于分数阶导数和连续介质损伤理论建立了非线性蠕变模型，该模型可以较好地模拟岩石在不同应力载荷下的蠕变形式且能反映岩石的力学性质在不同蠕变阶段的变化情况。二是引入损伤力学理论和Lemaitre等效原理，将损伤因子引入蠕变方程中，进而建立蠕变损伤模型,如罗润林等[5]基于岩石蠕变机理，引入硬化函数和损伤变量，建立了岩石非线性蠕变模型；刘新喜等[6]基于Kachanov损伤理论把损伤影响参数引入Maxwell模型，使其符合蠕变软化阶段的损伤特性；曹文贵等[7]引入损伤理论和Kachanov损伤演化规律，建立了一个可以充分反映岩石加速蠕变特性的模型；丁靖洋等[8]基于岩石加速蠕变过程中的力学特性，假定Abel黏壶的黏性系数损伤符合Weibull随机分布，得到了盐岩蠕变损伤模型，取得了较好的拟合结果；杨逾等[9]基于Lemaitre原理建立了非线性损伤Burgers模型，取得了较好的拟合结果；王春萍等[10]基于花岗岩高温蠕变过程的损伤效应并考虑弹性模量和黏性系数随温度的变化关系，建立了高温条件下的温度损伤元件，该元件可以较好地模拟岩石加速蠕变变形。

综上所述，尽管国内外许多学者在岩石蠕变模型方面取得了一些研究成果，但存在着以下几个问题：首先，模型参数辨识不合理，有的学者直接用一维蠕变方程去拟合常规三轴蠕变实验，虽然可以取得较好的拟合结果，但模型参数在一维和三维应力情况下物理含义并不相同；其次，岩石蠕变参数与时间成函数关系，把损伤因子引入线性元件后，采用微分方程的形式求解蠕变方程存在一定的困难，增加了蠕变方程的描述难度，这也是现阶段蠕变模型存在的主要问题，并且有的学者直接把有效参数引入元件组合模型中，这导致有的模型在数学上并不严谨；最后，目前大多数蠕变模型以岩石长期强度为依据来改进和组合进而建立能模拟岩石加速蠕变的模型，而以加载时间为依据而建立的模型较少[11]。因此在蠕变模型已有研究成果的基础上，考虑岩石弹性模量衰减规律和引进一种带时间触发的非线性黏性体，将之与广义Kelvin模型进行组合，得到了一个能够全面模拟岩石蠕变变形的非线性蠕变模型，该模型描述较为简单，克服了传统模型不能全面模拟岩石蠕变变形的不足，且不需要知道岩石的长期强度，引入相关蠕变试验数据验证蠕变模型的合理性和适用性，并对模型参数进行敏感性分析，研究成果可为今后开展类似研究提供一定的参考价值。

1 非线性蠕变模型的建立

广义Kelvin模型由一个弹性元件与一个黏性体并联后再与一个弹性元件串联组成。模型如图1所示:

广义Kelvin模型的蠕变方程可表示为:

(1)

式中，ε为蠕变量；E0为弹性体弹性模量；η1为Kelvin体黏性系数；E1为Kelvin体弹性模量；σ0加载应力。

广义Kelvin模型难以模拟岩石加速蠕变变形，同时模型的黏弹性参数并不是定常数，而是随加载时间不断变化的参数。张树光等[12-13]研究表明岩石弹性模量随加载时间不断减少，因此假定广义Kelvin模型中弹性体弹性模量符合下式:

E(t)=a+bexp(-ct)

(2)

式中，a、b、c为无量纲参数。

当σ=σ0时，弹性体一维蠕变方程为:

(3)

岩石蠕变可以分为衰减蠕变，等速蠕变和加速蠕变三个阶段，而每个阶段对应不同的起始时间，由于时间具有不可逆性，故引入一个带时间触发的非线性黏性元件来模拟岩石的加速蠕变变形。非线性黏性元件模型如图2所示。

该元件满足以下应力-应变关系:

(4)

式中，tF为岩石加速蠕变起始时间；λ蠕变参数；ηa非线性黏性元件黏性系数；tF确定方法见文献[14]。

将非线性黏性元件与广义Kelvin模型进行组合，从而得到新的非线性蠕变模型。模型如图3所示:

图3 非线性蠕变模型Fig.3 Nonlinear creep model

在t=0时，对模型施加恒定应力σ0，则有

(1)对于弹性体E(t)，其本构方程为:

σ0=E(t)ε0=(a+bexp(-ct))ε0

(5)

式中，E(t)为式(2)表达式，ε0为弹性体应变。

(2)对于Kelvin体，其本构方程为:

(6)

对式(6)进行变换求积分，并考虑初始条件：t=0,ε1=0，则有

(7)

式中，ε1为Kelvin体应变。

(3)对于非线性黏性元件，其本构方程为:

(8)

式中，ε2为非线性黏性体应变。

由于应变可以叠加，则根据式(5)、(7)、(8)，可得岩石在一维应力状态下非线性蠕变方程为:

(9)

(10)

式(9)可模拟岩石衰减蠕变变形和等速蠕变变形，式(10)可模拟岩石蠕变全过程。

将一维蠕变模型推广到三维应力状态下，更符合岩石实际受力状态，具有更高的参考价值。在三维应力状态下，岩石内部张量σij可分解为球应力张量σm和偏应力张量Sij，同样岩石应变张量εij由球应变张量εm和偏应变张量eij组成[15]，并且在弹性状态满足：

(11)

式中，K为体积模量；G为剪切模量；E为弹性模量；μ为泊松比，可认为不变。

由广义塑性力学可知，岩石类材料中的塑性应变问题应采用相关联流动法则来解决，对于常规三轴蠕变实验，一般认为球应力张量对岩石蠕变影响很小，偏应力张量在岩石蠕变中起主要作用，因此屈服函数可采用Mises函数，因此三维蠕变方程可表示为：

(12)

(13)

式中，G1为弹性体剪切模量，其余参数与上文一致。

2 参数辨识及敏感性分析

2.1 参数辨识和模型验证

将蠕变实验数据代入岩石蠕变模型中进行曲线拟合和参数反演是蠕变研究中常用的方法，1stOpt软件凭借其超强收敛速度和不受初始赋值的影响，通过其独特的全局优化算法，在大多数情况下都能取得较好的结果[16]。为验证新的岩石蠕变模型的正确性和适用性，拟合了白垩系冻结软岩蠕变试验数据[17]和天然页岩蠕变试验数据[18]。拟合结果分别如图4、图5所示,参数反演结果见表1、表2。

图4 软岩非线性蠕变模型与实验结果对比Fig.4 Comparison of soft rock nonlinear creep model and experimental results

表1 软岩非线性蠕变模型参数

表2 页岩非线性蠕变模型参数

图5 页岩非线性蠕变模型与实验结果对比Fig.5 Comparison of shale nonlinear creep model and experimental results

从图4、图5对比情况来看，本文建立的非线性蠕变模型与实验数据吻合程度较好(尤其是加速蠕变阶段)，模型能够模拟岩石各个阶段蠕变曲线，同时也验证本文建立的非线性蠕变模型对软硬岩及不同加载应力水平下都具有较好的适用性。

引入绿片岩[19]和红砂岩[20]的三轴压缩蠕变实验数据进一步验证该模型对岩石加速蠕变变形模拟的准确性和适用性。为了拟合实验数据方便，将三维蠕变方程进行系数简化，简化结果如式(14)所示，拟合结果分别如图6、图7所示，拟合参数见表3。

表3 加速蠕变模拟参数

图6 绿片岩非线性蠕变模型与实验结果对比Fig.6 Comparison of greenschist nonlinear creep model and experimental results

图7 红砂岩非线性蠕变模型与实验结果对比Fig.7 Comparison of red sandstone nonlinear creep model and experimental results

a2exp(t-tF)λ

(14)

从拟合结果与实验数据对比情况来看，再次说明该模型对不同蠕变破坏时间下的加速蠕变变形都能够较好地模拟。

2.2 参数λ对蠕变全过程曲线影响分析

参数a、b、c表示岩石弹性模量随加载时间的变化关系，已有许多学者对此进行分析[21]，在此并不详述。岩石加速蠕变特性是影响地下工程稳定性和安全性的主要力学特性，在此给出参数λ对岩石蠕变全过程曲线的影响。结果如图8所示。

图8分析了蠕变参数λ对岩石蠕变全过程曲线的影响，图中给出了蠕变参数λ为0.025、0.036 75、0.050、0.070时蠕变曲线的对比(其余参数见表2，加载应力为55 MPa)。由图8可知，保持模型中其他参数不变，岩石加速蠕变变形和蠕变速率随参数λ的增大而呈现非线性增大，岩石更快地进入加速蠕变阶段，根据λ取值的不同，该模型可以模拟不同岩性及不同应力水平下的加速蠕变变形。

图8 蠕变参数λ变化对全程蠕变曲线的影响Fig.8 The impact of creep parametersλchanges on the whole-process creep curve

3 结论

1)在广义Kelvin模型的基础上串联一个带时间触发的非线性黏性体，同时考虑岩石弹性模量随加载时间的衰减规律，从而建立了新的非线性蠕变模型，并给出了模型的一维和三维蠕变方程。

2)引入相关蠕变实验数据对非线性蠕变模型的合理性和可行性进行验证并同时反演得到模型参数，结果表明该模型可以准确模拟各类岩石的非线性蠕变曲线(尤其是加速蠕变阶段)，克服了传统经典模型的不足。

3)对模型蠕变参数λ进行了分析，结果表明随着参数λ的增加，岩石加速蠕变速率也增大，岩石更快地进入加速蠕变阶段，也说明岩石加载时间是导致岩石蠕变破坏的一个十分重要的因素。