五模声学超表面理论分析与定向反射声学仿真∗

郝潇潇 王 真 赵志高 沈 敏

(1 武汉纺织大学机械工程与自动化学院 武汉 430200)

(2 武汉第二船舶设计研究所 武汉 430205)

0 引言

常见的声学超材料通常需要有一定数量的微结构周期排布才能实现其特殊功能，存在成本高、体积大、损耗大和带宽窄等缺点。而声学超表面[1−2]凭借亚波长厚度的人工超薄结构，理论上能够实现对声波传播路径的任意调控，如异常反射、异常折射和声波完美吸收等[3]，是声学超材料的重要分支，对于空间受限的应用领域具有重要价值。

声学超表面的理论基础是广义斯奈尔定律(the generalized Snell’s law)[4]。2011年，哈佛大学的Federico Capasso课题组在《Science》上发表了广义斯奈尔定律，通过设计界面处的相位突变实现了对电磁波反射(折射)的任意调控[4]。2013年，Li等[1]将广义斯奈尔定律应用到声学，通过声波入射表面上的特殊人工结构调节界面处的相位梯度，实现波阵面的调控。目前较为常见的声学超表面人工结构主要为折叠空间结构[1,5]和亥姆赫兹共振腔结构[6]，均可实现透射式或反射式的声学超表面，但是这类结构基于共振机理，存在频率依赖性，具有较窄的带宽。因此，为实现对声波的宽频和高效调控，2015年，Tian等[7]依据广义斯奈尔定律，借助五模材料优良的宽频特性[8]以及与环境介质的阻抗匹配特性，设计了五模声学超表面，通过调控超表面的速度梯度分布实现了声波异常折射、亚波长平面聚焦等多种波阵面调控。2019年，Liu等[9]进一步仿真验证了五模超表面的声波异常折射、平面聚焦和平面波转换能力。Chen等[10]实验验证了五模超表面用于水下柱面波到平面波的转换，实现了宽频带(15～23 kHz)的波形转换，声能转换率为69%。2020年，Chu等[11]设计了具有8个五模单胞的声学超表面，仿真实现了频率2600～5600 Hz范围内，入射角0°～35°范围内正向入射或反向入射的异常折射，声能传输率高达85.4%，验证了五模超表面对于非对称声传输的宽频和高效性。Zhang等[12]采用慢走丝电火花加工了铝基的五模超表面并进行了声学性能实验，该超表面能够在宽频范围内对反射声波调控，调控精度与理论仿真结果一致。

本文以广义斯奈尔定律为理论依据，对五模声学超表面的基本原理进行了解析推导和理论分析，提出了五模超表面的尺度设计准则，采用多物理场仿真软件进行了水下声场超表面定向反射的仿真实验，利用均匀化理论计算五模微结构等效物性参数，通过优化单胞的几何参数获得了满足特定物性参数需求的五模微结构。

1 五模超表面声波调控原理与解析推导

若界面上引入相位突变Φ，根据费马原理，假设声波从A点出发经界面反射后到达C点(如图1所示)，从中选取路径ABC和ADC，它们均无限接近实际的声波传播路径，它们之间的相位积累差为0，即[4]

图1 有相位突变界面上的反射Fig.1 The anomalous re flection of abrupt phase shift

式(1)中，θi和θr分别为入射角和反射角；Φ和Φ+dΦ分别为两条路径在界面处的相位突变，Φ为位置x的函数；dx为两条路径在界面交点间的距离；k0为波数，k0=2π/λ0，λ0为入射介质中的波长。因此，入射角θi和反射角θr遵循下列反射广义斯奈尔定律[4]：

式(2)中，dΦ(x)/dx为沿界面切向的相位梯度。当Φ与x无关时，式(2)为经典的斯奈尔定律表达式。

广义斯奈尔定律指出，在界面上引入相位突变，即相位不连续，波的反射不再遵循斯奈尔定律。广义斯奈尔定律指明了一种新的波控思路：在界面上引入合适的相位分布Φ(x)可以任意调控波传播方向。这就是超表面调控声波的基本原理，突破了经典声学的理论限制。从波动学的角度看，相位的变化与声程有关，因此，相位调节可以通过调节声程来实现。并且，如果能够设计界面具有合适的dΦ(x)/dx抵消波数k0=2π/λ0，就能够消除频率相关项，从而实现宽频带调控。因此，可以利用五模材料的宽频特性来设计反射式超表面，过程如下。

为实现声波的高效调控，减小声能损失，应使入射声波全部透射至超表面内部，因此垂直入射(θi=0)的声波应当在超表面的上下表面分别发生全透射和全反射，总的传播路径长度为2h，h为超表面法向厚度，相位积累为

式(3)中，k=2π/λ，k和λ分别为超表面中的声波波数和波长。对于五模材料，波长λ和声速c有关，λ=c/f0。入射波频率f0=c0/λ0(c0为入射介质声速)。将上述关系式代入式(2)和式(3)，对于垂直入射至超表面的声波，其反射角θr为

式(4)表明，五模超表面的反射角θr只与声速梯度d(c(x)−1)/dx分布有关，而与入射波频率无关，因此，五模超表面具有宽频带特性。

声波全部透射至超表面内部，超表面与入射介质需满足特性阻抗匹配[13]，即

式(5)中，z和z0分别为超表面和介质的特性阻抗。有z=ρc，z0=ρ0c0，ρ和ρ0分别为超表面和入射介质的密度。代入式(5)得

这说明调控声速的同时，密度需要以相反方向变化才能实现阻抗匹配。天然材料的密度和声速一般同趋势变化，在声速变化的情况下，无法保证阻抗不变。因此，要满足全透射的存在条件，只有人工材料才能实现。

将式(6)代入式(4)，可得反射五模声超表面的理想密度分布为

式(7)中，L为超表面长度；C0为积分常数，理论上其取值不影响波控能力，但会影响五模材料物性参数的物理实现。

对于各向同性材料，超表面体积模量K0和入射介质体积模量K0满足

式(7)和式(8)为反射五模超表面的连续密度分布和体积模量分布，密度ρ和体积模量K为空间位置x的线性函数。以式(7)和式(8)为依据，设计合适的五模周期性单胞，获得离散等效密度和等效体积模量，实现超表面所需的物性参数分布。

2 反射五模声学超表面尺寸设计

超表面尺寸设计应考虑物理实现的可能性。对于超表面法向厚度h，至少应小于最小入射波长，且希望h越小越实用；对于超表面切向长度L，从扩大有效工作频率范围的角度考虑，L越长越好。然而，根据式(7)，厚度h越小或者长度L越大，超表面物性参数梯度越大，物理实现难度越大。超表面切向长度两端的物性参数最难实现，假设可物理实现的密度范围为[ρa,ρb]，依据式(7)，厚度h和长度L应满足式(9)：

同时为保证有效波控，根据采样定理，长度L需满足

式(10)中，λ0为最大入射波长。

3 五模超表面定向反射声学特性仿真

以水下垂直入射的平面声波为背景场，仿真模拟了五模超表面的定向反射性能。分别模拟了15°、30°和45°三种反射角度的调控，超表面的法向厚度为0.1 m，长度为2 m，入射波频率在1000～6000 Hz范围内变化。

超表面下层铺设背衬板，背衬板为钢板以模拟刚性边界，声波进入超表面后，在下层表面发生反射。仿真声场边界为完美边界层用来模拟无限大空间声场，采用自由三角形网格划分模型，最大网格尺寸为入射波长的1/6。

理想五模超表面的密度与体积模量分别由式(7)和式(8)计算得到。然而，连续物性参数的实现受制备工艺等限制，张向东等[14]在五模材料声学隐身衣的设计中采用了离散的思想，将声学隐身衣分层设计来近似实现连续物性参数。本文将超表面沿长度方向离散为n个单胞，每个单胞的密度由该单胞形心位置处的密度来表征(如图2所示)。

图2 反射五模超表面离散示意图Fig.2 The physical parameters of re flective pentamode metasurface unit cells

表1～表3分别列出了调控3种反射角的离散超表面的声速和密度。可以看出，要实现异常反射，对材料参数要求非常苛刻，即要求材料有大的声速而小的密度，或者小的声速而大的密度，尤其是超表面两端的物性参数从物理实现上是最困难的。对比反射角为15°、30°与45°的物性参数，45°反射角的物性参数范围是最宽的，这是由于调控角度越大，物性参数梯度越大，这与式(7)的理论结果一致。

表1 离散物性参数表(θr=15°)Table 1 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 15°re flection

表2 离散物性参数表(θr=30°)Table 2 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 30°re flection

表3 离散物性参数表(θr=45°)Table 3 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 45°re flection

图3～图5分别为入射波频率为2000 Hz、4000 Hz和6000 Hz时，分别调控3种反射角的散射声场。可以看出当声波入射至超表面时，离散单胞提供局域化切向动量，使得相位在空间上产生不同的延迟，从而形成所需的波阵面，得到理论反射声场。

图3 定向反射声场(f=2000 Hz)Fig.3 The acoustic fields of directional re flection at 2000 Hz

图4 定向反射声场(f=4000 Hz)Fig.4 The acoustic fields of directional re flection at 4000 Hz

图5 定向反射声场(f=6000 Hz)Fig.5 The acoustic fields of directional re flection at 6000 Hz

图6为入射波频率在2000～6000 Hz范围内，仿真的3种定向反射角度(θr=15°、30°、45°)与入射波频率f的关系图。水平虚线示值为目标反射角度。可以看出，在2000～6000 Hz较宽的工作频率范围内，对于3种角度调控的准确度都比较高，体现了五模超表面的宽频有效性。

图6 反射角θr与入射波频率f关系Fig.6 The relationship between re flection angle and incident wave frequency

4 具有特定声学特性的五模微结构设计

Norris单胞构型的几何描述如图7所示，对于该构型等效模量K主要取决于几何参数t，等效密度主要取决于几何参数d和h。采用周期性结构的均匀化理论计算微结构的等效刚度矩阵和密度，利用有限元建立微结构的参数化有限元模型，施加周期性边界条件，以几何参数作为优化变量，以表1(15°反射角)中的离散单胞体积模量矩阵C和密度ρ为优化目标，即可获得所需的微结构参数。

图7 Norris单胞构型Fig.7 The pentamode structure of Norris

分别对单胞1、6、15、20进行了五模微结构设计，4个单胞构型如图8所示，设计方案如表4所示。对于单胞1，需要较高的体积模量和较低的密度，因此选择铝基材(Em=69 GPa、ρm=2700 kg/m3、vm=0.33)，而单胞20与之相反，铝基材不能够满足其等效物性参数的设计要求，因此选择模量较低而密度较高的铅锌合金(Em=10 GPa、ρm=9000 kg/m3、vm=0.4)。从表4中可以看到，优化得到的单胞等效物性参数与设计目标值非常接近，微结构单胞的等效性质具有较好的五模材料特征。

图8 五模微结构设计构型Fig.8 The design con figurations of pentamode structures

表4 五模微结构设计方案Table 4 The design solution of pentamode structures

5 结论

以广义斯奈尔定律为理论依据，对五模声学超表面的定向反射调控原理进行了理论推导，获得了五模超表面的理想连续物性参数分布，并给出了五模超表面尺寸设计准则；然后将超表面离散，获得离散单胞的密度和体积模量，以此为目标，以单胞基本构型的几何参数为设计变量，进行五模微结构优化设计，采用均匀化理论计算微结构的等效物性参数；最后，为验证五模超表面的声波调控能力，采用多物理场仿真软件仿真模拟了在1000～6000 Hz声波频率范围内，对15°、30°和45°三种角度的定向反射调控，分析了入射波频率对超表面定向反射性能的影响，仿真结果展现了五模超表面宽频有效的声波调控能力以及调控的可靠性和准确性。本文的研究工作为五模声学超表面的设计和物理实现提供理论指导。

需要指出的是，五模材料的宽频特性具有上下限。对于低工作频率，五模微结构的等效特性比较好；而当频率过高时，微结构不能等效为均质材料，采用均匀化理论计算的微结构等效声学参数误差较大，声学特性较差，会影响调控效果。