Klein瓶的一种简单生成方法

赵姣珍 许道云

摘 要：两条莫比乌斯（Mobius）带沿边缘粘合可形成一个克莱因（Klein）瓶。本文给出一种简单方法：由平面上一条简单闭曲线C（闭环）和位于闭环C内部的一条简单曲线段L可以生成一条Mobius带。基于这一原理，由平面上一条简单C闭环和位于C内部的另一条简单闭环C0就可以生成一个Klein瓶。

关键词：莫比乌斯带;克莱因瓶;生成方法

中图分类号：O189.3

文献标识码： A

2020年，两位数学家Joshua Evan Greene和Andrew Lobb解决了一个百年未解的数学难题——平面闭环上内接矩形问题[1-2]，问题的最终解决与莫比乌斯带和克莱因瓶嵌入到四维空间密切相关。所谓的内接矩形问题是指：对于平面上任何简单闭曲线（闭环），对任意给定的比值r，是否存在环上的4个点，以此形成的矩形其长宽比为r？问题于1911年提出，看似简单，其实解决起来困难。2019年，著名华人数学家陶哲轩用积分方法证明了内接矩形是正方形时结论成立[3]，其论文长达49页。

早在1977年，数学家Herbert Vaughan在解决该问题时曾经引入一种方法[2]：将矩形表示转化为两条“长度相等、中点重合”线段。这两条线段就是矩形的对角线，对于一条线段AB，取中点坐标为（x，y），线段长度为d，可以编码AB到三维空间中的一个点（x，y，d）。Herbert Vaughan发现，如果在曲线上按每一对点并对其进行绘制，得到一个令人惊讶的形状——Mobius带。

对于一条线段AB的编码，进一步考虑线段AB与X轴正向的夹角α。于是，平面上的一条线段AB可以编码到四维空间中的一个点（x，y，d，α）。2019年，C. Hugelmeyer运用Mobius带嵌入到四维空间的方法证明了至少对1/3的长宽比值，问题的结论成立[4]。

Joshua Evan Greene和Andrew Lobb再次利用Herbert Vaughan的方法，运用Mobius带嵌入到四维辛空间，最终解决了这个百年未解的数学难题[5]，其论文一共只有6页。当他们把证明结果发表出来时，布朗大学数学家Richard Schwartz赞叹[2]：万万没想到，解决此问题的正确方式是这样的！

本文基于Herbert Vaughan的思路和方法，给出Klein瓶的一种简单生成方法。

1 基本原理

基于Herbert Vaughan的思路和方法[2]，由平面上一条简单闭曲线C（闭环）和位于闭环C内部的一条简单曲线段L可以构成一条Mobius带（图1）。

2 数学描述

平面上一条连续曲线可以用如下参数方程表示：

值得注意的是：用参数方程表示曲线时，以参数t从小到大（或从大到小）取值，隐示曲线段具有“方向”。

当然，也可以在三维空间中考虑C与C0，以及不同位置关系，也许对理解某些物理现象有帮助。正如：太阳、地球和月亮的运行轨道、位置关系、引力函数、引力场等。太阳、地球和月亮沿各自轨道运动所产生的引力场所模拟图可参见相关文献。

Mobius带和Klein瓶在拓扑学中是一类简单而有趣的几何类型，作为单侧曲面尚有一些有意思的问题值得研究。如：基于Mobius带和Klein瓶定义函数的曲面积分等。涉及积分，首先得将曲面的表达式弄清楚。本文给出的Mobius带和Klein瓶的生成有助于深入研究这方面的问题。

参考文献：

[1]CAROLINE D. Two mathematicians just solved a century-old geometry problem[EB/OL]. （2020-06-29）[2020-10-26]. https：//www.msn.com/en-us/news/technology/two-mathematicians-just-solved-a-century-old-geometry-problem/ar-BB167rFs.

[2]魚羊， 白交. 陶哲轩挑战失败的百年数学问题， 被两名在家隔离的数学家破解了[EB/OL]. （2020-07-01）[2020-10-26]. https：//www.sohu.com/a/405573337_464033.

[3]TAO T. An integration approach to the Toeplitz square peg problem [EB/OL]. （2017-06-07）[2020-10-26]. https：//arxiv.org/pdf/1611.07441.pdf.

[4]HUGELMEYER C. Inscribed rectangles in a smooth Jordan curve attain at least one third of all aspect ratios [EB/OL]. （2019-11-19）[2020-10-26]. https：//arxiv.org/pdf/1911.07336.pdf.

[5]GREENE J E， LOBB A. The rectangular peg problem[EB/OL]. （2020-05-19）[2020-10-26].https：//arxiv.org/pdf/2005.09193.pdf.

（责任编辑：周晓南）