以“图解法解动态平衡问题”为例探讨如何挖掘教材习题资源

吴园园 高燕

摘   要：教材是教师实施教学活动的基本依据，教材习题是依据新课标的要求而选择与设计的。充分挖掘教材资源，实现教材习题的价值，将有利于学生学科核心素养的提升。立足学生最近发展区，适当变式、拓展、整合教材习题的简单情境，可使高三第一轮复习课的有效性得到提高。

关键词：教材习题;思维能力;动态平衡

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）12-0064-4

高中物理教材中的例题和习题蕴含着基本的解题思想和方法，既是运用知识解决问题的经典，也是思维能力训练的典范[1]。习题课教学中，教师若能对教材习题进行变式、拓展、整合，将能充分实现教材习题的价值。共点力作用下的动态平衡问题中的三力作用情况，可通过画矢量三角形，继而根据边长的变化分析力的变化来求解，此解法简称“图解法”。图解法可极大地简化运算过程，提升学生的科学思维能力。笔者通过对2019年人教版教材“共点力的平衡”一节的相关习题进行深度挖掘，探讨如何在高三一轮复习课中突破“图解法解动态平衡问题”这个教学难点，提出了一些提升学生思维能力的做法及思路。

1    立足教材习题的“图解法解动态平衡问题”微专题设置

图解法能够使用的前提条件是物体受三个力，且其中一个力为恒力。根据其余两个力的大小、方向以及夹角的变化情况又可分为图1所示的三种情况，可根据题目受力特点选择使用三种方法之一，达到方便快捷地解决问题的目的。

动态平衡问题的知识和能力基础是静态平衡，适当变化典型的静态平衡问题的情境，可使学生体会不同情境之间的细微差别，能更好地帮助学生理解动态平衡的含义。若将动态平衡问题的情境适当变化，能帮助学生体会不同的解题方法之间的差别与联系，将有利于学生思维能力的提升。接下来，笔者以必修第一册75页第2题为例，谈具体做法。

课本原题 [人教版高中物理教科书（2019年版）必修第一册75页第2题]：

在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B（图2）。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。求悬绳对足球的拉力和墙壁对足球的支持力[2]。

本题是一道经典的物体在三力作用下处于静态平衡状态的基础题目，可通过正交分解法求解，也可根据两个力的合力与第三个力等大反向作平行四边形求解。根据后一种解题思路正确作出“平行四边形”，是图解法解动态平衡问题的基础。

1.1    变中求同——矢量三角形法

1.1.1    物体静止，受力发生缓慢变化

以上课本原题中，物体所受的重力G为恒力，若改变绳的拉力T的方向，球仍保持静止。而此时球的受力属于图1中的第一种情况，应该使用矢量三角形法解题。下面我们通过变式一展示具体过程。

变式一：假设悬绳足够长，A点缓慢上移，悬绳对足球的拉力和墙壁对足球的支持力分别怎样变化？

解题思路：

（1）模型建构：将实际问题简化处理，并画出示意图，如图3（a）所示;

（2）静态分析：对物体受力分析，画出力的平行四边形，如图3（b）所示;

（3）由“静”到“动”：根据题目所设置的情境，画出多个位置的力的平行四边形;

（4）方法建构：根据平行四边形的边长定性判断各力的变化情况，由于三个力的大小可直接通过平行四边形的一半——三角形来判断，解题时也可直接画矢量三角形，如图3（c）所示。

设计意图：通过教材第2题原题的练习，学生已经能够较好地解决三个力作用下物体的静态平衡问题，这为由静态平衡顺利拓展到动态平衡奠定了知识及思维能力的基础。立足学生已有的发展水平，适当变化情境，促使学生探索解决动态平衡问题的基本方法，在头脑中建构解决这类问题的思维轮廓。

1.1.2    物体缓慢运动，受力发生缓慢变化

动态平衡问题的两种表现形式为受力发生缓慢变化的同时，物体处于静止状态或物体的位置也在缓慢发生变化。深挖教材75页第3题，将变式一情境适当变化，使物体缓慢运动。而若物体所受力仍具有图1中第一种情况所展示的特点，仍可选择矢量三角形法解题。

变式二：若将墙面撤去，球将被竖直悬挂，如图4（a）所示。现用细绳AB绑住绳OC的A点，再用缓慢增大的水平力牵引A点。试分析，A点被缓慢拉起的过程中，细绳OA、AB的拉力分别怎样变化？

解题思路：对结点A在某位置的受力情况分析，如图4（b）所示，受力特点满足图1中所展示的第一种情况，根据变式一的解题思路提炼出矢量三角形的做法，得出如图4（c）展示的矢量分析图。

设计意图：学生通过变式一已经初步掌握图解法解动态平衡问题的适用条件及基本思路。教师深挖教材习题所展示的情境，适当改变变式一的条件，引导学生深入分析从竖直位置开始缓慢拉至某一位置的整个物理过程受力情况的变化，深化图解法解题的思维过程，为图解法解题思想的进一步升华奠定基础。

【小結】 变式一和变式二是动态平衡的两种表现形式。从受力的角度分析，变式一和变式二都属于图1的第一种情况，应选择矢量三角形法解题。

1.2    变中求异——辅助圆法

若在变式二的基础上继续改变条件，使其受力特点满足图1中所展示的第二种情况，应选择辅助圆法解题。下面通过变式三说明具体解法。

变式三：变式二中，O点固定，若初始时OA竖直且AB刚好被拉直，OA与AB之间夹角为α（α>90°），如图5（a）所示。通过改变绳OA、AB的力，将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OA由竖直被拉到水平的过程中，绳OA、AB上的拉力分别怎样变化？

解题思路：对结点A移动后的某一位置受力分析，如图5（b）所示，作出矢量三角形如图5（c）所示，分析受力特点并与变式二比较，引导学生考虑使用图解法解题，设置问题引导学生思考：若作出图中所有的FOA、FAB交点可构成什么图形？从而得到图5（d）。总结解题过程，提炼辅助圆法解题的解题思路。

设计意图：此题源于2017年高考试题全国卷I第21题。从变式二一个力方向发生变化顺利过渡到两个力方向同时发生变化，激发学生在原有解题方法的基础上进一步探索图解法解题的拓展应用。以“画矢量三角形”这种不变的解题方法，应对“变化的问题情境”，引导学生举一反三，提升了学生科学思维能力的深刻性、广域性。

1.3   变中求活——相似三角形法

若在变式三的基础上改变条件，使小球的受力特点满足图1中所展示的第三种情况，可选择相似三角形法解题。下面通过变式四说明具体解法。

变式四：若将小球套在光滑的圆环上，如图6（a）所示，圆环被固定在竖直平面内，且最高点处有一光滑的小孔，细绳的上端穿过小孔用手拉住。现拉动细绳，使小球沿圆环缓慢上移，试分析在移动过程中手对绳的拉力F和轨道对小球的弹力FN 的大小如何变化？

解题思路：分析小球的受力情况，并比较与变式三受力特点的不同，本题满足图1所示的第三种情况。作出矢量三角形，引导学生观察力的矢量三角形和圆环内的几何三角形的对应变化情况，如图6（b）所示，从而得出相似三角形法解题的基本思路。

设计意图：在变式三的基础上进一步拓展，三个力中一个力为恒力，两个力方向同时变化且其夹角也发生变化，引导学生画出矢量三角形，并寻找与所构建的几何三角形之间的联系，利用数形结合，开拓学生的创新思维，提升学生的科学思维品质。

【小结】辅助圆法和相似三角形法是矢量三角形法的延伸与拓展，对学生思维能力要求较高。通过以上变式，使学生能认识到图解法解动态平衡问题的关键是能在“变化的情境”中准确分析受力特点，灵活选择“不变的方法”，即构建矢量三角形的方法。

2    提升教材习题资源应用价值的教学思路

根据本文对教材习题的挖掘探究，结合立足教材习题，突破“图解法解动态平衡问题”这一教学难点的教学实践，笔者认为在使用教材习题时还应注意以下问题。

2.1    注重教材习题的前后联系，学“活”方法

笔者通过系统分析新教材的“练习与应用”与章末“复习与提高”习题发现，习题的呈现顺序与知识点的呈现顺序具有一定对应关系，且相同知识点的习题，“复习与提高”比“练习与应用”难度更大，对学生思维能力的要求更高。教师在使用新教材习题时应当注意到前后习题间的联系与区别，习题教学应授“渔”而非“鱼”。

2.2    重视教材习题的深度挖掘，用“活”教材

教材习题的呈现往往为训练某一个特定的知识点，但习题本身对应的情境却比较有代表性。例如上文的变式二，课本习题原本考查的是到达某一位置绳断时物体的受力情况。但该习题中出现了缓慢增大的力将结点拉起的过程，该过程是动态平衡问题。因此，教师引导学生对该过程深入分析，实现“一题多用”，将题目讲“深”，将教材用“活”。

2.3    探究教材习题的变式训练，激“活”思维

将教材习题原有情境的条件适当变化，或增减某一条件，能促使学生对问题本身有更深刻的认识，也有利于激发学生的发散思维能力。比如，变式三就是在变式二的基础上，将“一个力方向变化”变为“两个力方向同时变化，且夹角不变”。如果直接使用变式二的解题步骤解题，将存在困难。教师适当引导，顺利过渡至画辅助圆解题，学生对图解法的使用将得到进一步拓展，其思维能力也将得到激活。

教材是课程标准的具体化，是教学活动中最重要、最权威的知识载体。新教材习题更加注重与社会生产生活的实际联系，对学生学科核心素养的提升更有价值。教师的教学应立足新教材，用好用活新教材，在提升学生学科核心素养方面发挥出教材应有的价值。

参考文献：

[1]王菊香.從教材例题编写变化谈物理学科核心素养的培育——以人教版高中物理新教材为例[J].物理教学探讨，2021，39（01）：19-22.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书物理必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

（栏目编辑    贾伟尧）