中心对称图形的深入讨论以及对“负零”的再理解

[摘 要]文章前半部分通过层层深入，得到了关于中心对称图形的一个结果（定理1），在解决问题过程中获得的引理1和引理2的结论与证明也是很有意义的。文中后半部分利用近世代数作为工具，对“负零”进行再理解，证明了“负零表示零的相反数，负零等于零”确实是真命题（定理3）。

[关键词]中心对称图形;对称中心;负零;负元;相反数;近世代数

[作者简介]胡力文（1984—），男，安徽萧县人，硕士，中学二级教师，国家二级心理咨询师，研究方向为基础数学、数学教育。

[中图分类号] G632.5[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）47-0-03[收稿日期] 2020-09-10

一、问题背景

在中学数学里，有一些看似简单、实则可以深入挖掘的内容，比如负号的确切含义、代数式中字母所表示的内容、因式分解等等，在参考文献[1][2]中都有所涉及。这篇文章继续前面的话题，首先讨论图形的运动。在初中平面几何里，我们学习了中心对称图形和轴对称图形，并且知道某些轴对称图形有不止一条对称轴，关于中心对称图形却没有类似的分析展开。接下去我们自然要问：中心对称图形可以有不止一个对称中心吗？另外，参考文献[1]里面提到“-0表示0的相反数，-0=0”这样一个结论，很多中学数学老师一定会问：该结论靠谱吗？它的理论依据是什么？文章将对前面提出的两个问题进行深入讨论，并给出准确合理的解答。

二、关于中心对称图形的深入讨论

沪教版七年级数学的平面几何部分提到了三种图形运动—平移、旋转、翻折，以及三种对称图形—旋转对称图形、中心对称图形、轴对称图形。在下文所要讨论的话题中有如下几个概念：

定义1 在平面内，图形绕着一个定点按照某个方向转动一定大小的角α，这样的运动叫作图形的旋转（rotation）。这个定点叫作旋转中心（center of rotation），角α叫作旋转角（rotation angle）（0°<α<360°）（参看参考文献[3]）。

定义2 如果一个图形绕着所在平面内的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形（central symmetric figure），这个点叫作对称中心（center of symmetry）（参看参考文献[3]）。

定义3 把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形（axial symmetric figure），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetric）（参看参考文献[3]）。

在常规教学当中，我们学习了许多轴对称图形的实例，并且研究了它们对称轴的条数，比如等腰（非等边）三角形有1条对称轴、等边三角形有3条对称轴、矩形有2条对称轴、菱形有2条对称轴、正方形有4条对称轴、等腰梯形有1条对称轴、圆有无数条对称轴……不难发现，这些图形的对称轴既可能只有1条，也可能有多条，甚至有无数条。

我们同样学习了很多中心对称图形的实例，比如平行四边形有1个对称中心、矩形有1个对称中心、菱形有1个对称中心、正方形有1个对称中心、圆有1个对称中心……巧合的是，上面所举的图形的对称中心都只有1个！

现在问题来了：是不是所有的中心对称图形都只有1个对称中心？如果不是，可以举出实际例子吗？

如果我们把思路局限在特殊多边形和圆这些常规的有界图形上，似乎找不到它们的第二个对称中心。跳出有界“形”的框架，我们仔细回忆一下，从六年级到九年级还学过哪些图形？原来在参考文献[4]第七章《线段与角的画法》当中，我们学习了直线、射线、线段、角这么多不用“形”来命名的图形啊，而且直线、射线、角都是無界的！回到前面关于对称中心的问题，不难发现直线和线段都是中心对称图形，并且直线上每一点都是该直线的对称中心，也就是说一条直线有无数个对称中心！

除了直线，还有哪些图形有多于一个的对称中心？稍微动动脑筋，把直线“改装”一下，虚线能不能满足我们的要求？事实上，“实”的部分等长、“虚”的部分也等长的虚线（当然“实”的部分和“虚”的部分不需要一样长）就有无数个对称中心，每一段“实”的部分的中点和每一段“虚”的部分的中点都是该虚线的对称中心。类似地我们可以举很多例子，比如平面直角坐标系中的“网格”{（x，y）|x，y中至少有一个是整数}、向四周无限伸展的国际象棋棋盘、甚至整个平面R2……这些图形的对称中心个数都是+∞。把讨论的内容总结一下，我们就得到了下面的结论：

命题1 一个中心对称图形可以有一个或无数个对称中心。

命题1给出了一个中心对称图形的对称中心个数的两种可能：1、+∞。我们自然要问：有没有第三种可能，能否举出实例？经过仔细思考其实不难发现，命题1给出的两种可能已经包含了所有的情况。为了把问题说清楚，我们需要证明下面两个引理：

引理1 如果一个中心对称图形Ω有两个不同的对称中心A、B，那么A关于B的对称点C以及B关于A的对称点D都是Ω的对称中心。

证明：不失一般性，以A为原点AB为x轴正向单位线段按右手系建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），从而C（2，0）。设P1（a，b）是图形Ω上的任意一点，我们希望证明C（2，0）是Ω的对称中心，也就是P1关于C的对称点P（-a+4，-b）∈Ω。

事实上，由对称中心的定义可得，P1关于B的对称点P2（-a+2，-b）∈Ω，P2关于A的对称点P3（a-2，b）∈Ω，P3关于B的对称点P4（-a+4，b）∈Ω，即P （-a+4，b）∈Ω，这就是我们所要证明的。所以C（2，0）是Ω的对称中心。

由于A和B是Ω的任意两个对称中心，因此我们同样可以以B为原点BA为x轴正向单位线段按右手系建立平面直角坐标系，按照前面完全相同的做法就能证得D是Ω的对称中心。证毕。

引理2 如果一个中心对称图形Ω有两个不同的对称中心A、B，那么它一定有无数个对称中心，并且这些对称中心至少在直线AB的一个维度上是向两端无限延伸的。

证明：仍然以A为原点AB为x轴正向单位线段按右手系建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0）。定理1说明“中心对称图形的任意一个对称中心关于任意另一个对称中心的对称点也是该图形的对称中心”，从而（3，0）、（4，0）、（5，0）、……，以及（-1，0）、（-2，0）、（-3，0）、……都是Ω的对称中心，这些点在直线AB上是向两端无限延伸的。证毕。

注：引理1和引理2的证明过程都用了直角坐标系，事实上讨论中心对称可以用仿射坐标系。

由引理2我们立即得到下面的定理：

定理1（对称中心个数） 一个中心对称图形的对称中心的个数可以是1或+∞，并且只有这两种情况。

至此，我们得到了关于中心对称图形的一个深刻结果，该话题的讨论就暂时告一段落了。事实上，中心对称是关于0维线性流形（点）的对称，轴对称是关于1维线性流形（直线）的对称，镜面成像是关于2维线性流形（平面）的对称。在更高维的空间和更复杂的流形当中，我们可以定义更多的对称并且研究这些对称的性质。

三、对“负零”的再理解

这一部分用正体粗体的Z、Q、R分别表示整数环、有理数域、实数域，用斜体细体的G、R、F分别表示一般的群、环、域。

参考文献[1]里面提出“-0表示0的相反数，-0=0”这样一个结论。为了理解“-0”的准确含义，我们要从概念的本质入手。在近世代数中，有下面几个定义和定理：

定义4 设A是一个非空集合，若对A中任意两个元素a，b，通过某个法则“·”，有A中唯一确定的元素c与之对应，则称法则“·”为集合A上的一个代数运算（algebraic operation）。元素c是a，b通过运算“·”作用的结果，将此结果记为a·b=c（参看参考文献[5]）。

定义5 设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G。如果G的运算还满足

（G1） 结合律，即对所有的a，b，c∈G，有（a·b）·c= a·（b·c）;

（G2） G中有元素e，使对每个a∈G，有e·a=a·e=a，元素e称为群G的单位元（unit element）或恒等元（identity）;

（G3） 对G中每个元素a，存在元素b∈G，使a·b= b·a=e，元素b称为a的逆元（inverse），通常记作a-1，即b=a-1，

则称G关于运算“·”构成一个群（group），记作（G，·）。在不致引起混淆的情况下，也称G为群（参看参考文献[5]）。

注：在不引起歧义的情况下，群G的运算符号“·”通常省略不写。

定理2 设G为群，其单位元是e，则有

（1）群G的单位元e是唯一的;

（2）群G的每个元素a的逆元a-1是唯一的;

（3）对任意的a∈G，有;

（4） 对任意的a，b∈G，有;

（5）在群中消去律成立，即设a，b，c∈G，如果ab=ac，或ba=ca，则b=c（参看参考文献[5]）。

由上面的定义和定理，不难证明：

引理3 在群G中，单位元e的逆元e-1就是e本身，即e-1=e。

证法一：由于e是群G的单位元，e-1是e的逆元，因此ee-1=e（一个元素和它的逆元作运算等于单位元），ee=e（任何元素与单位元作运算都等于该元素本身），从而ee-1=ee，再由消去律得到e-1=e。证毕。

证法二：由于e是群G的单位元，e-1是e的逆元，因此ee-1=e（一個元素和它的逆元作运算等于单位元），ee-1=e-1（任何元素与单位元作运算都等于该元素本身），由等量代换立即得到e-1=e。证毕。

注：引理3的证明虽然简单，但仍然需要每一步都有现实的定义和定理作为依据，过程要清晰。

在群的定义中，我们没有要求运算“·”满足交换律，也就是说a·b≠b·a是可能发生的。但是当“·”满足交换律时，我们有：

定义6 如果群G的运算还满足交换律，即对任意的a，b∈G，有a·b=b·a，则称G是一个交换群（commutative group）或阿贝尔群（Abelian group）（参看参考文献[5]）。

还有群G的运算“·”也可以改为“+”：

定义7 当群G的运算用加号“+”表示时，通常将G的单位元记作0，并称0为G的零元;将a∈G的逆元记作-a，并称-a为a的负元（参看参考文献[5]）。

注：习惯上，只有当群为交换群时，才用“+”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫作和，同时称这样的群为加群（参看参考文献[5]）。相应地，将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫作乘法，运算的结果叫作积（参看参考文献[5]）。乘法可能满足交换律，也可能不满足。

由引理3、定义6、定义7，我们不难得到：

引理4 在加群（G，+）中，零元0的负元-0就是0本身，即-0=0。

回到中学数学。容易验证整数集Z、有理数集Q、实数集R关于通常数的加法均构成加法群，这三个常用数集分别称为整数环Z、有理数域Q、实数域R（关于环和域的定义可参看参考文献[5]），它们的零元是通常的数字0，单位元是数字1。近世代数中的“负元”对应中学数学里的“相反数”。于是我们有下面的定理：

定理3 在整数环Z、有理数域Q、实数域R中，零元0的负元（相反数）-0就是0本身，即-0=0。

从引理3、引理4到定理3是一个逐步推进的过程，定理3把我们中学数学当中-0的含义讲清楚了，也就是说“-0表示0的相反数，-0=0”确实是真命题。[6-9]

四、思考總结

作为数学教师，我们的日常工作繁忙而琐碎，每逢重要考试都要计算班级学生平均分并排名，压力确实很大。如果我们对所教内容时常保持一种专业态度和一颗好奇心，不断进行探索研究，而不仅仅停留在教会学生做题的层面，就可能获得更大的成就感与满足感，职业幸福指数也会得到提高。

作为中学生，无论数学考试还是竞赛，现行评价体系更多地注重解题能力，关于数学学科本身的理解和思考却很少涉及。其实对数学的本质适当做一些思考和探究，可以更好地激发学习的兴趣和动力，对提高解题能力也会有一定帮助。如果到大学阶段进入相关专业的学习，对学科本质的理解更是不可或缺的能力。[6-9]

参考文献

[1]胡力文.关于“负零”的理解和教学[J].教育教学论坛，2020 （25）：337-338.

[2]胡力文.由一道初中数学填空题引发的思考—用近世代数的观点[J].教育教学论坛，2020（22）：354-355.

[3]邱万作，黄华.数学（七年级第一学期，试用本，第1版）[M].上海：上海教育出版社，2019.

[4]邱万作，黄华.数学（六年级第二学期，试用本，第1版）[M].上海：上海教育出版社，2019.

[5]韩士安，林磊.近世代数（第二版）[M].北京：科学出版社，2009.

[6]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2013.

[7]丘维声.解析几何（第三版）[M].北京：北京大学出版社，2015.

[8]杨子婿.近世代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[9]冯克勤，李尚志，章璞.近世代数引论[M].第3版.合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

Abstract： In the first half of this paper， a result about the central symmetric figure is obtained step by step （Theorem 1）. The conclusion and proof of Lemma 1 and Lemma 2 obtained in the process of solving the problem are also very meaningful. In the latter part， modern algebra is used as a tool to rethink "negative zero"， and it is proved that "negative zero represents the opposite number of zero， and negative zero equals zero" is true proposition （Theorem 3）.

Key words： central symmetric figure; symmetry center; negative zero; negative element; opposite number; modern algebra