巧变教材 提升转化能力——《平行四边形的面积》教学例谈

江苏无锡市玉祁中心小学 薛维惠 丁君华

数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。现用的苏教版小学数学教材就以多样、有趣、富有探索性的素材呈现教学内容，深受师生的喜欢。但是教学中，如果教师仅做教材的“搬运工”还不够，需从知识的本质与学生的学情两个维度深入思考，将现有教材进行适当改变，才能更好地促进学生学力的提升，发展学科素养。

以小学阶段平面图形的面积计算来说，要知道一个图形的面积是多少，本质是看它包含多少个面积单位。教材把这部分内容分为两个阶段，三年级学习长方形和正方形的面积计算，采用直接测量的方法，五年级学习平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算，采用转化的测量方法。平行四边形的面积作为第二阶段的起始课，显得尤为重要，承担着承上启下的作用，教材在编排上遵循“问题情境—动手操作—揭示联系—建立模型”的过程，给学生提供了很好的学习线索。如何给学生提供充分的思考空间，让他们对“转化”获得更深刻的感悟？笔者适当改编教材，进行了有益地实践。

一、变要求为需求，激发转化的动力

【教材重现】

教材呈现的例1、例2，目的是唤醒学生已有的学习方法和转化方向，为探究平行四边形的面积公式提供基本思路。从实际情况来看，例题1，100%的学生能解决问题，其中90%以上的学生会用转化的方法进行比较；例题2，100%的学生会进行转化。可见，学生对转化这一方法是不陌生的，将平行四边形转化成长方形也有着丰富的经验。笔者认为，这样的活动侧重用转化，如果能唤醒学生转化的真需求，在头脑中自觉萌发一种转化的意识，才能激活学生学习的动力。笔者做了如下改变。

【重新设计】

谈话回顾：早在2000多年前,我国的数学名著《九章算术》中，就记载了有关土地面积的问题，具体介绍了各种图形的面积计算方法。（出示平面图形）想一想，长方形、正方形面积是怎么计算的？我们是怎么推导出来的呢？

学生交流。

设置冲突：用长×宽、边长×边长可以求出一共有多少个面积单位，也就知道了长方形和正方形的面积。如果要知道平行四边形、三角形、梯形和圆形面积，也就是要知道它里面包含多少个面积单位，该怎么办呢？看，如果用面积单位直接去度量平行四边形、三角形、梯形和圆形面积，与长方形、正方形有什么不同？

一对比，学生发现：用面积单位度量平行四边形、三角形、梯形和圆形面积时，有整格的也有不是整格的，不能一下子数出它的面积是多少。

追问：那么人们会怎么来研究它们的面积呢？以这个平行四边形为例，想办法求出一个平行四边形的面积？

学生活动，分享方法。

【思考】

学生知道了“转化”的方法，不代表知道“转化”的意义。笔者借助数学文化史，创设情境，用问题驱动的方式激活了学生学习动力，让学生化被动解决问题为主动进行研究，寻求解决的方案。在这个过程中，学生已有的数学经验被充分调动起来，都想到用化零为整的转化方法解决问题，这种方法与数学家的“以盈补虚”方法不谋而合。正因为有真体验、真思考，所以分享时学生们头头是道，不仅解决了这个平行四边形的面积是多少，还了解了转化的方法：即沿着平行四边形的一条边把它剪成两部分，能变成与它面积相等的长方形。除此之外，更难能可贵的是让学生体会到了转化思想在研究平行四边形面积中的意义，积累了图形面积探索的经验。等到课尾，让学生说说打算怎样研究三角形、梯形、圆形面积时，他们不约而同说出“转化”的方法。巧变教材，整合了教材提供的素材，把隐性的数学本质暴露在学生面前，让他们像数学家一样去思考，激发了内心“想转化”的探究需求。

二、变个例为众例，体验转化的魅力

【教材重现】

教材呈现的例3，重点放在研究平行四边形与转化后长方形之间的联系上，教材细致地提供了材料和方法指导。从实际情况看，在教师指导、同伴互助下，这个活动能有序、有效进行。但笔者认为，第115页上的4个平行四边形样式略显单一，仅凭个例来推导平行四边形面积公式的普遍性还不够严谨，而且实践中发现，学生对转化前后图形之间的联系，主要是通过表中对应数据发现的，这也不利于学生抽象思维的发展。笔者做了如下改变。

【重新设计】

谈话：这个平行四边形的面积能转化成长方形求出面积，那是不是所有平行四边形都可以转化成长方形？（出示各种各样的平行四边形）

（学生面露困惑）提出操作要求：在方格纸上任意画一个平行四边形，用剪拼的方法试试能不能转化成长方形，画出转化过程。

组织交流，预设：

（1）有些学生画出的平行四边形如①②④⑤，能很快转化成长方形。

（2）有些学生画出的平行四边形如③，学生转化有困难，组织讨论发现也可以转化成长方形。

提问：闭眼想一想，平行四边形可以怎样转化成长方形？能不能找出一个平行四边形不能转化成长方形的？

学生找反例。

教师边演示边小结：刚才我们研究大小、形状各不相同的平行四边形，分成两种：有的平行四边形既可以沿着上下对边的高剪开，转化成长方形，也可以沿着左右对边的高剪开，转化成长方形；有的平行四边形沿着左右对边的高剪开，转化成长方形比较方便，通过操作我们发现所有的平行四边形都能转化成与它面积相等的长方形。

接着，学生借助操作过程，小组讨论转化前后两个图形之间的联系，推导出平行四边形的面积等于底乘高。

【思考】

学生认可“几个图形能转化”，并不代表认可“所有的图形都能进行转化”。我们知道，一个计算公式表达的是一类图形的面积计算方法，需要在同一类的众多图形的面积探索中总结出来，是一个严谨的演绎推理过程。基于这种思考，笔者在教学中做了改变：一是不提供平行四边形个例，改为全班每人任意画一个平行四边形，为学生的研究提供了丰富的素材——既有常见的例子，也有特殊的例子，还努力去寻找反例，在有序的操作交流中积累直观的体验，为接下来的分析推理面积计算公式提供了丰富的探究案例。二是不提供表格数据，更侧重于对转化前后两个图形联系的推理。先让学生在方格纸上寻找两个图形的联系，这是感性的、具体的体验，再围绕黑板上两个几何图形寻找联系，是对图形之间本质联系的推理，这是理性的、抽象的体验，从具体到抽象、感性到理性，使推导出的计算公式更具有普遍性和科学性。巧变教材，丰富了教材呈现的活动过程，学生不仅理解和掌握了计算公式，同时积累了转化的经验，体验到了转化的魅力，数学思维的逻辑性、严密性得到进一步发展，空间能力、推理能力、模型思想等学科素养的培养也得以落实。

三、变操练为甄选，扩展转化的张力

【教材重现】

教材上的这一练习，及时巩固了所学知识，把已知的数据代入公式计算出图形的面积对学生来说难度不大，需要提醒的是面积单位不相同。仔细观察第2、3两个图形都以斜边为底，因只有两个条件，不会对学生加以干扰，因此这组练习停留于熟练公式进行计算的目的。如何将学生关注的视角引向转化方法背后的原理？为进一步沟通新学图形与相应转化后图形的关系，深化对面积公式的理解，教学时，笔者改变了其中一题，使学生知其然，更知其所以然，进而获得一种更具深度的张力。

【重新设计】

判断：计算下面平行四边形的面积（单位：厘米）

学生手势判断并指名说明原因。

【思考】

学生知道“怎么解答”，并不代表知道“其中的道理”。只有蕴含理性思考的练习才能触动学生的思维，触及学生的心灵。笔者改变习题，创造机会让学生体验面积公式及其蕴含的思想。通过想象，这个平行四边形在学生头脑中动起来，可以转化成长15厘米，宽8厘米的长方形，也可以转化成10 厘米，宽12 厘米的长方形，但不可能转化成长15 厘米，宽12 厘米的长方形，也不能用两条邻边相乘，突出了面积公式中最关键的部分——平行四边形的面积与它的底和高有关，而且是互相垂直的一组底和高。巧变教材，大大增加了教材练习的思维含量，架起了现象与本质的桥梁，让转化思想更具张力。

转化思想作为一种重要的数学思想，我们学习它不仅仅是学习它的方法技巧，更重要的是在学生的头脑中建立一种思想——将复杂的问题简单化，将陌生的问题熟悉化，教师唯有精心选择学习素材，让学习素材触及数学思想的本质，方能让学生增强转化的意识，从整体上理解知识的内涵，感受数学知识之间的内在联系，实现转化能力的提升。